Читатели советуют

48

Читатель советуют

В редакцию «Кванта» постояно приходят письма школьников, преподавателей, просто любительей математики, касающейся тематики раздела «Практикум абитриента».
Многие из них затрагивают частиные вопросы, и на такие письма редакция отвечает автором лично. Но в ряде писем обсуждаются различные теоретические вопросы школьного курса, предложаются приемы решения отдельных типов задач, сообщаются полезные замечания методического характера и интересные задачи.
С содержанием таких писем полезно, на наш взгляд, познакомить читатель «Кванта».
Не считая возможным публиковать такие письма целиком, редакция решила подготовить подборку материалов, составленную по идеям и предложениям авторов писем, с необходимыми дополнительными комментариями. Мы надеемся, что затронутые в подборке вопросы окажут помощь поступающим вузы.

Как всегда, в редакционной почте много писем, где речь идет о различных алгебраических и trigонометрических уравнениях и системах. Наряду со стандартными задачими, не представляющими особого интереса, авторы ряда писем предложают также уравнения, решения которых содержит «изюминку» — необходимо найти нешаблонный путь преобразования и указать удачную замену неизвестного.

Вот уравнение, идею решения которого сообщил редакции наш читатель М. Левин (Таллин).

Пример 1. Решить уравнение

$$\sqrt{x^2 - 9x + 24} - \sqrt{6x^2 - 59x + 149} = 5 - x.$$ (1)

Поступающие часто начинают решение irrationalного уравнения с отыскания области допустимых значений неизвестного. Надо иметь в виду, что эта операция (иногда весма громоздкая) далеко не всегда нужна для решения уравнения. Во многих случаях бывают выгоднее и проще переходить от исходного уравнения к его следствием, а в конце сделать проверку, или, что еще лучше, переходить к равносильным уравнениям.

Довольно ясно, что стандартный пример решения irrationalных уравнений — возведение в степень — применительно к уравнению (1) приведет к трудоемким вычислениям без видимой надежды на успех. Поэтому попытаться проверсти иные преобразования.

Так как значение $x=5$, оченьindo, является корнем уравнения (1), то при отыскании других его корней будем считать, что $x\neq 5$. Обе части уравнения (1) разделим на 5—x:

$$\frac{1}{5-x}\sqrt{x^2 - 9x + 24} - \frac{1}{5-x}\sqrt{6x^2 - 59x + 149} = 1,$$ (2)

и посмотрим, что получится, если множители: $\frac{1}{5-x}$ ввести под знак корня. Поскольку как известно из алгебры,

$$a = \sqrt{a^2} \text{ при } a > 0;$$

$$a = -\sqrt{a^2} \text{ при } a < 0,$$

следует отдельно рассмотреть два случая: $5-x>0$ и $5-x<0$.

Если $5-x>0$, т. е. если искать корни уравнения (1), удовлетворющие условия $x<5$, то уравнение (2) можно переписать в виде

$$\sqrt{\frac{x^2 - 9x + 24}{(5-x)^2}} - \sqrt{\frac{6x^2 - 59x + 149}{(5-x)^2}} = 1.$$ (3)

Под знаком первого корня выделим целую часть:

$$\frac{x^2 - 9x + 24}{(5-x)^2} = \frac{(x^2 - 10x + 25) + (x - 1)}{(5-x)^2} = 1 + \frac{x-1}{(5-x)^2}.$$

49

Аналогично преобразуем дробь, стоящую под знаком второго корня; в результате уравнение (3) запишется в форме

$$\sqrt{1 + \frac{x-1}{(5-x)^2}} - \sqrt{6 + \frac{x-1}{(5-x)^2}} = 1.$$

Тепер уже видно, что целесообразно сделать подстановку

$$\frac{x-1}{(5-x)^2} = y,$$

(4)

после чего остается решить уравнение

$$\sqrt{1+y} - \sqrt{6+y} = 1.$$

Приемя об卑ный метод, легко убеждаемся, что это уравнение корней не имеет.

Если $5-x<0$, т. е. если искать корни уравнения (1), удовлетворяющие условию $x>5$, то уравнение (2), как нетрудно проверить, приводится к виду

$$-\sqrt{1 + \frac{x-1}{(5-x)^2}} + \sqrt{6 + \frac{x-1}{(5-x)^2}} = 1.$$

После подстановки (4) получаем уравнение

$$\sqrt{6+y} = 1 + \sqrt{1+y},$$

корнем которого является $y=3$. Это му значению $y$ согласно (4) соответствует $x_1=4$ и $x_2=19/3$. Значение $x=4$ должно быть отброшено как не удовлетворяющей условию $5-x<0$, а значение $x=19/3$ является корнем исходного уравнения (1), так как это уравнение равносильно уравнению (5) на множество $x>5$. После нее заменение позволяет нам избежать непредставенной проверки подстановкой указанного значения в исходное уравнение.

