Khối đa diện có thể uốn cong liên tục

13

V. Zalgaaler

Khối đa diện có thể uốn cong liên tục

1. đa diện
   Ở đây chúng ta sẽ gọi khối đa diện là một bề mặt (không phải khối!) được tạo thành từ một số hữu hạn các đa giác. Những đa giác này là các mặt của khối đa diện. Các cạnh của các mặt là các cạnh của khối đa diện. Giả sử rằng dọc theo mỗi cạnh không có quá hai mặt liền kề nhau. (Vì vậy, bề mặt được mô tả trong hình a) trên màn hình giật gân không phải là một khối đa diện.) Khối đa diện phải bao gồm một mảnh: từ bất kỳ mặt nào của nó, bạn có thể đi đến bất kỳ mặt nào khác, di chuyển từ mặt này sang mặt khác một cách tuần tự qua các cạnh dọc theo các mặt liền kề.

Nếu một khối đa diện có một cạnh chỉ thuộc một mặt thì đó là khối đa diện có một cạnh (Hình 6). Nếu mỗi cạnh thuộc về hai mặt thì khối đa diện được gọi là khối đóng (Hình 8). Một khối đa diện khép kín không có cạnh.

Chúng ta sẽ gọi một khối đa diện là lồi nếu nó là biên của một vật lồi. Một khối đa diện như vậy nhất thiết phải đóng lại. Theo nguyên tắc, chúng ta sẽ chỉ xét các khối đa diện có các mặt

14

2. Uốn một khối đa diện

Chúng ta sẽ giả sử rằng hình dạng và kích thước của mỗi mặt của khối đa diện bị cấm thay đổi, nghĩa là chúng ta sẽ coi các mặt đó là các tấm vật liệu rắn. Chúng ta hãy thay đổi các góc nhị diện ở các cạnh. Nếu bằng cách thay đổi các góc ở các cạnh, khối đa diện ban đầu có thể được sắp xếp lại sao cho trong khi vẫn giữ nguyên thứ tự tiếp xúc của các mặt, hình dạng của nó thay đổi, thì người ta nói rằng khối đa diện mới thu được từ khối đa diện ban đầu bằng cách uốn cong hữu hạn.

Sự uốn cong của một khối đa diện có một cạnh rất dễ hình dung. Ví dụ, đối với một khối đa diện được tạo thành từ hai hình tam giác, bạn có thể thay đổi tùy ý góc của một cạnh chung.

Hãy cho một ví dụ về sự uốn cong hữu hạn của một khối đa diện kín. Khối đa diện trong Hình 1, a, được tạo thành từ năm mặt của một khối lập phương, mặt thứ sáu được thay thế bằng mặt bên của một hình chữ nhật tứ giác đều thấp đặt trên khối lập phương. Khối đa diện trong Hình 1, b được xây dựng theo cách tương tự, chỉ khác là bây giờ khối kim tự tháp tương tự được đưa vào bên trong khối lập phương. Trong ví dụ này, khi uốn khối đa diện, các góc nhị diện ở một số cạnh không chỉ thay đổi giá trị mà còn trở thành góc tới. Một ví dụ thú vị về sự uốn cong hữu hạn của một khối đa diện được thể hiện trên Hình 2*). Ở đây, trong quá trình uốn, các góc nhị diện nhô ra vẫn nhô ra và các góc nhị diện tới vẫn hướng ra ngoài.

Trong cả hai ví dụ, việc uốn cong được thực hiện bằng một cú xoay mà không bị gián đoạn. Ví dụ, nếu bạn lười biếng rất nhiều

*) Ví dụ này được lấy từ ghi chú của A. D. Aleksaidrov và S. M. Vladimirova (“Bản tin của Đại học Leningrad”, 1962, số 13).

15

Hình 3.

Hình 4.

$a \approx 5,3752$cm; $b \approx 5,9103$ cm; $c \approx 9,0935$ cm. Các cạnh $b$ và $c$ tiến đến tâm của ngôi sao.

