Quan sát trong toán học

40

F. Barmenev

Quan sát trong toán học

Tính chất của các con số được biết đến ngày nay phần lớn được khám phá thông qua quan sát.

Leonard Euler

Các quy luật tự nhiên thường được nghiên cứu như thế nào?

Các nhà vật lý, nhà hóa học và nhà sinh học tiến hành thí nghiệm. Sau đó, họ kiểm tra kết quả đo lường thu được, nhận thấy các mẫu và rút ra kết luận nhất định.

Điều đáng ngạc nhiên là các nhà toán học thường sử dụng các quan sát cũng như các quan sát tự nhiên trong công việc khoa học của họ. Để hiểu sâu sắc ngay cả toán học “trường học”, để giải quyết sự phát triển của bài toán phức tạp, bạn cần học cách quan sát trong toán học.

Đây là một sự thật thú vị từ lịch sử khoa học. Nhà toán học xuất sắc K. Gauss và A. Kolmogorov thời thơ ấu đã được đề nghị bài toán tương tự: Gauss 10 tuổi - tìm tổng 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100, và Kolmogorov 6 tuổi - tổng 1 + 3 + 5 + … + 95 + 97. Gauss đã giải được bài toán của mình gần như ngay lập tức, nhận thấy rằng 1 + 99 = 2 + 98 = 3 + 97 = … Kolmogorov, sau khi tính các tổng 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, nhận thấy rằng 1 = 12, 1 + 3 = 2, 1 + 3 + 5 = 3, 1 + 3 + 5 + 7 = 4, và cũng nhanh chóng tìm ra đáp số.

Cách giải quyết vấn đề này bài toán:

Tìm hai chữ số cuối của 31122?

Thực sự chúng ta có nên tính lũy thừa 28 của 311 không? Tất nhiên là không! Cần lưu ý rằng hai chữ số cuối của số 311¹ là 11, các số 311² là 21, 311³ là 31, …; vậy hai chữ số cuối của số 3112² là 81.

Hãy xem một cái khác tương tự bài toán:

Số 7⁵¹ là hai chữ số nào?

Trước tiên chúng ta hãy tìm hai chữ số cuối của các số 7¹, 7², 7³, 7⁴ và 7⁵. Dễ dàng nhận thấy 7¹ chỉ có một chữ số - 7; hãy viết nó như thế này: 07; 7² có 49, 7³ có 43 (hai chữ số cuối của tích 49 x 7), 7⁴ có 01, vậy 7⁵ lại có hai chữ số cuối là 07. Ta thấy rằng hai chữ số cuối của lũy thừa bảy cắt nhau, tạo thành một dãy tuần hoàn có chu kỳ 4: 07, 49, 43, 01, 07, 49, 43, 01, 07, 49, …

Việc còn lại là tìm số dư khi chia số 51 cho 4 - nó bằng

41

ba, và xem lập phương của bảy có hai chữ số nào: các số $7^{51}$ và $7^3$ có hai chữ số cuối giống nhau. Vậy đây là đáp số: hai chữ số cuối của $7^{51}$ là 43.

Hãy giải thêm một câu bài toán, khác với những câu trước.

Với số nào thì bất đẳng thức đúng:
$$|a| + |b| > |a + b|$$

Hãy xem xét một vài ví dụ. Để thực hiện việc này, hãy điền vào một vài hàng của bảng sau:

| a | b | |a|+|b| | |a+b| |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| -3 | 2 | 5 | 1 | | | |
| -7 | -1 | 8 | 8 | | | |
| 0 | -4 | 4 | 4 | | | |
| 4 | 0 | 4 | 4 | | | |
| 2 | 3 | 5 | 5 | | | |
| 7 | -1 | 8 | 6 | | | |

Nhìn vào bảng này, không còn khó để đoán đáp số trong bài toán cuối cùng phải là gì: tổng các giá trị abscimal của hai số lớn hơn giá trị abscimal của tổng các số này chỉ khi các số này khác 0 và có các giá trị khác nhau.