Итак, уравнение (1) имеет два корня: $x_1=5$ и $x_2=19/3$.

Следующое уравнение, которое совпадается (несложной заменой) к уравнению, аналогичному предыдущему, приклад в редакцию наш читатель А. Смоляков (г. Нефтекумск Ставропольского края).

1. Решить уравнение

$$\frac{1}{|\cos x|} + \sqrt{6} (\lg x + 1) = 8 \sqrt{\lg x}.$$

* *

В «Кванте», 1977, № 3, с. 56—57 обсуждался один способ решения уравнения

$$\sqrt[3]{8x+4} - \sqrt[3]{8x-4} = 2,$$

(6)

использовший возведение обихих частей уравнения в куб. На эту публикацию откликнулся ученик 9 класса Николай Ким (колхоз им. Я. М. Свердлова Средне-Chирского р-на Узбекской СССР). Наш читатель предлагает решать уравнение (6) иначе — способом введения вспомогательных неизвестных.

Введем вспомогательные неизвестные $u$ и $v$ следующим образом:

$$\sqrt[3]{8x+4} = u, \sqrt[3]{8x-4} = v.$$

Тогда по определению корня и на основании равенства (6) можно написать систему уравнений

$$u^3 = 8x+4, v^3 = 8x-4, u-v=2,$$

(7) причем неизвестные $u$ и $v$ должны удовлетворять неотрицательное число, куб которого равен $a$; см. «Алгебра 8», п. 24).

Система уравнения (7) легко решается. В самом деле, если вычесть из первого уравнения второе: $u^3 - v^3 = 8$, а затем с помощью третьего уравнения исключить, например, $u$, то получится квадратное уравнение $v^2+2v=0$, имеющее корни $v_1=0, v_2=-2$. По первому корню из второго уравнения системы (7) находится $x=1/2$; второй корень должна быть отброшен как не удовлетворяющий условию (8). Следовательно, исходное уравнение (6) имеет единственный корень $x=1/2$.

Внимательный читатель без труда заметит, что в основе предложенного способа лежит известная и часто применяемая идея — подыскать для данного уравнения удачную замену неизвестного. Как мы видели, при решении irrationalных уравнений иногда удобно вводить несколько вспомогательных неизвестных.

50

А теперь подробите самостоятельно решить следующие irrationalное уравнение, которое прислал в редакцию наш читатель А. Алиев (селю Кубра Лакского р-на Дагестанской АССР).

2. Найти корни уравнения

$$\sqrt[3]{24+x} + \sqrt{12-x} = 6.$$

Школьники привели к тому, что обычно уравнение решаются путем преобразования к «простейшем» виду (например, к квадратному уравнению). Между тем на применных экземплярах по математике иногда предлагаются задачи, решение которых требует прежде всего проведения логических рассудений. В этих задачах, как правило, нужно «увидеть» возможность использования какое-либо свойство известной функции, применить знакомое неравенство и т. д. Именно на таких задачах проверяется не только значение построащими правила и формул, изучаемых в школе, но и уровень их общего математического развития.

Наш читатель Н. Белевский (Харьков) прислал в редакцию две системы уравнения, при решении которых существенно роль играют именно логические заключаения.

Пример 2. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} z^2 + 1 = 2\sqrt{xy}, \\ x^2 - 1 = 2yz\sqrt{1-4xy}. \end{cases}$$

На первый взгляд эта система выгляделит довольно страно: неизвестных три, а уравнения — всего два. Но указанное обстоятельство служит и своего рода «подсказкой» — надо не торопиться преобразовать уравнения системы, а попытаться сначала изучить их свойства.

Если уравнение системы (9) переписать в виде $z^2 = 2\sqrt{xy} - 1$, то, поскольку слева стоит неотрицательное выражение, можно сделать заключение, что $2\sqrt{xy} - 1 \geq 0$, откуда

$$1 - 4xy \leq 0.$$

С другой стороны, из второго уравнения системы (9) видно, что допущеемые значения неизвестных $x$ и $y$ должны удовлетворять неравенству

$$1 - 4xy \geq 0.$$

Сравнение соответствий (10) и (11) показывает, что решением системы (9) может быть только такая тройка чисел $(x, y, z)$, что $4xy = 1$. Но тогда из первого уравнения системы получаем $z = 0$, а из второго следует, что $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Таким образом, получаются две тройки чисел $x_1 = 1$, $y_1 = 1/4$, $z_1 = 0$; $x_2 = -1$, $y_2 = -1/4$, $z_2 = 0$, которые только и могут быть решенными системы (9). Подчеркием, что из проведенных расчудений не вытекает, что найденные тройки чисел действительно являются решениями системы (9); этот факт необходимо доказать прямой их подстановкой в исходную систему.

