Шесть доказательств теоремы о медианах

36

В. Дубровский

Шестя доказательств теоремы о медианах

Капу маслом не испортишь

Теорема о пересечении медиан треугольника в учебниках «Геометрия 6, 7, 8» не доказывается, а предполагается в виде задачи. Эта теорема затем используется в учебнике «Геометрия 9». Здесь мы приводим сразу несколько ее доказательств.

Теорема. Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в некоторой точке M, причем каждая из них делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины:
|AM| : |MA₁| = |BM| : |MB₁| =
= |CM| : |MC₁| = 2. (1)

Во всех приводных далее доказательств, кроме шестого, мы установливаем только, что медиана BB₁ проходит через точку M, которая делит медиану AA₁ от отношений 2:1.

Если в соответствииующем рассужdenни заменить [BB₁] на [CC₁], то мы получим, что и [CC₁] проходит через M. Этим будет доказано, что все три медианы пересекаются в некоторой точке M, причем |AM| : |MA₁| = 2.

Поскольку все медианы равноправны, можно заменить [AA₁] на [BB₁] или [CC₁]; от сюда вытекает (1).

Первое доказательство (для 6-го класса). Пусть K — середина отрезка AM, B’ — точка пересечения прямой BM со стороной AC. Нам достаточно доказать, что |AB’| = |B’C|. Через точки K и A₁ параллельно прямой BM проведем отрезки [KL] и [A₁N] (рис. 1). По-

37

Угольники $MAC$ и $MA_1C$ (рис. 3).
Их высоты, опущенные из вершины $C$, совпадают, а длины противоложих этой вершине сторон относится как 2:1, поэтому $S_{AMC} = 2S_{A1MC}$.
Аналогично, $S_{AMB} = 2S_{A1MB}$.
Но $S_{A1MC} = S_{A1MB}$. Следовательно, $S_{AMC} = S_{AMB} = S_{BMC}$.
Таким образом, треугольники $MAB$, $MBC$ и $MCA$ равновелики. Пусть $B' = (BM) \cap (AC)$. Докажем, что $|AB'| = |B'C|$. С одной стороны, $\frac{|AB'|}{|B'C|} = \frac{S_{AB'M}}{S_{CB'M}}$. С другой стороны, $\frac{|AB'|}{|B'C|} = \frac{S_{AB'B}}{S_{CB'B}}$. Итак, $\frac{|AB'|}{|B'C|} = \frac{S_{AB'B}}{S_{CB'B}}$. Пользовать теоремой $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{c-a}{d-b} = \frac{a}{b}$.
отсюда получаем
$$\frac{|AB'|}{|B'C|} = \frac{S_{AB'B} - S_{AB'M}}{S_{CB'B} - S_{CB'M}} = \frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = 1.$$

Рис. 3.

Рис. 4.

Значит, $|AB'| = |B'C|$.
Четвертое доказательство (7 класс). Из рисунка 4
$$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AM} =$$
$$= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AA_1} =$$
$$= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \frac{2}{3} \left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA_1} \right) =$$
$$= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3} \overrightarrow{CB} =$$
$$= \overrightarrow{BC} - \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} - \frac{2}{3} \overrightarrow{CA} =$$
$$= \frac{2}{3} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{3} \overrightarrow{CA} =$$
$$= \frac{2}{3} \left( \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CA} \right) =$$
$$= \frac{2}{3} \left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB_1} \right) = \frac{2}{3} \overrightarrow{BB_1}$$.

Следовательно, точка $M$ лежит на медиане $BB_1$.
Пятое доказательство (8 класс). Пусть опять $B' = (BM) \cap (AC)$ (рис. 3). Применяя теорему синусов сначала к треугольникам $AB'B$ и $CB'B$, а затем — к треугольникам $ABM$ и $A_1BM$, иучивая, что $\sin \overrightarrow{AB'B} = \sin \overrightarrow{CB'B}$, $\sin \overrightarrow{AMB} = \sin \overrightarrow{A_1MB}$, $|BC| = 2|A_1B|$ и $|MA| = 2|MA_1|$, получим
$$\frac{|AB'|}{|B'C|} =$$
$$= \frac{|AB| \sin \overrightarrow{ABM}}{\sin \overrightarrow{AB'B}}: \frac{|BC| \sin \overrightarrow{A_1BM}}{\sin \overrightarrow{CB'B}} =$$
$$= \frac{|MA| \sin \overrightarrow{AMB}}{2|MA_1| \sin \overrightarrow{A_1BM}} = 1.$$

Значит, $|AB'| = |B'C|$.
Шестое доказательство (9 класс). Проведем через точки $A$ и $B$ плоскость $\alpha$, не содержащую $C$, и построим в этой плоскости правильный треугольник $ABC'$ (рис. 5). Из общих свойств параллельной проекции («Геометрия 9», § 12) следует, что параллельная проекция вдоль прямой $CC'$ переводит $\triangle ABC$ в

38

Рис. 5.

