Bài toán M496—M500; F508—F512

26

Bài toán

M496-M500; F508-F512

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy chia sẻ tin tức của trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên.

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất vào ngày 1 tháng 7 năm 1978 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka, 21/16, tòa soạn tạp chí «Kvant», “Bài toán Kvant. Sau địa chỉ trên phong bì, viết các số bài toán, lời giải bạn đang gửi, ví dụ: “M496, M497” hoặc “F508”. Lời giải bài toán cho mỗi môn học (toán học và vật lý), cũng như các bài tập mới phải được gửi trong các phong bì riêng. Vui lòng gửi các bài tập từ các số khác nhau của tạp chí trong các phong bì khác nhau. lời giải). Vui lòng gửi các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản thành hai bản cùng với lời giải của bạn cho những nhiệm vụ này (trên phong bì ghi: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”).

Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết họ và tên, số trường, lớp mà bạn đang theo học.

M496. Số có sáu chữ số nào lớn hơn: số nào có thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai số có ba chữ số hoặc số không thể biểu diễn được?

S. Fomin

M497. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác nhọn ABC lấy các điểm tùy ý A₁, B₁, C₁; Các vòng tròn được xây dựng trên các đoạn AA₁, BB₁ và CC₁ như trên đường kính. Chứng minh rằng ba dây chung của các cặp đường tròn này cắt nhau tại giao điểm các đường cao của tam giác ABC.

V. Gutenhacher

M498*. Với mọi số tự nhiên n ≥ 3, hãy chỉ ra k nhỏ nhất sao cho n điểm bất kỳ trong mặt phẳng, không có ba điểm nào cùng thuộc một đường thẳng, cách nhau bởi k đường thẳng. (Tôi sẽ chia các điểm này thành các đường nếu với bất kỳ hai điểm nào trong số này có một đường thẳng mà chúng nằm đối diện nhau.)

N. Vasiliev, A. Egorov

M499. Ta gọi một số là số cân bằng nếu trong ký hiệu thập phân của nó, một số bắt đầu nhất định trùng với một số cuối nhất định (ví dụ: các số 1971, 19219 cân bằng, nhưng các số 1415145 thì không.) Chứng minh rằng có một số mà sau khi cộng một số bất kỳ trong số 10 chữ số bên phải nó sẽ trở nên cân bằng.

G. Gurewitz

M500. N học sinh lớp một biểu diễn thành một hàng (vai kề vai). Khi có lệnh “nale-VO”, mọi người cùng lúc quay 90°, một số sang trái và một số khác sang phải. Đúng một giây sau, tất cả những người đối mặt với người hàng xóm của cô ấy đều quay ngoắt - 180°. Sau một giây nữa, mỗi người bây giờ thấy mình đang đối mặt với người hàng xóm của mình lại quay ngoắt 180°, v.v. (Hình 1).

a) Chứng minh rằng sau một thời gian hữu hạn chuyển động sẽ dừng lại.

27

6. • Một người có thể quay một vòng tròn bao nhiêu lần?
     b) * Khoảng thời gian tối đa mà sự chuyển động trong đội hình có thể tiếp tục là bao nhiêu?
     d) Cho đường thẳng vô hạn theo cả hai hướng và khi có lệnh “halle-BO” chỉ có một tập hữu hạn K học sinh lớp một quay sang phải, số còn lại quay sang trái. Khi đó, theo quy tắc bài toán (in nghiêng), chuyển động sẽ tiếp tục vô tận. Tuy nhiên, hãy chứng minh rằng chuyển động sẽ dừng sau một thời gian hữu hạn nếu quy tắc này được thay thế bằng quy tắc sau: cổ điển đầu tiên chỉ quay 180° nếu người đầu tiên (hàng xóm của anh ta) và người thứ ba trong số những người đứng trước mặt anh ta đang đối mặt với anh ta (Hình 2).

G. Kurdimov, Yu. Neretin

F508. Thời kỳ Sao Thủy quay quanh Mặt trời là 88 ngày Trái đất và quanh trục của nó - 59 ngày Trái đất. Độ dài ngày và đêm trên sao Thủy là bao nhiêu?

E. Levitan

F509. Có một dòng nước trong hồ chỉ hút được lớp nước trên cùng. Một chiếc bè có lắp đặt hệ thống thu âm trôi nổi dọc theo dòng nước. Ở phía dưới, phía trước dòng điện có một nguồn âm đứng yên. Một người quan sát trên bè phát hiện ra rằng tại một thời điểm nào đó âm thanh truyền đến bè theo hướng tạo một góc α với phương thẳng đứng. Lúc này đường thẳng đứng hướng về phía nguồn âm một góc bằng bao nhiêu?

Tốc độ của dòng chảy là v, tốc độ âm thanh trong nước là c, độ dày của lớp chuyển động nhỏ hơn nhiều so với độ sâu của đại dương.

G. Kotkin

F510. Một lưới cao su chắc chắn được căng trên quả bóng cao su, các khía của chúng chạy dọc theo kinh tuyến của quả bóng. Quả bóng sẽ có hình dạng như thế nào nếu áp suất trong nó tăng lên?

F511. Các bản của tụ điện phẳng có diện tích S tạo thành một góc nhỏ α (α << 1) với nhau. Khoảng cách trung bình giữa các bản là d. Vẽ hình ảnh gần đúng của đường dây điện trường nhà máy điện của tụ điện và tìm điện dung của tụ điện.

F512. Mục tiêu thể hiện trên Hình 3 bao gồm dòng điện xoay chiều có tần số v = 50 Hz. Bằng cách sử dụng một cổ góp, một hướng xen kẽ giữa các điểm a và b, sau đó một hướng giữa các điểm b và c được cung cấp cho đầu vào của máy ghi dao động. Màn hình osilograph tạo ra hình ảnh của hai đường cong. Hình 4 được tạo từ ảnh chụp bức tranh trên màn hình máy đo dao động. Xác định độ tự cảm L của mạch nếu C = 32 μF, R = 65 Ohm.

B. Nzhnik