Вторую систему предлагаем читатель в качестве уравнения.

3. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} xz = y + 2, \\ x + z = 2\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{z}). \end{cases}$$

Судя по письмам, больше интерес учитатель вызывал один примешения уравнения с параметром, о котором рассказывалось в «Кванте» № 6, 1977, с. 71—73. Н. Чулиев (г. Чарджуу Туркменской ССР) сообщает редакции модификацию этого примера, использующую идею введения вспомогательного неизвестного.

Пример 3. Решить уравнение

$$x = a - b(a - bx^2)^2.$$

Это уравнение (четвертой степени относительной неизвестной $x$) легко решить, если раскрыть скобки и заметить, что получшеся уравнение можно расматривать как квадратное относительное $a$. Однако к целю приводит и несколько иной способ расчудения.

Введем вспомогательное неизвестное $z = a - bx^2$. Тогда вместо уравнения (12) нужно решить систему уравнений

$$x = a - bz^2, \quad z = a - bx^2.$$

Вычитая из первого уравнения системы второе, получаем равенства $x = z$, $b(x + z) = 1$; после исключения вспомогательного неизвестного при-

51

ходим к двум уравнениям:
$$x = a - bx^2; \quad b(x + a - bx^2) = 1.$$

Дальнейшее решение оченьindo. Надо только не забывать, что реш идет об уравнениях с параметрами, и винательно следует за тем, при каких условиях на параметры законны проводимые вычисления. Окончательный ответ должен выглядеть так:
если $ab < -1/4$, то корней нет;
если $ab = -1/4$, то корень один: $x = -1/2b$;
если $-1/4 < ab < 0$, то корней два:
$$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{1 + 4ab}}{2b} \quad \text{и}$$
$$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4ab}}{2b};$$
если $b = 0$, то корень один: $x = a$;
если $a = 0$, но $b \neq 0$, то корней два: $x = 0$ и $x = -1/2$;
если $0 < ab < 3/4$, то корней два: $x_1$ и $x_2$;
если $ab = 3/4$, то корней три: $x_1, x_2$ и $x = 1/2b$;
если $ab > 3/4$, то корней четыре: $x_1, x_2,$
$$x_3 = \frac{1 - \sqrt{4ab - 3}}{2b} \quad \text{и}$$
$$x_4 = \frac{1 + \sqrt{4ab - 3}}{2b}.$$

Конечно, приведенные сообщения примены и в том случае, когда рассматриваемое уравнение никакого параметра не содержит.

Пример 4. Решить уравнение
$$x^2 + \sqrt{x + 5} = 5.$$

Для решения этого уравнения удобно ввести вспомогательное неизвестное $z = \sqrt{x + 5}$ и перейти к системе уравнения $x^2 + z = 5, x + 5 = z^2$. После оценных преобразований приходим к двум ирациональным уравнениям
$$\sqrt{x + 5} + x = 0; \sqrt{x + 5} = x + 1,$$
из которых получаем два корня уравнения (13):
$$x_1 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}, \quad x_2 = \frac{\sqrt{17} - 1}{2}.$$

Среди уравнений, прислаанных на шимич читателями, многие решаются разложением на множители. Однако далеко не всегда просто «увидеть» группировку, которая ведет к желаемому результату. Первые из по-меценных ниже уравнений предложил А. Ермилов (г. Коломна Московской обл.), следующие два — Л. Слукин (Липецк), а последнее, самое трудное, — ученик 10 класса Сеидазим Мирцев (пос. Хиллы Нефтечалинского р-на Азербайджанской СССР).

Решить уравнения:
4. $$\frac{x^2}{\sqrt{3x - 2}} - \sqrt{3x - 2} = 1 - x.$$
5. $x^2 + \frac{1}{x} - 2 = 0.$
6. $x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x - 1 = 0.$
7. $x^4 - 12x - 5 = 0.$

Хорошо известно, что геометрическую задачу, в котором к целю ведут длинные и громоздкие вычисления, иногда удается решить буквально в несколько строк. Для этого надо только подбрать к задаче «ключик»—догадаться применить некуто теорему, увидеть дополнительное построение, суметь воспользоваться спецификой конфигурации. С таким нешаблонным решением очень почительно позначкомпться, хотя гораздо полезнее сначала самостояльно порядмы с попытаться его. Отвскать (причем полза будет даже в том случае, если поиск останется безупрешным).

