Biểu đồ từ các điểm căn chỉnh

30

Biểu đồ từ sự sắp xếp điểm

Bài viết của V. Vavilov (tr. 22) nói về phương trình lời giải gần đúng của bước thứ hai và thứ ba bằng cách sử dụng biểu đồ lưới. Chúng ta. 83 “Bảng toán học bốn chữ số” của V. M. Bradis cũng hiển thị một biểu đồ cho các phương trình lời giải gần đúng $x^2 + px + q = 0$ (Bảng XXII). Tuy nhiên, đây không phải là một biểu đồ lưới mà được gọi là biểu đồ căn chỉnh điểm. Nó là gì, làm thế nào để có được nó và cách sử dụng một biểu đồ như vậy sẽ được thảo luận trong ghi chú này.

Chúng ta hãy vẽ hai đường thẳng đứng song song - trục $p$ với điểm bắt đầu của đường cắt $A$ và trục $q$ với điểm bắt đầu của đường cắt $B$ (Hình 1; trong hình này, đoạn $AB$ đã được phân phối lại bởi trục $p$, $q$, nhưng điều này hoàn toàn không cần thiết).

Hãy lấy các số tùy ý $\alpha$, $\beta$ và một số dương $a$. Trên trục $p$ ta lấy điểm $C$ có tọa độ $-a^{\alpha-\beta}$, trên trục $q$ - điểm $D$ với tọa độ $-a^\alpha$. Hãy để $[AD]\cap \bigcap[BC] = E$.

Hãy vẽ qua $E$ một đường thẳng tùy ý không song song với các trục $p$, $q$. Chúng ta hãy biểu thị tọa độ giao điểm $M$ của đường này với trục $p$ x $p_0$ và giao điểm $N$ với trục $q$ x $q_0$. Sau đó

$$a^\alpha + p_0 a^\beta + q_0 = 0,$$

(1)

tức là số a là nghiệm của phương trình

$$x^\alpha + p_0 x^\beta + q_0 = 0.$$

(2)

Đường thẳng $MN$ có thể cắt các trục $p$, $q$ theo một trong ba cách: $p_0 < 0$, $q_0 > 0$ (Hình 1); $p_0 > 0$, $q_0 < 0$ (Hình 2); $p_0 < 0$, $q_0 < 0$ (Hình 3). Ta chứng minh đẳng thức (1) cho trường hợp trên Hình 1 (hai trường hợp còn lại xét tương tự).

Từ sự giống nhau của các tam giác $AEC$ và $BED$, chúng ta có $$\frac{|BD|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|AE|},$$ từ đó $$\frac{|DE|}{|AE|} = \frac{a^\alpha}{a^{\alpha-\beta}} = a^\beta.$$ Hơn nữa, từ sự giống nhau của các tam giác $AEM$ và $NED$ suy ra $$\frac{|DN|}{|AM|} = \frac{|DE|}{|AE|},$$ tức là $$\frac{a^\alpha + q_0}{-p_0} = a^\beta$$ (Hình 1), cho ra (1).

Chúng ta hãy sửa $\alpha$, $\beta$ tùy ý và xem xét tất cả các phương trình có thể.

31

Hình 3.

ý kiến

$$x^\alpha + px^\beta + q = 0.$$ (3)

Biểu đồ để tìm nghiệm dương của các phương trình như vậy được vẽ như sau: tham số $a$ thuộc về từng giá trị dương và đối với mỗi giá trị đó, điểm $E$ được xây dựng như mô tả ở trên; các điểm kết quả, được đặt với các giá trị tham số tương ứng, được kết nối bằng một đường cong mượt mà $\Gamma$ (Hình 4).

Nếu bây giờ chúng ta muốn sử dụng biểu đồ này để tìm gần đúng các nghiệm dương của một phương trình cụ thể $x^\alpha + p_0 x^\beta + q_0 = 0$, chúng ta cần lấy điểm $M$ với tọa độ $p_0$ trên trục $p$ và điểm $N$ với tọa độ $q_0$ trên trục $q$ và vẽ một đường thẳng $MN$. Mỗi điểm giao nhau của đường thẳng $MN$ với đường cong $\Gamma$, nhờ vào (1), cho một nghiệm dương của phương trình (2).

Bây giờ đã rõ tại sao một biểu đồ được xây dựng theo cách này được gọi là biểu đồ của các điểm được biểu thị: các điểm tương ứng với các hệ số $p, q$ của phương trình và các điểm tương ứng với nghiệm dương mong muốn của phương trình $x^\alpha + px^\beta + q = 0$ nằm trên cùng một đường thẳng.

Bài tập

1. Xây dựng biểu đồ từ các điểm đã biểu thị để tìm nghiệm dương của phương trình

$$x^m + px^n + q = 0$$

nếu $m = 3, n = 2; m = 4, n = 1; m = 4, n = 2; m = 4, n = 3.$