Парадокс «большого» тела

54

В. Орлов

Парадокс «большого» тела

При решении задач, в которых рассматривается взаимодействие тела с существенно различными массами, изменением энергии тела большей массы обычно пренебрегают. И это пренебрежение часто оказывается волне корректным. Однако необходимочетко представлять себе, когда такое допущение возможно, а когда этого делать нельзя.

Для выяснения этого вопроса рассмотрим ряд задач, формулированных в виде парадоксов.

Задача 1. Камень массы $m$ падает на Землю с высоты $h$. 1) Запишем закон сохранения энергии, рассматривая движение камня в системе отчета, связанной с центром масс системы камень — Земля. К моменту падает камня на Землю все его потенциальная энергия $mgh$ переша в кинетическую энергию $\frac{mv^2}{2}$:

$$mgh = \frac{mv^2}{2},$$

где $v$ — скорость камня перед ударом о Землю.

2. Запишем закон сохранения энергии, рассматривая движение в системе отчета, связанной с лифтом, который движется вниз с постоянной скоростью

«Большим» телом в данной статье мы будем называть тело, масса которого во много раз больше, чем массы остальных тел, взаимодействующих с ним.

ростю $v$ относительно Земли. В этой системе Земля обладает кинетической энергией $\frac{Mv^2}{2}$ (М — масса Земли), камень в начальной момент имел кинетическую энергию $\frac{mv^2}{2}$ и потенциальную энергию $mgh$. К моменту падает камня на Землю и его кинетическая энергия, и его потенциальная энергия равны нулю, так что для всех системы можно записать:

$$\frac{Mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} + mgh = \frac{Mv^2}{2} \Rightarrow \frac{mv^2}{2} + mgh = 0.$$

Получается, что закон сохранения энергии не выполняется в системе «лифт», но выполняется в системе отчета, относительно которого лифт движется с постоянной скоростью. Парадокс?!

Задача 2. Пуля массы $m$, летящая со скоростью $v$, попадает в склон горы и застревает в нем.

Приименив закон сохранения энергии в системе отчета, в которой Земля не подвижна, найдем изменение энергии пули:

$$\Delta K_1 = 0 - \frac{mv^2}{2} = -\frac{mv^2}{2}.$$

Будем рассматривать движение пули в системе отчета, связанной с автоматом, который движется со скоростью $u$ в ту же скорону, что и пуля. Тогда изменение кинетической энергии пули равно

55

$$\Delta K_2 = \frac{mu^2}{2} - \frac{m(|\vec{v} - \vec{u}|)^2}{2} = -\frac{mv^2}{2} + m|\vec{v}||\vec{u}|.$$

3. В системе отсчета, связанной с автоматом, который движется со скоростью $\vec{u}$ в сторону, противоположную направлению движения пули,

$$\Delta K_3 = \frac{mu^2}{2} - \frac{m(|\vec{v} + \vec{u}|)^2}{2} = -\frac{mv^2}{2} - m|\vec{v}||\vec{u}|.$$

Куда девается часть кинетической энергии пули? При резком торможении пули выделяется тепло; иными словами, энергия пули переходит в тепло: $|\Delta K| = Q$. И мы можем изменить количество выделяющегося теплла (пуля, например, попадает точно в calorimetр). Однако из наших рассужdenей следует, что производ три раза одни и те же изменения, мы должны получить различные результаты: $Q_1 \neq Q_2 \neq Q_3$. Парадокс?!

Можно придумать еще много подобных задач, в которых «парадоксы» возникают только оттого, что расматриваемые системы тел — незамкнутые, а во всех рассужdenях это не учитывается. В приведенной выше задаче 2 в системе не включано такое «большие» тел, как Земля. А в задаче 1, пункт 2), хотя и включена в системе Земля, но изменение ее энергии считается равным нулю. В пункте 1) энергия Земля вообше не фигурирует, однако, наверняка, любой читатель скажет, что здесь все записано верно.

