Сетчатые номограммы

22

Сетчатые номографмы

В. Вавилов.

Сетчатые номографмы

На этом занятии вам будет предложено несколько заданий. Экспериментальная часть (выполнение чертежей) доступна всем, а обоснование требует знания произвольной. Наш совет — научите с чертежной работы, а потом займите докаазательствами.

Отметим, что номографмы, изображенные на рисунках, не могут быть достаточно эффективно использовать на практике (из-за полиграфических трудностей они слищком мелки и не точны).

Математики, как французы: все, что вы им говорите, они переводят на свой язык, и это точас же становится чем-то совершенно иным.

Н. В. Гёте

1. Квадратные тречлены и фазовая плоскость

Рассмотрим семейство квадратных тречленов $\{x^2+px+q\}$ (p и q — действительные числа). На некоторых плоскости π — называем ее фазовой — поставим в соответствие квадратному тречлену $x^2+px+q$ точку с координатами p и q. Например, тречлену $x^2+x+1$ соответствует точка (1; 1), а точка (0; 0) соответствует тречлену $x^2$.

Выясним, какие точки фазовой плоскости соответствуют тречленам, имеющим совпадание корни. Для этого приравняем дискриминант тречлена к нулю; получим равенство

$$q = \frac{1}{4} p^2.$$

Равенство (1) определяет в плоскости π так называемую дискриминантнуюнуюную точку параболу (рис. 1); эта парабола состоит из точек, соответствующих тречленам вида $(x-x_0)^2 = x^2-2x_0x+x_0^2$.

Неравенство $q > \frac{1}{4} p^2$ задает в плоскости π область, лежащую «внутри» параболы (синяя область на рисунке 1). Точки этой области соответствуют тречленам, не имеющим действительных корней. Квадратным тречленам, имеющим два различных действительных корня, соответствуют точки, координаты которых удовлетворяют соответствию $q < \frac{1}{4} p^2$. Это — розовая область на рисунке 1.

Рассмотрим на плоскости π прямую

$$ap+q+a^2=0$$

(2) (здесь p, q — переменные, a — фиксированное число). Легко сообщить, что точки, лежащие на прямой (2), соответствуют тречленам, имеющим корень a. Прямая (2) называется корневой прямой. (Разумеется, корневых прямых много — каждому потенциальному корню a отвечает своей прямой.)

Как расположена корневая прямая по отношению к дискриминантной параболе? Ясно, что они касаются друг друга. Действительно, корневая прямая не пересекается с синей области и имеет одну общую точку с границей этой области, а именно точку, соответствующую тречлену $(x-a)^2 = x^2-2ax+a^2$. Этот вывод легко проверить неоспределенным решением системы

$$\begin{cases} q = \frac{1}{4} p^2, \\ ap+q+a^2=0. \end{cases}$$

Поскольку точка $(-2a; a^2)$ принадлежит и прямой (2), и параболе (1), прямая (2) и параболе (1) касаются друг друга в этой точке.

Проведя рассудение в обратном порядке, можно доказать, что всякая прямая, касающаяся дискриминантной параболе, является корневой прямой (доказатель сами!).

Итак, через каждую точку дискриминантной параболе проходит

23

Рис. 1.

ровно одна корневая прямая (каса-тельная к параболе). Через точки синей области не проходит ни одной корневой прямой. Это согласуется с тем, что из «внутренности» парабoles нельзя проверки к ней ни одной касательной. Наконец, поскольку каждой точке, лежащей в розовой области, соответствует уравнении, которое имеет два различных действительных корня, через каждую точку можно проверки две различные корневые прямые. Это также согласуется с тем, что через точку, лежащую во «внешности» парабoles, можно проверки к нейровно две касательные.

Взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости и квадратными уравнениями позволяет найти описать все уравнения с заданным свойством корней, указав соответствующее множество точек фазовой плоскости.

Для примера опишем все такие точки плоскости π, которые соответствуют квадратным уравнением $x^2+px+q=0$ с двумя различными корнями, принадлежими интегралу ]—2; 1[.

Легко сообщить, что квадратное уравнение $x^2+px+q=0$ могда и молко могда имеет различные действительные корни, принадлежите заданному интегралу, когда трехлен $x^2+px+q$ имеет положительный дискрипант, на кончах интеграла принимает положительные значения и абсцисса вершины

парабoles $y=x^2+px+q$ приадлежит заданному интегралу.

Для интересующего нас интереся лемma ]—2; 1[ таким образом получается система:

$$\begin{cases} q < \frac{1}{4} p^2, \\ 4 - 2p + q > 0, \\ 1 + p + q > 0, \\ -2 < -\frac{p}{2} < 1. \end{cases}$$

На плоскости π система (3) задает множество точек, закрашенное на рисунке 2 розовым цветом. Таким образом, квадратным трехленам, имеющим различные действительные корни, приадлежите интегралу ]—2; 1[, соответствует внутренние точки этого кривойного треугольника.

Корневые прямые $-2p+q+4=0$ и $p+q+1=0$ (отвечающее корнем ]—2 и 1) делят внешность дискрипант на шесть области: $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2, \gamma$ и $\delta$ (рис. 2). Число корней уравнения $x^2+px+q=0$, попадающих в интеграл ]—2; 1[, зависит от того, в какой из перечисленных области плоскости π находится соответствующая этому уравнению точка $(p; q)$. Эта зависимость отражена в таблице, приведенной на рисунке 2 (проверьте!).