Tất nhiên, bất kỳ sự “đoán” hay giả thuyết nào cũng cần có bằng chứng toán học nghiêm ngặt. Chúng tôi để lại điều này cho độc giả của chúng tôi.

Nếu bạn đã tìm ra lời giải ba bài toán đầu tiên, hãy thử tự mình giải thêm ba bài toán nữa, một chút ở câu cuối cùng.

Nhiệm vụ 1.

1. Những chữ số nào không thể là tổng $1+2$, $1+2+3$, $1+2+3+4$, $1+2+3+4+...$?

2. Có 60 đơn vị dương và âm trong một vòng tròn (và có cả hai). Biết rằng tích của ba số liên tiếp bất kỳ là -1. Tìm tổng của tất cả các số.

3. Cần bao nhiêu lần cắt để cắt một hình lập phương có cạnh 3 cm thành các hình lập phương có cạnh 1 cm?

Để kết luận, chúng tôi khuyên người đọc tránh kết luận vội vàng từ kết quả quan sát. Để chứng minh một phát biểu, bạn cần đảm bảo rằng nó đúng trong mọi phần của phép hợp nhất; đồng thời, để xác minh bất kỳ tuyên bố nào, chỉ cần chứng minh rằng nó không đúng trong ít nhất một trường hợp cụ thể là đủ (như các nhà toán học nói, hãy mang theo một cái phản biện). Hãy để chúng tôi giải thích những gì chúng tôi muốn nói.

Xét một tập hợp các số có dạng $m = n^2 + 3n + 1$, trong đó $n$ là số tự nhiên bất kỳ. Đối với các giá trị $n = 1, 2, 3, 4$ và 5, chúng ta nhận được $m = 5, 11, 19, 29$ và 41, tức là năm giá trị đầu tiên của $m$ là số nguyên tố. Chúng ta có thể kết luận rằng bất kỳ phần tử nào trong tập hợp của chúng ta sẽ là số nguyên tố (đối với mọi số tự nhiên $n$) không? Tất nhiên là không: đã ở $n = 6$ chúng ta nhận được giá trị tổng hợp $m = 55$.

Nhiệm vụ 2.
4. Đặt $A$ là tập hợp các số có dạng $6n-1$ và $P$ là tập hợp các số nguyên tố. Câu $A \subset P$ đúng hay sai nếu $n \in N$?

5. Có đúng là với mọi số nguyên $n$ thì bất đẳng thức $4n^2 + 40n + 99 > 0$ có đúng không?

Đôi khi rất khó tìm được một quan điểm đối lập để xác định một tuyên bố chung. Điều đó xảy ra là việc chứng minh sự tồn tại của bộ đếm tương ứng sẽ dễ dàng hơn là xây dựng nó.

Ví dụ, rõ ràng là nếu 100 học sinh nhận được 101 mảnh đất và mỗi học sinh nhận được ít nhất một mảnh đất, thì sẽ có một học sinh nhận được hai mảnh đất.

Kỹ thuật suy luận mà chúng tôi sử dụng để đi đến kết luận trong ví dụ trước được gọi là “Dirichlet Priitz” và thường được áp dụng cho lời giải bài toán. Chúng ta hãy sử dụng nó để giải quyết vấn đề sau bài toán:

Chứng minh rằng trong 101 số có thể chọn được hai số có hiệu hai số đó chia hết cho 100.

Trên thực tế, khi chia cho 100, số dư có thể tạo ra một trong các số sau: 0, 1, 2, …, 99 - đây là những số khác nhau. Do đó, trong 101 số chắc chắn sẽ có hai số chia cho 100 có số dư bằng nhau. Do đó hiệu của chúng chia cho 100.

Và cuối cùng, một bài toán khác về nguyên lý Dirichlet.

Nhiệm vụ 6. Có 710.000 cây thông Noel mọc trong rừng. Mỗi cây có không quá 100.000 cây thông Noel. Chứng minh rằng trong rừng có ít nhất 8 cây linh sam có cùng số cây linh sam.