В чем же дело? Почему при выборе одних систем отсчета получаются вполне корректные результаты, при выборе других — парадоксы? Какую надо выбрать систем отсчета при решении задачи, чтобы только больше массы можно было пренебречь, упрощая тем самым решение задачи? Что бы ответить на эти вопросы, вернемся к задачам «парадоксам» и проведем все рассужdenя «абсолитно строго».

Задача 1.1) В системе отсчета, связанной с центром масс системы тел камень — Земля, в начальной момент Земля поконтся и вся энергия системы равна потенциальной энергии камня. К моменту падения камня на Землю энергия системы равна $\frac{mv^2}{2} + \frac{Mu^2}{2}$, где $\vec{v}$ — скорость, которое прибрел камень под действием силы прятяжения Земли, а $\vec{u}$ — скорость, которое прибрела Земля под действием силы прятяжения камня. Найдем скорость $\vec{u}$, воспользуемся законом сохранения импульса:

$$m|\vec{v}| - M|\vec{u}| = 0,$$

откуда

$$|\vec{u}| = \frac{m}{M}|\vec{v}|.$$

Теперь запишем закон сохранения энергии системы:

$$mgh = \frac{mv^2}{2} + \frac{M|\vec{v}|^2}{2} = \frac{mv^2}{2}\left(1 + \frac{m}{M}\right).$$

Эта запись — «абсолитно строгая». Однако ясно, что во всех реализах задача (о падении тел на Земле) $m \ll M$ и величины $\frac{m}{M}$ ничего мало по сравнению с 1, так что его можно пренебречь. Тогда в системе отсчета, связанной с центром масс системы тел камень — Земля, законом сохранения энергии запишется так:

$$mgh = \frac{mv^2}{2}.$$

2. В системе отсчета «лифт» наальна энергия системы камень — Земля равна $mgh + \frac{mv^2}{2} + \frac{Mu^2}{2}$, к моменту падения камня энергия системы равна $\frac{Mu^2}{2}$, где $\vec{u}$ — скорость.

56

рост Земли к этому моменту. Воспользовавшись законом сохранения импульса —

$$m \overrightarrow{v} + M \overrightarrow{v} = M \overrightarrow{u},$$

найдем $\overrightarrow{u}$:

$$\overrightarrow{u} = \left| \overrightarrow{v} \right| \left( 1 + \frac{m}{M} \right).$$

Итак, энергия системы к моменту падения камня равна

$$\frac{M u^2}{2} = \frac{M v^2}{2} + mv^2 + \frac{m}{M} \cdot \frac{m v^2}{2}.$$

Мы же раныше считали, что энергия Земли не меняется и к моменту падения камня равна $\frac{M v^2}{2}$, т. е. мы пренебрегли величины $\frac{M u^2}{2} - \frac{M v^2}{2} = mv^2 + \frac{m}{M} \cdot \frac{m v^2}{2}$, которая больше кинетической энергии камня. Очевидно, что в этом была наша ошибка, которая и привела к парадоксу. «Строго» закон сохранения энергии системы следует записать так:

$$m g h + \frac{m v^2}{2} + \frac{M v^2}{2} = \frac{M v^2}{2} + mv^2 + \frac{m}{M} \cdot \frac{m v^2}{2}.$$

Используя условие «большого» тела, т. е. учитывая, что $m \ll M$, мы можем пренебречь величины $\frac{m}{M} \cdot \frac{m v^2}{2}$, и тогда из закона сохранения энергии найдем

$$m g h = \frac{m v^2}{2}!$$

Итак, в системе отсчета, связанной с центром масс системы камень — Земля, в которой «большое» тела — Земля — первоначально покищся, изменением энергии «большого» тела можно пренебречь. В системе «лифт» «большое» тела Земля имеет начальную скорость $v$, изменение ее энергии сравнимо с изменением энергии камня, и пренебрегаемый изменением нельзя.

