Danh sách độc giả gửi đúng lời giải

21

$$m_k \left( \left(v_k^{(s)}\right)^2 - \left(v_k^{(s-1)}\right)^2 \right) = m_{k+1} \left( \left(v_{k+1}^{(s-1)}\right)^2 - \left(v_{k+1}^{(s)}\right)^2 \right).$$

Chia đẳng thức cuối cùng cho đẳng thức áp chót, ta thu được sự tương ứng
$$v_k^{(s)} + v_{k+1}^{(s-1)} = v_{k+1}^{(s-1)} + v_{k+1}^{(s)}.$$

Nó có giá trị đối với vô số va chạm và trong đó người ta có thể đạt đến giới hạn ở $s \to \infty$. Do đó, để giới hạn tốc độ, chúng ta sẽ có: $2w_k = 2w_{k+1}$, từ đó $w_k = w_{k+1}$. Vì vậy, tất cả các tốc độ tối đa đều bằng nhau, $w_1 = w_2 = \dots = w_n = w$.

$3^\circ$. Gọi $v_1^0, \dots, v_n^0$ là vận tốc ban đầu; thì từ định luật bảo toàn động lượng nó suy ra
$$m_1 v_1^0 + \dots + m_n v_n^0 = m_1 v_1^0 + \dots + m_n v_n^0$$
cho bất kỳ $s$ nào. Do đó, chuyển đến giới hạn ở $s \to \infty$, ta thu được
$$m_1 v_1 + \dots + m_n v_n = (m_1 + \dots + m_n)w$$
trong đó $w$ là giới hạn chung của mọi tốc độ. Kể từ đây,
$$w = \frac{m_1 v_1 + \dots + m_n v_n}{m_1 + \dots + m_n},$$
tức là $w$ là tốc độ chuyển động của khối tâm của tất cả các quả bóng.

Chúng ta chuyển sang hệ quy chiếu tâm, tức là hệ quy chiếu tọa độ, hệ quy chiếu này chuyển động so với hệ quy chiếu ban đầu với tốc độ $w$. Trong hệ thống này, tất cả tốc độ giới hạn đều bằng 0; do đó, năng lượng giới hạn ở hệ khối tâm bằng 0. Vì khối tâm cũng là quán tính nên định luật bảo toàn năng lượng có hiệu lực trong nó, do đó tổng năng lượng ban đầu của các quả bóng trong hệ khối tâm bằng 0. Điều này chỉ có thể xảy ra khi tất cả vận tốc ban đầu trong hệ khối tâm bằng 0, nghĩa là khi trong hệ quy chiếu ban đầu, tất cả vận tốc ban đầu đều bằng $w$; nhưng với cùng tốc độ ban đầu thì không thể có sự va chạm nào giữa các quả bóng - một điều mâu thuẫn.

Người đọc, những người không xem xét sự chuyển đổi sang hệ khối tâm trong bằng chứng về sự trùng hợp của vận tốc ban đầu, có thể trực tiếp chứng minh bằng phép tính rằng giá trị $\sum_{i=1}^{n} m_i \left(v_i^s - w\right)^2$ được bảo toàn (và sẽ có xu hướng về 0 tại $s \to \infty$).

Lưu ý rằng các nhà toán học Moscow L. Wasserstein và G. Galperin đã khái quát hóa lý luận trên cho trường hợp các quả bóng trên mặt phẳng hoặc trong không gian va chạm đàn hồi tuyệt đối với nhau và cũng chứng minh được tính hữu hạn của số va chạm.

Danh sách độc giả đã gửi đúng lời giải bài toán từ “Bài toán Kvant”

Trong số này, chúng tôi công bố họ của những người gửi đúng lời giải bài toán M446—M460 và F448—F462 (số in đậm sau họ là chữ số cuối cùng của các số đã giải bài toán).

Matematika

T. Abdulazabov (S. Yarashazmalyar DASSR) 52; K. Abdulkhalikov (Alma-Ata) 46, 54, 60a), 6); A. Avoyan (Kirovakan) 46; A. Adaev (làng Poprovka AzSSR) 57; V. Hayrikyan (Hrazdan) 46; A. Alekseev (Perm) 46, 47, 51, 53, 54; K. Arkhangelsky (Kyiv) 46, 57; V. Baasandorzh (MPR) 54; N. Babina (Khu định cư Nauchny, vùng Crimea) 54; E. Balakina (Moscow) 47, 54; A. Balinsky (làng Dublyany, vùng Lviv) 46, 48, 51, 52, 56, 60a); V. Batyrev (Moscow) 47, 48, 50—52, 54, 56, 57, 60a); V. Bakhrushin (Ordzhonikidze) 46; Yu. Batsenko (làng Demidova, vùng Vinnytsia) 54; M. Bestina (SFRY) 46, 48; N. Bovsunovsky (làng Putlovich, vùng Zhytomyr) 54; V. Bolomnikov (Kharkov) 46, 51, 54; V. Bondarenko (Krasnovshersk) 51; A. Brzezinska (Ba Lan) 51; O. Weinberg (Kazan) 46, 52, 56, 60a); N. Velikorosov (Konkovo) 46, 47, 50; D. Vinogradov (Dzerzhinsk) 54; S. Galstyan (làng Chakhrlu ArmSSR) 46, 47, 50-52, 54, 56, 57; D. Golub (Sumy) 48, 50, 51, 54; V. Grechka (Novokuznetsk) 54; N. Griberg (Kyiv) 54; S. Grishechkin (Moscow) 46-48, 50-59, 60a); V. Guba (Vologda) 60a), 6), d); A. Demushkin (Moscow) 47; M. Dmafarov (Kirovad) 52, 54; O. Evdokimov (Leningrad) 46, 47, 50-58, 60a), 6); A. Egoyan (Tbilisi) 51; S. Zhelezovsky (Saratov) 54; V. Zabelin (Saratov) 52, 54; I. Zaitsev (Nikolaev) 54; I. Zakharevich (Leningrad) 47, 48, 50-55; M. Zeldisk (Kyiv) 58; E. Zimanov (Alma-Ata) 46, 56, 57, 60a); Y. Zolomarev (Tashkent) 47, 56; R. Izmailov (Baku) 47, 50-54, 56-58; S. Iskov (Perm) 46, 53; I. Iskenderov (làng Nyusnos NakhASSR) 47; F. Kabykatsrov (Alma-Ata) 54; L. Kabadze (Tbilisi) 46; V. Kalinatsev (Elizovo) 46, 54; A. Kaplan (Sumgant) 54; A. Karnaukhov (khu định cư Kutana, YASSR) 54; A. Kach (Tashkent) 46, 48, 50; A. Kachurovsky (Novosibirsk) 47, 50, 51;

(Tiếp theo trang 38)