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ giả sử rằng trong một khối đa diện khép kín, tất cả các mặt đều cứng abscilton, và dọc theo các cạnh, các mặt lân cận đều có bản lề, giống như các bản lề của cửa. Chúng ta có thừa nhận ít nhất một khối đa diện kín nhỏ có dư thừa liên tục không?

4. Bát diện Bricard đầu tiên

Chúng ta hãy xem xét cơ cấu bốn thanh $ABCD$ trên mặt phẳng $P$ (Hình 3). Các đỉnh $A, C, B, D$, nơi đặt bản lề, đóng vai trò là các đỉnh của một hình thang bằng nhau. Tứ giác $ACBD$ có thể di chuyển được: góc $\alpha$ có thể thay đổi trong những giới hạn nhất định; trong trường hợp này, các liên kết $AB$ và $CD$ trượt tự do lên nhau. Khi $\alpha$ thay đổi, các đỉnh của tứ giác tiếp tục tạo thành một hình thang bằng nhau. Do đó, một đường tròn có thể được mô tả xung quanh tứ giác $ACBD$ bất cứ lúc nào.

Bây giờ chúng ta hãy sửa vị trí của cạnh $AB$ trên mặt phẳng $P$. Khi đó bán kính $R(\alpha)$ của đường tròn ngoại tiếp phụ thuộc liên tục vào $\alpha$. Tâm của đường tròn $O(\alpha)$ cũng liên tục phụ thuộc vào $\alpha$ (theo nghĩa là một sự thay đổi nhỏ $\alpha$ sẽ dẫn đến một sự dịch chuyển nhỏ của điểm $O(\alpha)$).

Chúng ta hãy vẽ một đường vuông góc với mặt phẳng đi qua điểm $O(\alpha)$ và vẽ các đoạn $O(\alpha) M$ trên đường vuông góc này lên xuống tính từ mặt phẳng $P$

3. Một chút lịch sử

Trở lại năm 1813, nhà toán học nổi tiếng người Pháp Augustin Cauchy đã chứng minh rằng một khối đa diện lồi hoàn toàn không cho phép dư thừa mà vẫn bảo toàn tính lồi (trừ khi người ta coi ảnh phản chiếu của nó bị uốn cong) *. Cố gắng trả lời câu hỏi liệu một khối đa diện kín không lồi có thể bị uốn cong liên tục hay không, R. Bricard vào năm 1897 đã xây dựng các ví dụ về loại khối đa diện này. Nhưng đây là những khối đa diện có giao điểm tự thân. Dưới đây chúng tôi mô tả hai thiết kế Bricard.

Câu hỏi về sự tồn tại của một khối đa diện khép kín linh hoạt liên tục mà không tự giao nhau vẫn còn bỏ ngỏ. Nhiều nhà hình học cho rằng khối đa diện như vậy không tồn tại. Tuy nhiên, vào năm 1977, nhà toán học người Mỹ R. Coelli **) đã chế tạo được một khối đa diện như vậy! Việc xây dựng nó dựa trên kết quả của Bricard.

4. Bát diện Bricard đầu tiên

Chúng ta hãy xem xét cơ cấu bốn thanh $ABCD$ trên mặt phẳng $P$ (Hình 3). Các đỉnh $A, C, B, D$, nơi đặt bản lề, đóng vai trò là các đỉnh của một hình thang bằng nhau. Tứ giác $ACBD$ có thể di chuyển được: góc $\alpha$ có thể thay đổi trong những giới hạn nhất định; trong trường hợp này, các liên kết $AB$ và $CD$ trượt tự do lên nhau. Khi $\alpha$ thay đổi, các đỉnh của tứ giác tiếp tục tạo thành một hình thang bằng nhau. Do đó, một đường tròn có thể được mô tả xung quanh tứ giác $ACBD$ bất cứ lúc nào.

