Номограммы из выравненных точек

30

Номограмы из выравнений точек

В статье В. Вавилова (с. 22) расссказывается о приближенном решении уравнений второй и третьей степей с помощью сетчатых номограмм. На с. 83 «Четырехначных математических таблиц» В. М. Брадиса тоже изображена номограмма для приближенного решения уравнений $x^2 + px + q = 0$ (таблица XXII). Однако это не сетчатая номограмма, а так называемая номограмма из выравнений точек. Что это такое, как она получается и как пользоваться такой номограммой, обязывается в настоящей заметке.

Нарисуем две вертикальные параллельные прямые — ось $p$ с началом отсечета $A$ и ось $q$ с началом отсечета $B$ (рис. 1; на этом рисунке отрезок $AB$ перепределился осем $p$, $q$, но это вовсе не обязательно).

Возьем произвольные числа $\alpha$, $\beta$ и положительное число $a$. На оси $p$ возьмем точку $C$ с координатой $-a^{\alpha-\beta}$, на оси $q$ — точку $D$ с координатой $-a^\alpha$. Пусть $[AD]\cap \bigcap[BC] = E$.

Проведем через $E$ произвольную прямую, не параллельную осем $p$, $q$. Обозначим координату пересечения $M$ этой прямой с осью $p$ через $p_0$, пересечения $N$ с осью $q$ — через $q_0$. Тогда

$$a^\alpha + p_0 a^\beta + q_0 = 0,$$

(1)

т. е. число а является корнем уравнения

$$x^\alpha + p_0 x^\beta + q_0 = 0.$$

(2)

Прямая $MN$ может пересекаться с осями $p$, $q$ одним из трех способов: $p_0 < 0$, $q_0 > 0$ (рис. 1); $p_0 > 0$, $q_0 < 0$ (рис. 2); $p_0 < 0$, $q_0 < 0$ (рис. 3). Доказем равенство (1) для случая, изображенного на рисунке 1 (остальные два случая рассматриваются аналогично).

Из подобия треугольников $AEC$ и $BED$ имеем $$\frac{|BD|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|AE|},$$ откуда $$\frac{|DE|}{|AE|} = \frac{a^\alpha}{a^{\alpha-\beta}} = a^\beta.$$ Далее из подобия треугольников $AEM$ и $NED$ следует $$\frac{|DN|}{|AM|} = \frac{|DE|}{|AE|},$$ то есть $$\frac{a^\alpha + q_0}{-p_0} = a^\beta$$ (рис. 1), что и дает (1).

Зафиксируем произвольные $\alpha$, $\beta$ и рассмотрим всевозможные уравнения.

31

Рис. 3.

нения

$$x^\alpha + px^\beta + q = 0.$$ (3)

Номографма для отыскания положительных корней таких уравнений рисунется следующим образом: параметру $a$ принадлежит положительную каждую и для каждой из них строится точка $E$ так, как рассказано выше; полученные точки, помещенные соответствующими значениями параметра, соединяются плавной кривой $\Gamma$ (рис. 4).

Если мы хотим теперь при помощи этой номографмы приближенно найти положительные корни конкретного уравнения $x^\alpha + p_0 x^\beta + q_0 = 0$, надо на оси $p$ взять точку $M$ с координатой $p_0$, на оси $q$ — точку $N$ с координатой $q_0$ и проведсти прямую $MN$. Каждая точка пересечения прямой $MN$ с кривой $\Gamma$ дает, в силу (1), положительный корень уравнения (2).

Теперь понятно, почему так построенная номографма называется номограммой из выраженных точек: точки, соответствующие коэффициентам $p, q$ уравнения, и точки, соответствующие искомым положительным корнем уравнения $x^\alpha + px^\beta + q = 0$, лежат на одной прямой.

Уражнения

1. Построите номограммы из выраженных точек для нахождения положительных корней уравнения

$$x^m + px^n + q = 0$$

если $m = 3, n = 2; m = 4, n = 1; m = 4, n = 2; m = 4, n = 3.$