Московский физико-технический институт

53

Московский физико-технический институт

Ниже публикуются образцы вариантов вступительных письменных экзаменов по математике и физике в 1977 году.

Mathematica

Вариант 1

1. Решить уравнение
   $$\sin 2x - \sin^2 x = 2\sin x - 4\cos x.$$
2. Решить неравенство
   $$\frac{5 - 4x}{3x^2 - x - 4} < 4.$$
3. Решить уравнение
   $$\lg^2(4 - x) + \lg(4 - x) \cdot \lg\left(x + \frac{1}{2}\right) = 2\lg^2\left(x + \frac{1}{2}\right).$$
4. Дорога прохождение через пункты A и B. Оdnовременно и в одном направлении выехали: из A — моториклст (в направлении к B), из B — велосипедист. Моториклст договорил велосипедста на расстоянии a км от B. Если бы моториклст и велосипедст выехали одновременно из A в B, то в момент прибития моториклста в B велосипедист отставал бы от него на b км. Определить расстояние между пунктами A и B (скорости моториклста и велосипедста постоянны).
5. Сторона основания ABCD правильно примиды SABCD имеет длину a, боковое ребро — длину 2a. Рассматривают отрезки с концами на диагонали BD основания и боковом ребре SC, параллельные плоскости SAD.

1. Один из этих отрезков проведен через точку M диагонали BD такую, что DM : DB = 1 : 3. Найти его длину.
2. Найти наименьшую длину всех расматриемых отрезков.

6. Графики функции y = $\frac{1}{x}$ и y = $5 - \frac{3}{2}x$, расматриемые в первой четверти координатной плоскости (x > 0, y > 0), пересекаются в точках A и B. Гипотенуза равноведренного прямогольного треугольника параллельна оси Ox, две его вершины лежат на первом графике, а третья — на отрезке AB. Найти длины сторон треугольника.

Вариант 2

1. Решить уравнение
   $$2\log_2 \frac{x - 7}{x - 1} + \log_2 \frac{x - 1}{x + 1} = 1.$$
2. Решить уравнение
   $$\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\sin \left(x - \frac{3\pi}{2}\right)} = 4\sin \left(x + \frac{5\pi}{4}\right).$$
3. В прямогольном треугольнике ABC катет BC имеет длину a и образует с гипотенузой AC угол α. Точка D расположена на катете BC и имеет наименьшую по сравнению с остальные точки отрезка BC сумму квадратов расстояний до прямых AC и AB. Найти длину отрезка BD.
4. Найти четыре числа, обладающих следующим свойствами:
   a) сумма первого и четвертого числа равна 14, а сумма второго и третього равна 12;
   b) первого, второе и третье число образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию;
   b) второе, третье и четвертого число образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.
5. Сторона основания правильно треугольной примиды ABCA₁B₁C₁ имеет длину a. Точка D — середина ребра AB, точка E лежит на ребре A₁C₁. Прямая DE образует углы α и β с плоскостями ABC и AA₁C₁С соответственно. Найти:
   1. высоту призмы;
   2. радиус шара с центром отрезке DE, касающей плоскостей ABC и AA₁C₁С.
6. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости системной нерваvents
   $$\begin{cases} \sqrt{3x^2 + 3y^2} \geq 2y + 1, \\ y + 4 \geq 2\sqrt{3} |x|. \end{cases}$$

Физика

Вариант 1

1. На покоящеся тело массы m = 5 кг начинает действовать сила $\vec{F}$, величина которой убивает со временем по линейному закону до 0, как показано на рисунке 1. Какую скорость прибретает тело?
2. Акваалгист затратил время t = 10 мин на острот повреждения подводной части корабля. За это время давление в баллоне акваалгена, пероначально равное 150 атм, упало на 20%. После этого акваалгист

54

приступил к ремонтом работам, и расход воздуха возрос в 1,5 раза. Через какое время после погружения аквалангист должен закончить работу, если давление не должно упасть ниже 30 атм?

3. Незаряженный плоский конденсатор емкостью $C_1$ расположен во внешнем однородном электрическом поле с напряженной постоянностью $\vec{E}_0$. Силовые линии электрического поля перpendикулярны пластинам конденсатора. Расстояние между пластинами $d$. Конденсатор емкостью $C_2$, заряженный до разности потенциальов $U_0$, подключается к конденсатору $C_1$ (рис. 2). Определить заряды на конденсаторах $C_1$ и $C_2$ после подключения. Величиной внешнего электрического поля в месте нахождения конденсатора $C_2$ пренебречь.

4. Человек для чтеня текста надевает очки с оптической силой $D=-4$ диоптрии. На каком расстоянии ему удобно располагать плоское зеркало при рассматривании своего лица (без очков)?

Вариант 2

1. Брусок массы $m$, размеры которого показаны на рисунке 3, стоит на наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$. На брусок начинает действовать сила $\vec{F}$, параллельная наклонной плоскости. При каком значении этой силы брусок опрокинется? Известно, что сокальзывать с наклонной плоскости брусок при этом не будет.

2. В цилиндрический сосуд с площадью сечения $S_1=200$ см$^2$ и высотой $h_1=30$ см найти объем $V=4$ л воды. В сосуд опускают стержень сечения $S_2=100$ см$^2$, высота которой равна высоте сосуда. Какую минимальную массу должен иметь стержень, чтобы он опустился до дна сосуда?

3. Какая мощность выделяется в цепи, изобразенной на рисунке 4? К клеммам 1—2 приложено переменное напряжение $U=220$ В, сопротивление $R_1=R_2=R_3=200$ Ом. Параллельно сопротивление $R_1$ включен идеальный диод $D$. При одном направлении тока его сопротивление бесконечно мало, а при другом — бесконечно велико.

4. С помощью сферического зеркала получено изобразение $B$ предмета $A$ (рис. 5). Построением определить положение и фокус зеркала. Богнутое или выпуклое это зеркало?

Вариант 3

1. С какой максимальной скоростью может проехать моторикл по закругленному дороги радиуса $R=80$ м, если коэффициент треня между шинами моторикла и асфальтом равен $k=0,5$?

2. Спутник сечения $S=1$ м$^2$ движется с первой космической скоростью $v=7,8$ km/c по околоземной орбите. Атмосферное давление на высоте орбиты (200 km) равно $p=1,37.10^{-4}$ Н/m$^2$, температура $T=1226$ К. Определить число соударений спутника с молекулами воздуха за 1 секунду. Число Авогадро $N_0=6.10^{23}$ моль$^{-1}$. Газовая постоянная $R=8,3$ Дж/(моль·К).