Суммы длин и минимум энергии

25

Л. Софман

Суммы длины и минимум энергии

Математические задачи часто внушаются природой или, вернее, нашей интерпретацией природы, физических науками. Решение математической задачи также может внушаться природой; физика обеспечивает нас ключи, которые мы, будучи представлены самим себе, имели бы очень мало шансов себя обеспечить.

Д. Пой а

В этой заметке мы рассмотрим несколько известных геометрических задач. Мы показем, как они решаются с помощью простого механического принципа — принципа минимума потенциальной энергии, согласно которой всякая механическая система в положении устойчивого равновесия обладает минимальной потенциальной энергей.

Задача 1. На плоскости даны прямы $l$ и точки $A$ и $B$, лежащие по одному сторону от $l$. Найти максимую точку $X \in l$, чтобы длина ломаной $AXB$ была минимальной.

Obviously эта задача решается с помощью симметрии: если $B'$ — точка, симметричная $B$ относительно пряемой $l$, то искомая точка $X = l \cap [AB']$ (рис. 1). Таким образом, отрезки $AX$ и $BX$ образуют с $l$ равные углы: $\alpha = \beta$.

Рассмотрим теперь такую механическую задачу. Невесомое колюто $X$ может скольить без трения по горизонтальном стержню $l$. К $X$ прикреплены две нити, перекинуемые через блоки, врашащиеся вокруг осей, закрепленных в вертикальной плоскости в точках $A$ и $B$ (рис. 2).

К свободным концам нитей $C_1$ и $C_2$ прикреплены грузы одинаковых масс. (Нити невесомы и нерастяжными, блоки врашаются без трения, размеры блоков и колюца $X$ так малы, что их можно расматривать как материальные точки.) Требуется найти положение колюца $X$ на стержне $l$, при котором все механическая система находится в равновесии.

Покажем, что эта механическая задача в некоторых смысле эквивалентна нашей геометрической задаче. Действительно, в положении равновесия потенциальная энергия механической системы минимальная; поэтому в положении равновесия грузы должны высеть совместно как можно ниже, т. е. сумма их расстояний от данного горизонтального уровня (поверхности земли) должна быть минимальной (грузы одинаковы!). Следовательно, сумма $|AC_1|$ и $|BC_2|$ должны быть максимальной. Так как длина каждой нити постоянна, сумма $|AX| + |BX|$ должна быть минимальной. Итак, механическая задача

26

Дача в самом деле оказалась точедействной с геометрической задачей 1.

Решим поставленную механическую задачу, не используя энергетических сообщений. В положении равновесия механической системы сумма сил, действующих на колъю X, равна нулю. На X действуют силы натяжения нитей $\vec{T}_1$ и $\vec{T}_2$ ($|\vec{T}_1| = |\vec{T}_2|$ — грузы натягивают каждой своей нить с равной силой, и эти силы передаются блоками без потерь на трение) и сила $\vec{N}$ реакции стержня (см. рис. 2). Поскольку $\vec{N} + \vec{T}_1 + \vec{T}_2 = 0$ и $\vec{N} \perp l$, в проекции на l ($|\vec{T}_1| \cdot \cos \alpha = |\vec{T}_2| \cdot \cos \beta$, откуда $\alpha = \beta$. Мы получили тот же результат, что и с помощью приведенного выше геометрического решения.

Изменим немного механическую задачу: допустим, что к свободным концам нитей подвешены раз и е грузы (масс m и M соответственно).

Тогда условие равновесия $\vec{N} + \vec{T}_1 + \vec{T}_2 = 0$ в проекции на l дает соответствие m cos $\alpha = M$ cos $\beta$, т. е. колъю X займет такое положение, что привязанные к немуниты образуют состоянием углы $\alpha$ и $\beta$, определяемые из условия $\frac{\cos \alpha}{\cos \beta} = \frac{M}{m}$ (рис. 3). Используя принцип минимума потенциальной энергии, нетрудно показать, что соответствующая механическая задача тоже действена такой геометрической.

Задача 2. Наимен на прямой l мощу X, для которого величины m · |AX| + M · |BX| достигаем миним

27

С другой стороны, в положении равновесия сумма сил, действующих в точке $X$, равна нулю. В $X$ действуют три равные по абсолотной величины силы натяжения нитей $\vec{T}_1, \vec{T}_2$ и $\vec{T}_3$ (равные грузы одинаково натягиваются каждой своего нить): $|\vec{T}_1| = |\vec{T}_2| = |\vec{T}_3|$, и $\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3 = 0$. Из этих двух условий получаем, что эти силы должны быть одинаково наклонены друг к другу, так что в положении равновесия нашей механической системы угол между любыми двумя из трех нитей с общим концом $X$ должен быть равен $120^\circ$. Поэтому ответ в задаче 3 (при условии, что в треугольнике $ABC$ все углы меньше $120^\circ$!) следует: точка $X$ — это такая точка, из которой все стороны треугольника $ABC$ видны под углом в $120^\circ$.