Bây giờ chúng ta hãy sửa vị trí của cạnh $AB$ trên mặt phẳng $P$. Khi đó bán kính $R(\alpha)$ của đường tròn ngoại tiếp phụ thuộc liên tục vào $\alpha$. Tâm của đường tròn $O(\alpha)$ cũng liên tục phụ thuộc vào $\alpha$ (theo nghĩa là một sự thay đổi nhỏ $\alpha$ sẽ dẫn đến một sự dịch chuyển nhỏ của điểm $O(\alpha)$).

Chúng ta hãy vẽ một đường vuông góc với mặt phẳng đi qua điểm $O(\alpha)$ và vẽ các đoạn $O(\alpha) M$ trên đường vuông góc này lên xuống tính từ mặt phẳng $P$

*) Chứng minh Ostroym của Cauchy được trình bày, ví dụ, trong cuốn sách “Hình học cơ bản” của Hadamard, tập 2 (Uchredgiz, 1952).

**) R. Connelly, A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra (Publ. Math., IHEE, 1978, v. 47. c. 333—338).

16

và $O(\alpha) M'$ có độ dài $h(\alpha) = \sqrt{L^2 - R^2}(\alpha)$, trong đó $L$ là một hằng số nào đó. Trên mỗi liên kết $AB, BC, CD, DA$, làm cơ sở, chúng ta sẽ dựng hai hình tam giác: có đỉnh $M$ và có đỉnh $M'$. Tất cả các cạnh của những hình tam giác này đều có độ dài $L$ (bất kể $\alpha$!). Tám hình tam giác này tạo thành khối bát diện Bricard tự giao nhau đầu tiên (Hình 4). Với sự thay đổi của $\alpha$ nó uốn cong liên tục.

Thật không may, ngay cả khi chúng tôi cố gắng tạo ra một cơ chế bản lề $ABCD$, chúng tôi không thể xây dựng mô hình hoạt động của khối bát diện Bricard đầu tiên từ giấy: không thể lập mô hình giao điểm có thể thay đổi của các hình tam giác ($AMB$ và $DMC$, $AM'B$ và $DM'C$) bằng các tờ giấy! Tuy nhiên, nếu những hình tam giác này được xây dựng bằng cách kéo dài một mạng lưới các sợi theo chiều ngang trên các cạnh của chúng thì mô hình thu được sẽ cho thấy các hình tam giác liên tục trượt qua nhau như thế nào (Hình 4).

5. Notch Conelli

Chúng ta hãy xem xét một góc nhị diện $QlQ'$, bao gồm một cạnh thẳng $l$ và các nửa cạnh $Q$ và $Q'$ (Hình 5). Chúng ta biểu thị mặt phẳng nhị phân của nó bằng $P$. Chúng ta hãy dựng bát diện Bricard đầu tiên sao cho vòng $AB$ nằm trên đường thẳng $l$, tứ giác $ACBD$ nằm trong mặt phẳng $P$ và các hình tam giác $AMB, AM'B$ nằm trong nửa mặt phẳng $Q$ và $Q'$. Sau đó, chúng tôi xóa phần $AB$ khỏi cạnh $l$ và các hình tam giác $AMB$ và $AM'B$ khỏi các mặt $Q$ và $Q'$. Chúng ta sẽ loại bỏ hai hình tam giác giống nhau khỏi bát diện Bricard. Con số hiển thị trong Hình 5 sẽ vẫn giữ nguyên. Chúng ta sẽ nói rằng một rãnh Conelli được tạo ra trên mép của góc nhị diện.

Khối đa diện có cạnh như trong Hình 5 cho phép uốn cong liên tục: khi $\alpha$ thay đổi, bát diện Bricard uốn cong, đồng thời, khoảng cách $MM'$ liên tục thay đổi, và cả (trong một số giới hạn nhất định) góc nhị diện $QlQ'$ cũng thay đổi.

Không giống như bát diện Bricard đầu tiên, hãy tạo một giá trị hợp lệ

17

Hình 7.

Hình 8.

