Задачи наших читателей

32

решения уравнения (3) при $\alpha=2$, $\beta=1$. Эта номограмма взята из «Четырезначных математических таблиц» В. М. Брадиса.

Точки на осах $p$ и $q$ имеют на рисунке координаты от $-12,6$ до $+12,6$. Поэтому, если значения коэффициентов $p_0$ и $q_0$ данного конкретного уравнения $x^2+p_0x+q_0=0$ не превысают по модулю 12,6 и отличны от 0, то для нахождения по ло-
жи и тельны x корней этого уравнения нужно проделать то, что описано выше. Построенная прямая $MN$ может пересекаться с кривой Г в двух точках (в этом случае оба корня данного уравнения $x^2+p_0x+q_0=0$ положительных), в одной точке (в этом случае второй корень уравнения отрицательен), может касаться кривой (в этом случае уравнения $x^2+p_0x+q_0=0$ — кратный положительный корень); наконец, она может не иметь с кривой Г ни одной общей точки (в этом случае либо оба корня уравнения отрицательны, либо у него вообще нет действительных корней).

Для получения отрицательных корней уравнения $x^2+p_0x+q_0=0$ надо, сделав замени переменной $x=-t$, искать на той же номограмме положительные корни уже для уравнения $t^2-p_0t+q_0=0$.

Если значения коэффициентов $p$ и $q$ по модулю превозходит 12,6, то следует сделать замени переменной $x=kt$ и перейти от уравнения $x^2+px+q=0$ к уравнению $t^2+(p/k)t+q/k^2=0$; число $k$ выбирается так, чтобы числа $p/k$ и $q/k^2$ были в указанных на номограмме интервалах.

В случае, если оба корня уравнения $x^2+px+q=0$ близки к нулю, также выгодно сделать замени переменной $x=kt$. Так, для уравнения $x^2-0,89x+0,16=0$ значения корней по номограмме найти трудно. Положив $x=0,2t$, получим уравнение $t^2-4,45t+4=0$; его корни $t_1=1,2; t_2=3,2$, откуда $x_1=0,24, x_2=0,64$.

Уражение 3

Использовая таблицу XXII из «Таблицы» Брадиса, решите следующие квадратные уравнения:

a) $x^2-2,4x+1,5=0$; b) $x^2-6x+9=0$;
a) $x^2-6x+8,99=0$; b) $x^2-13x+17=0$;
d) $x^2-0,3x+0,2=0$; e) $x^2-17x+0,8=0$.

Задачи наших читателей

1. Докажите неравенство
   $$\sqrt{2}+\sqrt{4-2\sqrt{2}}+\sqrt{6-2\sqrt{6}}+\dots+\sqrt{2n-2\sqrt{(n-1)n}} \geq \sqrt{n(n+1)}$$
   O. Бабаев
   (r. Нахчевы)

2. Назовем натуральное число $A$ интегральным, если при вычитании из него числа, состоящего из тех же цифр, но записанных в обратном порядке, получается натуральное число, состоящее из тех же цифр, что и $A$. Таковым, например, является число 1980, так как 1980 – 891 = 1089 (подразумевается, что 0891 = 891).

a) Существует ли 1978-значное интеграное число, состоящее только из единиц, четверок и семерок?

b) Найдите все трех значные интеграbles числа.

b) Существует ли четверок и семерок?

г) Сколько существует интеграbles чисел, цифры которых образуют аргументную прогрессию?

d) Докажите, что 1979-значных интеграbles чисел будут больше 10^{100}.

e) Для какого натурального $N$ существует интеграное число?

B. Бамышев
(r. Москва)

3. Докажите без помощью таблицы, что $tg 34^\circ > 2/3$.

C. Майэрус
(r. Запорожье)

4. Постройте бесконечную последовательность чисел, в которой первый член равен $a (a \neq 1)$ и сумма любого числа первых членов равна их произведению.

H. Суев
(r. Кищнев)