Изменения кинетической энергии Земля в двух рассмотренных систем отчета можно найти и по-другому — рассчитав работы силы при

57

получим

$$\Delta K_1 = \frac{mv^2}{2} \cdot \frac{m}{M},$$
$$\Delta K_2 = mv^2 + \frac{mv^2}{2} \cdot \frac{m}{M}.$$

Эти результаты показывают, что изменение кинетической энергии одного и того же тела может быть существенно различным в различных системах отсечета. Однако закон сохранения энергии для замкнутой системы тел выполняется в любой инерциальной системе отсечета.

Обратимся теперь к задаче 2.

Задача 2. Изменение кинетической энергии пуля в рассмотренных системах отсечета различно:

$$\Delta K_1 = -\frac{mv^2}{2},$$
$$\Delta K_2 = -\frac{mv^2}{2} + m |\vec{v}| |\vec{u}|,$$
$$\Delta K_3 = -\frac{mv^2}{2} - m |\vec{v}| |\vec{u}|.$$

Согласно теореме о кинетической энергии — $A = \Delta K$ — различна и работа внешней силы, — силы, действующей на пуля со стороны склона горы. Другими словами,следствие относительной перемещения в различных системах отсечета относительная и работа внешней силы, а следовательно, относительно и изменение кинетической энергии неамкнутой системы тел.

Парадокс, к которой мы пришли в этой задаче, вызван ошибкой записью

$$Q = -\Delta K.$$

Это выражение справедливо лишь для замкнутых систем тел, так как для таких систем изменение кинетической энергии всех тел системы инвериантно (т. е. неизменено) относительно любых инерциальных систем отсечета.

Так что в задаче 2 количество выделившего тела равно $Q = |\Delta K_\pi| + |\Delta K_3|$, где $\Delta K_\pi$ и $\Delta K_3$ — изменения кинетических энергий пуля и Земли. Однако ответ, полученный в пункте 1), верен, именно такое количество теплы выделяется, в каои бы системы мы ни решали задачу:

$$Q = |\Delta K_1| = \frac{mv^2}{2}.$$

Докажем это утверждение. Для этого проведем строгого все наши прежние рассуждения:

1. В системе отсечета, в которой Земля (гора) первоначально поконтся, энергия системы равна кинетической энергии пуля $\frac{mv^2}{2}$. При попадании пуля в гору Земля приобретает некоторую скорость $\vec{u}$, которое мы можем найти из закона сохранения импульса: $M |\vec{u}| = m |\vec{v}|$, откуда $|\vec{u}| = \frac{m}{M} |\vec{v}|$. Следовательно, Земля приобретает кинетическую энергию $\Delta K'_3 = \frac{Mu^2}{2}$, и закон сохранения энергии все системы должны быть записан в виде

$$|\Delta K_\pi| = \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{M} \cdot \frac{mv^2}{2} + Q,$$

или

$$Q = \frac{mv^2}{2} - \frac{m}{M} \cdot \frac{mv^2}{2}.$$

Воспользовавшись условия «большего» тела — $m \ll M$, получим

$$Q = \frac{mv^2}{2} = |\Delta K_1|!$$

2. В системе отсечета, связанной с автоматом, которое движется со скоростью $\vec{u}$ в ту же сторону, что и пуля, кинетическая энергия Земли изменяется на величины $\Delta K'_3$. Это изменение вызвано уменьшением ее скорости от значения $|\vec{u}|$ до значения $|\vec{u} - \Delta \vec{u}|$.

Величину $\Delta u$ можно определить, применив закон сохранения импульса для системы тел пуля—Земля в инерциальной системе отсечета, связанной с их центром масс (изменение скорости инвериантного относительного инерциальных систем отсечета!):

$$M |\vec{u}| = m |\vec{v}|, \quad \Delta u = \frac{m}{M} |\vec{v}|.$$

С учетом этого значения $\Delta u$ изменение кинетической энергии Земли

58

в рассматриваемой системе отчета равно

$$\Delta K_3' = \frac{M(u - \Delta u)^2}{2} - \frac{Mu^2}{2} = -$$

$$-M|\vec{u}||\Delta\vec{u}| + \frac{M\Delta u^2}{2} = -m|\vec{v}||\vec{u}| + \frac{m}{M} \cdot \frac{mv^2}{2}.$$

Так как $m \ll M$, то можно записать: $\Delta K_3' = -mvu$.