∆ ∼ 180°. Phần CDMB tương ứng với vết nứt dọc theo cạnh MC, tại đó hình thành góc β (α), được chọn cho mỗi α sao cho góc giữa các đoạn BM và MD ở cả hai phần là như nhau. Sau đó chúng ta sẽ gắn 2 phần này với nhau dọc theo đường BMD.

Chúng ta hãy cố định vị trí của một mặt (ví dụ mặt ABM) trong không gian. Khi đó, sự thay đổi của α trong phạm vi 179°  α ≤ 180° tương ứng với sự uốn cong liên tục của một khối đa diện tứ diện có một cạnh. Nếu chúng ta giả sử rằng trong quá trình uốn gấp đôi, các góc tại các gân AM, MC hướng cạnh xuống dưới thì ít nhất một trong các góc tại các gân AM, MD sẽ hướng cạnh lên trên (Hình 7). Tại α=180°, tất cả các góc này đều thẳng, và chúng ta đạt đến vị trí phẳng của tứ diện như trên Hình 6.

Hình 9.

7. khối đa diện Conelli

Chúng ta hãy xem xét khối bát diện Bricard thứ hai ở vị trí của nó khi α = 180° và nó đã suy biến thành một hình chữ nhật có hai lớp phủ. Chúng tôi thay thế từng hình tam giác của nó

18

“các mặt” của bề mặt bên của một paramid hình tam giác đặt trên mặt này. Trong trường hợp này, chúng ta đặt các paramid có đáy là các hình tam giác có đỉnh $M$ trên mặt phẳng $ABCD$ (Hình 9) và các paramid có đáy là hình tam giác có đỉnh $M'$ trên một mặt phẳng.

Khối đa diện thu được (được tạo bởi các bề mặt bên của tất cả tám paramit) đã “gần như” không có giao điểm tự: các phần của nó nằm ở trên và dưới mặt phẳng $ABCD$ được chứa (ngoại trừ đường viền $ABCD$) chỉ trong hai điểm “phụ” (điểm $a$ và $b$ trong Hình 8). Hình 10 thể hiện tiếp điểm này tại điểm $a$ (nó có dạng tiếp điểm một điểm bên ngoài của các cạnh của hai góc).

Bây giờ chúng ta hãy loại bỏ hiện tượng tự chạm của khối đa diện tại điểm $a$ bằng cách tạo một rãnh Conelli trên cạnh $BM'$. Tương tự, tính điểm $b$ và tạo một vết khía trên cạnh $DM'$.

Khối đa diện Conelli đã sẵn sàng: nó rất dài và cho phép uốn cong liên tục! Hình dáng chung của nó được thể hiện trong Hình 12; nó có thể được làm từ giấy vẽ.

Một độc giả phê bình có thể nghi ngờ rằng với sự trợ giúp của khía Conelli, thực có thể được thiết lập khi tiếp xúc tại các điểm $a$ và $b$; tuy nhiên, điều này sẽ rất hữu ích cho những người tạo mô hình rãnh Conelli hoặc nghiên cứu kỹ Hình 11. Một người đọc tỉ mỉ sẽ có thể đưa ra bằng chứng chặt chẽ về thực tế này.

Tóm lại, chúng tôi lưu ý rằng trong quá trình uốn, thể tích của khối đa diện Conelli không thay đổi (nó sẽ có thể uốn cong ngay cả khi nó chứa đầy chất lỏng không thể nén được!). Hãy cố gắng tự mình chứng minh điều đó.

---

Trong khi ghi chú này đang được chuẩn bị xuất bản, nhà hình học từ Kharkov A.D. Milka đã gửi cho chúng tôi một mô hình khối đa diện Conelli do ông và các đồng đội của ông chế tạo. Khi chế tạo mô hình, người Kharkovite đã sử dụng các thông điệp “thiết kế” bổ sung sau đây.

1. Vị trí của điểm $M$ trong hình chữ nhật $ABCD$ (Hình 6) là tùy ý