Список читателей, приславших правильные решения

21

$$m_k \left( \left(v_k^{(s)}\right)^2 - \left(v_k^{(s-1)}\right)^2 \right) = m_{k+1} \left( \left(v_{k+1}^{(s-1)}\right)^2 - \left(v_{k+1}^{(s)}\right)^2 \right).$$

Разделив последнее равенство на предпоследнее, получим соответствие
$$v_k^{(s)} + v_{k+1}^{(s-1)} = v_{k+1}^{(s-1)} + v_{k+1}^{(s)}.$$

Оно справедливо для бесконечного числа столковений, и в нем можно перейти к пределу при $s \to \infty$. Для предельных скоростей, таким образом, будем иметь: $2w_k = 2w_{k+1}$, откуда $w_k = w_{k+1}$. Итак, все предельные скорости равны между собой, $w_1 = w_2 = \dots = w_n = w$.

$3^\circ$. Пусть $v_1^0, \dots, v_n^0$ — начальные скорости; тогда из закона сохранения импульса следует
$$m_1 v_1^0 + \dots + m_n v_n^0 = m_1 v_1^0 + \dots + m_n v_n^0$$
при любом $s$. Поэтому, переход к пределу при $s \to \infty$, получим
$$m_1 v_1 + \dots + m_n v_n = (m_1 + \dots + m_n)w$$
где $w$ — общий предел всех скоростей. Следовательно,
$$w = \frac{m_1 v_1 + \dots + m_n v_n}{m_1 + \dots + m_n},$$
то есть $w$ есть скорость движения центра масс всех шаров.

Перейдем к системе центра масс, то есть к системе отсчета координат, которая движется относительно исходной системы отсчета со скоростью $w$. В этой системе все предельные скорости равны 0; следовательно, и предельная энергия в системе центра масс равна 0. Поскольку система центра масс также инерциальная, в ней справедлива закон сохранения энергии, поэтому и начальная суммарная энергия шаров в системе центра масс равна 0. Это может быть лишь тогда, когда все начальные скорости в системе центра масс были равны 0, то есть когда в исходной системе отсчета все начальные скорости были равны $w$; но при одинаковых начальных скорости столковений между шарами вообще не может быть — противоречие.

Читатель, который в доказательстве совпадения начальных скоростей не понвался переход к системе центра масс, может непосредственный вычисленем показать, что величины $\sum_{i=1}^{n} m_i \left(v_i^s - w\right)^2$ сохраняется (и должно стремиться к 0 при $s \to \infty$).

Отметим, что Московские математики Л. Вассерштейн и Г. Гальперин обобщили приведенные рассудения на случай шаров на плоскости или в пространстве, абсолютино упруго стальивающих между собой, и также доказали конечность числа столковений.

Список читателей, приславших правильные решения задач из «Задачника «Кванта»»

В этом номере мы публикуем фамилии тех, кто прислал правильные решения задач М446—М460 и Ф448—Ф462 (жирные цифры после фамилии — последние цифры номеров решенных задач).

Matematika

Т. Абдулазабов (С. Ярашазмаляр ДАССР) 52; К. Абдулхаликов (Алма-Ата) 46, 54, 60а), 6); А. Авоян (Кировакан) 46; А. Адаев (с. Попровка АзССР) 57; В. Айрикян (Раздан) 46; А. Алексеев (Пермь) 46, 47, 51, 53, 54; К. Архангельский (Киев) 46, 57; В. Баасандорж (МНР) 54; Н. Бабина (п. Научный Крымской обл.) 54; Е. Балакина (Москва) 47, 54; А. Балинский (с. Дубляны Львовской обл.) 46, 48, 51, 52, 56, 60а); В. Батырев (Москва) 47, 48, 50—52, 54, 56, 57, 60а); В. Бахрушин (Орджоникидзе) 46; Ю. Баценко (с. Демидова Винницкой обл.) 54; М. Бестина (СФРЮ) 46, 48; Н. Бовсуновский (с. Путлович Житомирской обл.) 54; В. Болом-ников (Харьков) 46, 51, 54; В. Бондаренко (Красновшерск) 51; А. Бржезинска (ПНР) 51; О. Вайнберг (Казань) 46, 52, 56, 60а); Н. Великоросов (Конаково) 46, 47, 50; Д. Виноградов (Дзержинск) 54; С. Галстян (с. Чахрлу АрмССР) 46, 47, 50—52, 54, 56, 57; Д. Голуб (Сумы) 48, 50, 51, 54; В. Гречка (Новокузнецк) 54; Н. Гриберг (Киев) 54; С. Гришечкин (Москва) 46—48, 50—59, 60а); В. Губа (Вологда) 60а), 6), г); А. Демушкин (Москва) 47; М. Дмафаров (Кировад) 52, 54; О. Евдокимов (Ленинград) 46, 47, 50—58, 60а), 6); А. Егоян (Тбилиси) 51; С. Железовский (Саратов) 54; В. Забелин (Саратов) 52, 54; И. Зайцев (Николаев) 54; И. Захаревич (Ленинград) 47, 48, 50—55; М. Зельдицк (Киев) 58; Е. Зиманов (Алма-Ата) 46, 56, 57, 60а); Я. Золомарев (Ташкент) 47, 56; Р. Измайлов (Баку) 47, 50—54, 56—58; С. Исаков (Пермь) 46, 53; И. Искендеров (с. Нюснос НахАССР) 47; Ф. Кабыкацров (Алма-Ата) 54; Л. Кабабадзе (Тбилиси) 46; В. Калинацев (Елизово) 46, 54; А. Каплан (Сумгант) 54; А. Карнаухов (п. Кутана ЯАССР) 54; А. Кач (Ташкент) 46, 48, 50; А. Качуровский (Новосибирск) 47, 50, 51;

(Продолжение см. с. 38)