Квант
Смесь

Ребусы

Рекстин Э.

Квант 1978, №3с. 10Тег H3GV

10

Пл. ACD=x−a−dACD = x - a - d;
Pl. DAB=x−b−dDAB = x - b - d;
Pl. CEA=x−c−aCEA = x - c - a.

Подставляя эти выражения в (4), получим
ad−(x−b−d)(x−c−a)+e(x−a−d)=0,ad - (x - b - d)(x - c - a) + e(x - a - d) = 0,
т. е. уравнение (3).

  1. Мёбиус предлагает также доказать, что если площади (ориентированные!) четырехвершинников ABCDABCD, BCDEBCDE, CDEACDEA, DEABDEAB, EABCEABC равны соответственно, α\alpha, β\beta, γ\gamma, δ\delta, ε\varepsilon, то площадь xx пятвершинника ABCDABCD есть корень квадратного уравнения
    x2−x(α+β+γ+δ+ε)+(αβ+βγ+γδ+δε+εα)=0x^2 - x(\alpha + \beta + \gamma + \delta + \varepsilon) + (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \delta + \delta \varepsilon + \varepsilon \alpha) = 0
    («такого же», говорит Мёбиус, как и уравнение 3).

Это доказательство читатель проверяет самостояльно. Более затруднительным будет решение «продолжения» задачи Мёбиуса:

Доказать, что если площади ориентированных трехугольников
ACD,BDE,CEA,DAB,EBCACD, BDE, CEA, DAB, EBC равны (соответственно) p,q,r,s,tp, q, r, s, t, то площадь xx пятвершинника ABCDABCD есть корень квадратного уравнения
x2=(p+q+r+s+t)2−4(pr+rt+tq+qs+sp).x^2 = (p + q + r + s + t)^2 - 4(pr + rt + tq + qs + sp).

  1. Обратим, наконец, внимание на то, что и задача Мёбиуса и ее «продолжение» представляют собой частные случаи такой задачи.

На сторонах AB,BC,…AB, BC, \dots ориентированного пятвершинника ABCDABCD взяты точки A′,B′,C′,D′,E′A', B', C', D', E' так, что AA′=λAB;BB′=λBC;…AA' = \lambda AB; BB' = \lambda BC; \dots. Требуется составить уравнение, которое удовлёторят плошадь xx пятвершинника ABCDABCD, если заданы площади треугольников ABCDEABCDE, BCD′,…BCD', \dots, равные соответственно a′,b′,c′,d′,e′a', b', c', d', e'. (В случае, когда λ=0\lambda = 0 — задача Мёбиуса; если же λ=1\lambda = 1 — ее «продолжение»).

Совсем неожиданный ответ получается для случая, когда λ=1/3\lambda = 1/3; вот он:
x=35(a′+b′+c′+d′+e′).x = \frac{3}{5}(a' + b' + c' + d' + e').

Еще более неожиданным показется, что для произвольного заданного λ\lambda (не равного, однако, 1/31/3) задача имеет удивительное… безобразный ответ:
x2(1−λ−λ2)−x(a′+b′+c′+d′+e′)(1−λ)+(a′+b′+c′+d′+e′)2[1−2λ+2λ2(2−λ)2−(1−λ)2(1−3λ)2[(1−λ)5+1](2−λ)]+[(1−λ)(a′b′+b′c′+c′d′+d′e′)+e′a′)−λ2(a′c′+c′e′+e′b′+b′d′)+d′a′)](2−λ)(1−3λ)2(1−λ)5+1=0.x^2(1 - \lambda - \lambda^2) - x(a' + b' + c' + d' + e')(1 - \lambda) + (a' + b' + c' + d' + e')^2\left[\frac{1 - 2\lambda + 2\lambda^2}{(2 - \lambda)^2} - \frac{(1 - \lambda)^2(1 - 3\lambda)^2}{[(1 - \lambda)^5 + 1](2 - \lambda)} \right] + [(1 - \lambda)(a'b' + b'c' + c'd' + d'e') + e'a') - \lambda^2(a'c' + c'e' + e'b' + b'd') + d'a')] \frac{(2 - \lambda)(1 - 3\lambda)^2}{(1 - \lambda)^5 + 1} = 0.

Утешением, быть может, послушит то, что при λ=0\lambda = 0 и при λ=1\lambda = 1 эта формула все же приводит к уравнением (3) и (6). Добавочным стимулом для вывода формулы (7) будет (для настоящийного читателя!) то, что онадает решение такой задачи: при каком значении числа λ\lambda (кроме λ=1/3\lambda = 1/3) площадь пятвершинника A′B′C′D′E′A'B'C'D'E' однозначно определяется заданием площадей a′,b′,c′,d′,e′a', b', c', d', e'?

И, наконец, нельзя ли эту последнюю задачу решить без предварительного вывода «безобразной» формулы?

Ребусы

Попробуйте расшифровать следующие примеры на умножение, в каждом из которых одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры, и ни одно число не начинается нулем.