(В случае, когда точки $A, B$ и $C$ образуют треугольник, у которого один из углов $\geq 120^\circ$, точка $X$ совпадает с одной из точки $A, B$ или $C$ (вершиной «большого» угла). Продумайте этот ответ и поставьте его объяснить.)

Механическая интерпретация геометрических задач особенно полезна в тех случаях, когда чисто геометрические методы решения не дают желаемых результатов.

Задача 4. На разных берехах реки расположено путь населенных пунктов $A_1, A_2, A_3, B_1, B_2$ ($A_1, A_2, A_3$ на одном береу, $B_1, B_2$ — на другом; рис. 5). Требуется построить мост $CD$ так, чтобы сумма длины дорог $A_1C, A_2C, A_3C, B_1D, B_2D$ от населенных пунктов до места была минимальная. (Берега реки паралельны, мост переendlкулярен к берегам.)

Чтобы решить эту задачу, рассмотрим следующую механическую систему. Жесткийстержень $CD$ может скольнить без трения по двум паралельным рельсам, оставясь все время к ним переendlкулярным (см. рис. 5). К концам $C$ и $D$стержня прикреплены нити, перекинуть через блоки, врашающее вокруг осей, закрепленных в точках $A_1, A_2, A_3, B_1$ и $B_2$. К свободным концам нитей подвешены одинаковые грузы. Трея

28

Рис. 6.

екции на прямую, паралельную рельсам, из этого условия получаем
$$\cos \alpha_1 + \cos \alpha_2 + \cos \alpha_3 + \cos \beta_1 + \cos \beta_2 = 0$$
(углы отчитываются против часовий стрелки, $0 \leqslant \alpha_i \leqslant \pi$, $\pi \leqslant \beta_j \leqslant 2\pi$, $i = 1, 2, 3, j = 1, 2$; см. рис. 5).

Соотношение (), хотя и не позволяет осуществить построение отрезка $CD$ с помощью циркуля и линейки, часто оказывается полезным при практическом решении задач подобного вида. Если на каждом берегу расположено по одному населенному пункту, то соотношение () дает $\cos \alpha + \cos \beta = 0$, откуда $\beta = \pi + \alpha$ (рис. 6) — т. е. отрезки $AC$ и $BD$ должны быть паралельны. В этом случае отрезок $CD$ можно построить циркулем и линейкой (постройте!).

Итак, мы видели, что механический метод оказывается весма полезным для решения геометрических задач рассмотренного типа. В заключение мы предложаем читательм несколько задач для самостоятельного решения. Некоторые из них могут быть решены чисто геометрическими, решения же других возможно лишь с помощью механической интерпретации. Попытайтесь сравнить полученные геометрические и механические решения.

Рис. 7.

Задачи

5. По одному от прямой $l$ даны две точки $A$ и $B$. Расположите на $l$ данный отрезок $CD$, так, чтобылина ломаной $ACDB$ была минимальной.

6. Внутри остроу угла $MON$ дана точка $A$. Построите треугольник наименшего периметра, у которого вершина совпадает с данной точкой $A$, а две другие лежат на разных сторонах угла $MON$.

7. Внутри угла $MON$ даны две точки — $A$ и $B$. Найдите точки $C$ и $D$ на лучах $OM$ и $ON$ соответственно так, чтобылина ломаной $ACDB$ была минимальной.

8. Населенные пункты $A$ и $B$ разделены несколько рекками. Требуется построить месты через эти реки так, чтобы полученная дорога из $A$ в $B$ была наименшей длины (рис. 7).

9. Между взимно перpendикularными шоссеными дорогами расположено круглое озеро. На берегу озера нужно построить санаторий $A$ и соединить его acфальтовой дорогой с шоссе $l_1$ и бетонной дорогой с шоссе $l_2$ (рис. 8). Строительная одного километра

Рис. 8.

асфальтовой дороги обходится в $p$ рублей, а одного километра бетонной дороги — в $q$ рублей. Где нужно выстроить санаторий, чтобы общее затраты на строительную дорогь наименшми?

Рис. 9.

10. На круглом отрезке расположены два города — $A$ и $B$. В каком месте на берегу отрезка нужно построить пристань $C$, чтобы сумма длины дороги $AC$ и $BC$ от городов до пристанибы минимальной?

11. Круглый отрезок окружен ромпинь, заполненным водой. На отрезке расположен замок $A$. Владелец замка хочет построить кратчайшую дорогу, соединяющую замок $A$ с поместем $B$ своего советника. В каком месте нужно построить мест через ров? Мост должен быть перpendикularен к берегам рва (рис. 9).