Многие читатели журнала с интересом откликнулсь на высказанное в «Практикуме абитуриента» предложение присылать в редакцию коротке и красные решения задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах. Несолько подобных задач помещено ниже. Решить их можно и без «геометрической фантазии» (после формирования задач указано, где также решения опубликованы). Предлагаем поступающим найти решения этих задач, не требующие громоздких вычислений. Такие решения для первых трех задач нам сообщил П. Горшитей (Киев); решения следующего задач указал Я. Айзенитам (Киев).

8. В параллелограмме $ABCD$ угол при вершине $A$ равен $\alpha < \pi/2$. Высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AD$, делит диагональ $AC$ в отношении $m:n$. Найти отношение длиной сторона параллелограмма.

52

(Шахно К. У., Как готовиться к приемным экзаменам вуз по математике, Минск, «Вышейшая школа», 1970, задача 423.)

9. На двух смежных сторонах квадрата как на диаметрах построены два полукруга, лежащих в квадрата, и к каждой полукругу проведена квадельная, параллельная той стороне квадрата, которая является диаметром этого полукруга. Найти длину радиуса круга, внешним образом квадоцероса этих полукругов и квадоцероса построенных квадельной. (Шахно К. У. «Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности», Минск, «Вышейшая школа», 1969, задача 932.)

10. Катеты [AB] и [AC] прямогольного треугольника расположены соответственно в гранах P и Q острою двугранного угла величины φ. Катет [AB] образует с ребром двугранного угла острый угол α. Определить угол между этим ребром и катетом [AC]. («Квант», 1976, № 2, с. 58 и № 3, с. 76.)

11. В шар, радиус которого имеет длину R, вписана правильно треугольная

(Начало см. с. 21, 38)

(Н. Двор Гродненской обл.) 46, 51, 54, 56, 60а); И. Савенков (Лысыные горы Саратовской обл.) 54; В. Саковин (Поставы) 50; М. Севриок (Москва) 56, 58; А. Семов (Челябинск) 54; П. Сердоре (р/п Анна Воронежской обл.) 56; А. Сивацкий (Ленинград) 47, 50, 51; В. Сидоренко (Краснойск) 51, 54, 56; П. Сильвестров (Новосибирск) 48; О. Славянский (Ленинград) 47; Ю. Смирнов (Ленинград) 46—48, 50, 51, 53—55; А. Старков (Москва) 46, 47; В. Стовба (Москва) 46, 48, 51, 52, 55—57, 59; Ф. Сукачев (Ташкент) 54; К. Тамалян (Ереван) 51, 53, 54; З. Тлешов (Алма-Ата) 52, 54; В. Трофимов (Москва) 46, 48, 50—58; К. Трумнев (Казань) 51, 57; Г. Тюрин (Курск) 46; А. Удавixin (Иошкар-Ола) 46; В. Фалько (Харьков) 46; Н. Федин (Омск) 47, 52, 54, 56; Я. Федоров (Ленинград) 51, 57; Г. Фирсова (Ленинград) 52, 54; И. Фоменко (Днепропетровск) 49а); М. Хаймов (Воронеж) 50; И. Хангл (ЧССР) 58; С. Хосид (Алма-Ата) 54; М. Черенинский (Воронеж) 47, 48, 60а), 6); Д. Шафер (Ленинград) 56; В. Шenkarb (Киев) 54; А. Шило (Киверцы) 54; А. Шихахmedов (Дербент) 54; И. Шляхова (Лобня) 54; Д. Шулбаев (Алма-Ата) 46—48, 52, 54, 57, 60а), 6); А. Шулевов (Каменск Уральский) 51.

Физика

Почти все читатели, приславшие решения задач Ф. Азакшев (с. Зарат АзССР) 51; К. Акопян (Ереван) 52; Е. Александрова (Глазов) 55; М. Алексеев (Обнинск) 52; Э. Алисендеров (с. Даш Салахли АзССР) 52; А. Антонян (Ереван) 60; А. Арбатский (Благовещенск Амурской обл.) 50; А. Бакан (Киев) 51; С. Бавкун (Черkesck) 51, 52, 62; Ю. Балашов (Москва) 60, 61; А. Баруев (Улан-Удэ) 53, 57; А. Барзикин (п.