Советуем купить!

34

бы одно из прямого лыбников, содержащих точки A или C, не больше чем вертипи площади исходного прямого лыбника.

Пусть сторона AB разрезана на куски, составляющие части k и 1—k от нее, а сторона BC разрезана на куски, составляющие части l и 1—l от нее. Нам надо доказать, что $kl \leq \frac{1}{4}$ или $(1-k)(1-l) \leq \frac{1}{4}$ при всех k, l от 0 до 1.

Для этого достаточно убедиться, что $kl(1-k)(1-l) \leq \frac{1}{16}$. Но $k(1-k) \leq \frac{1}{4}$ и $l(1-l) \leq \frac{1}{4}$ (эти неравенства выводятся из неравенств $\left(k - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$ и $\left(l - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$).

Позному $kl(1-k)(1-l)$ действительно не больше $1/16$.

9. Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} 1 + x_1^2 = 2x_2, \\ 1 + x_2^2 = 2x_3, \\ 1 + x_3^2 = 2x_4, \\ 1 + x_4^2 = 2x_1. \end{cases}$$

Сложив все уравнения, получим $(x_1-1)^2 + (x_2-1)^2 + (x_3-1)^2 + (x_4-1)^2 = 0$.

Это равенство возможно только, если $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 1$, что и дает единственный ответ.

10. Ученику присладайте, составнее из 20 задач. За каждую правильную решенную задачу ему ставят 8 баллов, за каждую неверно решенную — минус 5 баллов; если же он задачу не решил, ему ставят 0 баллов. В результате ученик получил 13 баллов. Сколько задач решал ученик?

Пусть ученик правильно решил x задач и неправильно решил y задач. Тогда

$$8x - 5y = 13,$$

откуда 5y+13 должно делиться на 8.

Ясно, что y нечетно. Пробуем нечетные значения y подряд и находим подхождения: y=7 и y=15. Подхождение только первое: y=7, x=6. (При y=15, x=11 и x+y=24>20.)

Советуем купить!

Matematika

Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиверкомплиексные числа. Ц. 22 к. Перельман Я. И. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. Ц. 30 к. Посткинов М. М. Теорема Ферма. Ц. 20 к. Солодовников А. С. Системы линейных неравенств. Ц. 15 к.

Физика, астрономия

Бутенин Н. В. Введение в аналитическое механику. Ц. 56 к. Бутников Е. И. и др. Физика для поступающих в вызы. Ц. 1 р. Китайгородский А. И. Введение в физiku. Ц. 1 р. 41 к. Кошкин Н. И., Ширкевич М. Г. Справочник по элементарной физике. Ц. 69 к. Кресин В. 3. Сверхпроводимость и сверхтекучесть. Ц. 35 к. Майер В. В. Простые опыты с ультразвуком. Ц. 20 к. Сборник задачи по общему курсу физики (Механика). Ц. 67 к. Сборник задачи по общему курсу физики (Термодинамика и молекулярная физика). Ц. 32 к.

(Окончание см. c. 58)

35

Премии «Кванта»
В 1977/78 учебном году редакция получила более 12 тысяч писем с решениями задач из Задачника «Кванта». Школьники, решившие наиболее число задач или приславшие наиболее оригинальные решения, награждаются специальной премией, учрежденной редакционной коллекцией журнала — подпиской на «Квант» на 1979 год.

1. БАЛИНСКИЙ АЛЕКСАНДР (с. Дубляны Львовской обл.)
2. БАРЗЫКИН АЛЕКСАНДР (пос. Черноголовка Московской обл.)
3. БАТЫРЕВ ВИКТОР (г. Москва)
4. ГАВРИЛОВ МИХАИЛ (пос. Черноголовка Московской обл.)
5. ГРИШЕЧКИН СЕРГЕЙ (г. Москва)
6. ГУБА ВИКТОР (г. Вологда)
7. ИЗМАЙЛОВ РАУФ (г. Баку)
8. КУЛЕСКО АЛЕКСАНДР (г. Донецк)
9. ЛАШКИН ВЛАДИМИР (г. Киев)
10. ЛЮДМИРСКИЙ ДМИТРИЙ (г. Киев)
11. МИНДЛИН ДМИТРИЙ (г. Ташкент)
12. МИРЛИН АЛЕКСАНДР (г. Ленинград)
13. НЕНАШЕВ АЛЕКСАНДР (г. Ленинград)
14. ОПАРИН АНДРЕЙ (г. Горький)
15. РОЖАНСКИЙ ЛЕВ (г. Москва)
16. ТРОФИМОВ ВЛАДИМИР (г. Москва)
17. ФИРСОВА ГАЛИНА (г. Ленинград)
18. ШВЕЙДЕЛЬ ВЛАДИМИР (г. Великие Луки)

За успешное участие в XII Всесоюзной физико-математической оптимизации подпиской на «Квант» на 1979 год награждаются:

1. АБДУГАНИЕВ АБДУВАЛИ (Ташкентская обл.)
2. БРАТЧЕНКО СВЕТЛАНА (х. Бойко-Понура Красно-дарского края)
3. ИРМАТОВ АНВАР (г. Наманган)
4. ЛУЧКО ЮРИЙ (д. Словатич Гродненской обл.)
5. ФАИСМАН АЛЕКСАНДР (г. Ташкент)
6. ШЕРБАКОВ СЕРГЕЙ (г. Ленинград)