Циклоиды на плоскости и на сфере

13

Циклопы на плоскости и на сфере

Свойства циклопид изучали многие выдающиеся учены прошло год. Среди них Г. Галилей (1564—1642), давший циклопид имя (от греческого хухлос—«круг»).

Плосая циклопда — это траектория фиксированной точки окружности, катшейся (без скольжения) по заданной прямой. Если подвижная окружность катится по неподвижной, касаясь ее снаружи, фиксированная точка подвижной окружности описывает эпициклопду. При $r=R$ эпициклопда называется кардиопдою («Квант», 1977, № 12, с. 33), при $\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$ — нефродою («Квант», 1977, № 9, с. 43).

Все описанное в предыдущем абзаце проискдило на плоскости. Для перехода к пространству, к циклопдам на сфере опшем плоскую циклопду по-другому: представим себе, что на неподвижную плоскость наложена подвижная плоскость, на котором нарисована окружность $\Sigma_1$, на котором нарисована окружность $l$. Сфера $\Sigma_2$ поворачивается так, что окружность $l$ катится (без скольжения) по окружности $L$. В этом случае траектория фиксированной точки окружности $l$ опшет на сфера $\Sigma_1$ сферическую циклопду $y$. На рисунке 1 показан один виток сферической циклопды. Если радиус окружностей $L$

Рис. 1.

Рис. 2.

и $l$ несоизмеримы, точки сферической циклопды заполняют на сфере полосу.

Попробуйте установить какую форму имеет сферическая циклопда, если $\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$.

Декарт один из первых показал, как можно определить направление касательной к плоской циклопде в любой ее точке. Заменим подвижную окружность квадратом $ABCD$ того же периметра и заставим его катиться по данной прямой, следя за траекторией точки $A$ (рис. 2). При этом квадрат будет поочередно врашаться около своих вершин $D$, $C$, $B$, занмающих, соответственно, положения $D$, $C_1$ и $B_2$. Если центр врашения в данной момент находится, скажем, в точке $C_1$, нормаль (перpendикуляр к касательной) в точке $C$ будет проходить через точку $C_1$. Заменим квадрат на правильный пятугольник, шестиугольник, . . . , $n$-угольник того же периметра. Картина будет та же: нормаль будет проходить через вершину, около которого в данной момент проискдит врашение. В пределе при $n \rightarrow \infty$ правильный многоугольник превращится в окружность, траектория точки $A$ — в циклопду, а точка, через которой обязана проходить нормаль в данной точке циклопды, — в точку касания подвижной окружности (в соответствии тем положения) с опорной прямой. Имея нормаль, нетрудно proveсти касательную.

Подобные рассуждения можно proveсти для эпициклопды и гипопиклопды, только «правильные многоугольники» придетя стронть из дуг неподвижной окружности, а не из отрезков прямых. И вовь оказывается, что касательная к эпициклопде в данной точке будет проходить через точку касания подвижной окружности в соответствии тем положения.

Петербургский математик Я. Герман (1678—1733) показал, что это утверждение верно и для сферического циклопды.

В. Березин