$\Delta ABC'$, причем медианы треугольника $ABC$ проектируют в медианы треугольника $ABC'$. Но в правильном треугольнике медианы являются и bicсектрисами, а следовательно, пересекаются в одной точке. Легко доказать также (доказите!), что для треугольника $ABC'$ справедливый равенства (1).

Отсюда вытекает, что наша теорема верна и для $\Delta ABC$.

В заключение заметим, что $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MA}_1 = 0$, а если точка $P$ не совпадает с $M$, то $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{PM} \neq 0$. В общем случае точка $G$ называется центромом (или центром мяжести) системы точек $A_1, A_2, \dots$,

$$\frac{|AP|}{|PA_1|} = \frac{|BP|}{|PB_1|} = \frac{|CP|}{|PC_1|}.$$

Доказать, что $P$ — центroid треугольника $ABC$.

6. Доказать, что семь отрезков: отрезки, соединяющие вершины тетрадира с центроидами противоположных граней, и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, — пересекаются в одной точке. В каких отношениях эти отрезки делятся их общей точкой?

7. Доказать, что центroid треугольника является единственной точкой, в котором сумма квадратов расстояний до вершин треугольника достигает своего минимального значения.

(Начало см. с. 21)
Н. Кевхшивили (Тбилиси) 47, 52, 54; А. Королев (Горький) 57, 60а), 6), г); С. Корчанов (Ангарск) 46, 47, 49а), 50, 56, 57, 60а); В. Костмусак (Запорожье) 46, 48, 50; Л. Костмок (Киев) 54; Е. Кузьмин (Черповец) 46, 48, 54, 56, 57; А. Кудинов (Воронеж) 57; С. Кузнецов (Ангарск) 53; А. Кулеско (Донецк) 47, 50, 53—55, 60а), 6), в); П. Кулиниц (Воронеж) 54; А. Куркев (Николаев) 52; Е. Лапин (Алма-Ата) 52; И. Лозицкий (Ганцевич) 46, 48, 52, 53; Е. Лумельская (Пермь) 56, 57; В. Марццой (Алма-Ата) 54; Г. Мартиросян (п. Талин АрмССР) 46; Д. Мартинов (Черknзово) 57; Р. Мещоир (Москва) 51, 56, 57, 60а); А. Милевский (Мытиц) 51, 52, 57; Д. Миндлин (Ташкент) 46, 48, 50, 51, 54, 56; Б. Минцбере (Ленинград) 54; А. Мирлин (Ленинград) 46, 47, 49а), 50, 51, 53—58, 60а), 6), в), г); А. Молотовицков (Тейков) 54; Е. Мостшвенко (Сыктывкар) 51, 54; И. Мышё (Черновцы) 57; Н. Наумова (Камышин) 54; А. Ненашев (Ленинград) 46, 48, 50—59, 60а), 6), в), г); Н. Нестеренко (Новосибирск) 47, 48, 51—54; А. Никитенков (Великие Луки) 48; Г. Николов (НРБ) 52, 56, 57; А. Онарин (Горький) 47, 48, 53, 60а), 6); В. Остманенко (Алма-Ата) 54; Д. Папуш (Харьков) 46, 50—52, 54—57; И. Пашин (Темптуал) 46; И. Пономарев (Пенза) 46; А. Попов (Чусовой) 54, 60а), 6); В. Помемкин (Донецк) 52; Г. Пунинский (Бобрыйск) 46, 52, 54, 60а), 6), в), г); С. Путинцев (Невиномыск) 51—55; Х. Ривилис (Одесса) 496), 56—58; И. Ройзман (п. Калиновка Винницкой обл.) 51, 54; В. Романовский (Продолжение см. с. 52)