Задачи М496—М500; Ф508—Ф512

26

Задачи

M496-M500; Ф508-Ф512

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшейн школьной программы. Наболее трудные задачи отмечены звездочки. После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задач из этого номера можно присылать не позднее 1 июля 1978 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Кванта», «Задачник «Кванта». После адреса на конверте напишите номера задач, решения которых вы посылаете, например: «M496, М497» или «Ф508». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задания просылать в отдельных конвертах. Задании из разных номеров журнала просылайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, просылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих заданий (на конверте помещьте: «Задачник «Кванта», новая задач по физике» или «… новая задач по математике»).

В начале каждого письма просим указываать ваше имя, фамилию, номер школьи и класс, в котором вы учитесь.

M496. Каких шестизначных чисел больше: представимых в виде произведения двух трехзначных чисел, или не представимых?

С. Фомин

M497. На сторонах BC, CA и AB остроугольного треугольника ABC взяты произвольные точки A₁, B₁, C₁; на отрезках AA₁, BB₁ и CC₁ как на диаметрах построены окружности. Доказите, что три общие хорды пар этих окружностей пересекаются в точке пересечения высот треугольника ABC.

В. Гутенхахер

M498*. Для каждой натурального n ≥ 3 указывайте наименьшее k такое, что любые n точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно разделить k прямыми. (Прямые разделю данные точки, если для любых двух из этих точек найдется прямая, от которой они лежат по разные стороны.)

H. Васильев, А. Егоров

M499. Наозовем число уравновешенным, если в его десятичной записи неокоторое начало совпадает с неокоторым концом (например, числа 1971, 19219 уравновешены, а числа 1415145 — нет.) Доказите, что существует число, которое после приписывания к нему справа любой из 10 цифр становится уравновешенным.

Г. Гуревиц

M500. N первоклассников выступены в однушerefу (плечом к плечу). По команде «нале-ВО» все одновременно повернутьсь на 90°, неокторы — налево, а другие — направо. Ровно через секунду каждой, кто стал лицом к лицу со своим соседом, поворачивается «круетом» — на 180°. Еще через секунду каждой оказывшийся теперь лицом к лицу с соседом снова поворачивается на 180° и т. д. (рис. 1).

a) Доказите, что через конечное время движение прекраится.

27

6. • Какое наиболее число раз мог повернуться «кругом» один человек?
     b) * Какое наиболее количество времени могло продолжаться движение в стройю?
     г) Пусть шеренга бесконечна в обе стороны, и по команде «halle-ВО» только конечное множество К первоклассников повернулось направо, а остальные — налево. Тогда по правлу задачи (выделенному курсивом) движение продолжалось бы бесконечно долго. Докажите, однako, что движение прекраится через конечное время, если это правило заменить таким: первоклассик поворачивается на 180°, только если первый (его сосед) и третий из стояших перед ним обращены к нему лицом (рис. 2).

Г. Курдимов, Ю. Неретин

Ф508. Перiod обращения Меркурия вокруг Солнца составляет 88 земных суток, а вокруг своей оси — 59 земных суток. Какова продолжительность дня и ночи на Меркурии?

E. Левитан

Ф509. В окане имеется течение, захватывающее лишь верхний слой воды. По течение плавет плот со звукоулавливающей установкой. На дне, впереди по течение, расположен неподвижный источник звука. Наблюдатель на плоту обнаружил, что в некоторых момент времени звук достигает плота по направлению, составляющего угол α с вертикалью. Какой угол с вертикалью составляется в этот момент направление на источник звука?

Скорость течение v, скорость звука в воде c, толщина движущегося слоя много меньше глубины океана.

Г. Коткин

Ф510. На резиновый шар натянута прочная резиновая сетка, ники которой идут по meridianам шара. Какую форму примет шар, если повышить в нем давление?

Ф511. Пластины плоского конденсатора площадью S образуют малый угол α (α << 1) друг с другом. Среднее расстояние между пластнами равно d. Нарисовать примерную картину силовых линей электростанческого поля конденсатора и найти емкость конденсатора.

Ф512. Цель, показанная на рисунке 3, включана в себя переменного тока частоты v = 50 Гц. С помощью коммутатора на вход осилографа подается переменное то направление между точками a и b, то направление между точками b и c. На экране осилографа получается изображения двух кривых. Рисунок 4 сделан с фотографию картины на экране осилографа. Определить индykтивность L контура, если C = 32 мкФ, R = 65 Ом.

B. Нжник