С учетом уменшення энергии Земли закон сохранения энергии запишем в виде

$$\frac{m(v - u)^2}{2} = \frac{mu^2}{2} - m|\vec{v}||\vec{u}| + Q.$$

Отсюда

$$Q = \frac{mv^2}{2}!$$

3. В системе отчета, связанной с автоматом, который движется со скоростью $u$ в сторону, противоположную направлению движения пули, кинетическая энергия Земли увеличивается на величины $\Delta K_3''' = m|\vec{v}||\vec{u}|$. (Доказательство этого аналогичного выше проведению.) С учетом уменшення кинетической энергии Земли закон сохранения энергии можно записать в виде

$$\frac{m(v + u)^2}{2} = \frac{mu^2}{2} + m|\vec{v}||\vec{u}| + Q.$$

Отсюда

$$Q = \frac{mv^2}{2}!$$

Итак, выражение $Q = \Delta K$, справедливо лишь для замкнутых систем тел (т. е. когда $\Delta K$ есть изменение энергии всей системы), оказывается корректным и для незамкнутой системы тел, когда эта система рассматривается в системе отчета, в которой «большое» тело первоначально поконтся.

В заключение предлагаем вам самостояльно разобраться в следующих «парадоках».

1. Автомобиль $A$ движется со скоростью $v$ относительно Земли. После того как скорость автоматия увеличивается вдвое, его кинетическая энергия возросла на величины

$$\Delta K_1 = \frac{m(2v)^2}{2} - \frac{mv^2}{2} = \frac{3}{2}mv^2.$$

С точки зрения наблюдателя, находящемся в автоматиле $B$, который движется с той же скоростью $v$ и в том же направлении, что и автоматиле $A$, изменение кинетической энергии автоматия $A$ будет равно

$$\Delta K_2 = \frac{mv^2}{2} - 0 = \frac{mv^2}{2}.$$

Для наблюдателя, находящемся в автоматиле $B$, который движется с той же по модулю скоростью, что и автоматиле $A$, но в противоположном направлении, изменение кинетической энергии автоматия $A$ будет равно

$$\Delta K_3 = \frac{m(3v)^2}{2} - \frac{m(2v)^2}{2} = \frac{5}{2}mv^2.$$

Получился странный на первый взгляд результат: количество сторевшего топлива в автоматиле $A$ неизменено, а изменение кинетической энергии автоматия $A$ в различных системах отчета различно. Нет ли здесь противоречия с законом сохранения энергии?

2. Пуля массы $m$, движущаяся со скоростью $v$, попадает в платформу с песком, движущуюся со скоростью $u$ в том же направлении, и застревает в ней. Найдем количество теллотов, выделяющихся при этом.

В системе отчета, связанной с Землей,

$$Q_1 = \frac{mv^2}{2} - \frac{mu^2}{2} = \frac{m}{2}(v^2 - u^2).$$

В системе отчета, связанной с платформу,

$$Q_2 = \frac{m}{2}(v - u)^2.$$

Получился парадок: возможно, в одной системе отчета пуля расплавится, а в другой — нет?

3. Из пушки, установленной в самом деле, легко со скоростью $u$, производится выстрел в направлении полета.

1. Пусть относительно системы отчета, движущаяся со скоростью $u$, снаряд прибрета скорость $v$. Кинетическая энергия $\frac{mv^2}{2}$ снаряду сообщается за счет энергии $\Pi$ сторевших пороховых газов:

$$\Pi = \frac{mv^2}{2}.$$

2. Относительно системы отчета, связанной с Землей, скорость снаряда равна $v + u$, и следовательно,

$$\Pi = \frac{m(v + u)^2}{2} - \frac{mu^2}{2}.$$

Поскольку величина $\Pi$ инвариантна относительно системы отчета, то из приведенных рассмотренной следует, что

$$v^2 + u^2 = (v + u)^2.$$

Найдите ошибку в рассуждании.