Задание 1

1. a) Найдиме множество всех таких точек $(p; q) \in \pi$, для которых уравнение $x^2+px+q=0$ имеет два действительных корня $x_1, x_2$, причем $a < x_1 < b$, $c < x_2 < d$ и $a < b \leqslant c < d$.

6. Составьте таблицу, при помощи которой по положению точки $(p; q)$ на плоскости π можно было бы отвести на вопрос, сколько корней уравнения $x^2+px+q=0$ попадаем в интегралы $|a, b|$ $|c, d|$ (для заданных $a, b, c$ и $d$).

Рассмотрим, например, случай, когда $a=-3$, $b=0$, $c=1$, $d=3$.

Следующая задача — для самостоятельного исследования.

2. Рассмотрим на отрезке $[0; \pi]$ семейство функций $\{\cos^2x+p \cos x+q\}$. Как и раньше, каждой функция

24

Рис. 2.

этого семейства поставим в соответствии точку $(p; q) \in \pi$.

a) Исследуйте функцию $\cos^2 x + p \cos x + q$ на возрастание и убывание в зависимости от положения точки $(p; q)$ на плоскости $\pi$.

6. Пусть $M_0 = (p_0; q_0)$ — фиксированная точка плоскости $\pi$, $M = (p; q)$ — переменная точка; $f_0(x) = \cos^2 x + p_0 \cos x + q_0$, $f(x) = \cos^2 x + p \cos x + q$. Для заданных точек $M$ и $M_0$ положим

$$d(M, M_0) = \max_{[0; \pi]} |f(x) - f_0(x)|.$$

Найдиме множество точки $M = (p; q) \in \pi$ максим, что

1. $d(M, M_0) = 1$;
2. $d(M, (2; 2)) = d(M, (-2; -2))$.

2. Номографма для решения уравнения $x^2 + px + q = 0$

Проведем на фазовой плоскости $\pi$ достаточно много корневых прямых $ap + q + a^2 = 0$, придавая параметр $a$, например, значения 0; ±0,5; ±1; ±1,5; ±2; ±2,5; ±3; ±3,5.

Возле каждой проведенной прямой напишем соответствующее значение $a$ (рис. 3). Получившаяся «сеть» из прямых называется семиатом номерамой (для решения квадратных уравнений).

Чтобы при помощи построенной номограммы найти корни данного уравнения $x^2 + px + q = 0$, нужно установить, какие корневые прямые проходят через соответствующее ему точку $(p; q) \in \pi$.

Решим, например, уравнение $x^2 + 0,5x - 3 = 0$. Через точку $(0,5; -3)$ проходят корневые прямые с помощью $a = -2$ и $a = 1,5$; следовательно, числа $-2$ и $1,5$ являются корнями нашего уравнения.

Рассмотрим теперь уравнение $x^2 + x - 3 = 0$. Ему на фазовой плоскости соответствует точку $(1; -3)$. Корневые прямые, проходящие через эту точку, на нашей номограмме не нанесены. В этом случае поступим так. Заметим, что точка $(1; -3)$ лежит внутри четырехугольника $ABCD$, образованного корневыми прямыми при $a = -2,5$; $a = -2$; $a = 1$ и $a = 1,5$ (рис. 3).

25

Точка этого четырехугольника соответствует уравнению с двумя действительными корнями, один из которых попадает в интервал ]1; 1,5[, а другой — в интервал ]—2,5; —2[. Следовательно, корни уравнения $x^2+x-3=0$ также лежат в указанных интервалах. Взяв их середины, мы получим приближенные значения исходных корней:

$$x_1 \approx \frac{1,5+1}{2} = 1,25,$$

$$x_2 \approx \frac{-2-2,5}{2} = -2,25.$$

Подставив эти значения $x_1$ и $x_2$ в данное уравнение, получим:

$$(1,25)^2 + 1,25 - 3 = -0,1875,$$

$$(-2,25)^2 - 2,25 - 3 = -0,1875$$

результат довольно грубый. Чтобы с помощью номограммы получить более точные значения корней, нужно, очевидно, увеличить на ней число корневых прямых, т. е. увеличить частоту изменения параметра $a$.

Для приближенного решения уравнения с совпадующими корнями удобно программировать дискриминантную парабoly $q = \frac{1}{4} p^2$. Уравнение с корнями $x_1=x_2=a$ соответствует на ней точка $(-2a; a^2)$. Придавая параметру $a$ различные значения и помечая этиими значениями точки $(-2a; a^2)$ дискриминационный парабoly, получаем на ней шкалу для решения уравнения с совпадующими корнями (рис. 3).

Задание 2

Начертите на миллиметровой бумаге семиатрую номограмму для решения уравнения $x^2+px+q=0$.

3. Номограмма для решения уравнения $x^3+px+q=0$

Рассмотрим теперь семейство кубических x трехчленов $\{x^3+px+q\}$. Каждому трехчлену поставим в соответствии на фазовой плоскости п точку $(p; q)$.

Выясним, какие точки фазовой плоскости соответствуют кубическим трехчленам, имеющим совпадующие корни.

Рис. 3.

26

Пусть $a$ — кратный корень кубического трехчлена $x^3+px+q$, т. е. $x^3+px+q=(x-a)^2(x-b)$, где $b$ не обязательно отлично от $a$. Раскрыв скобки, получим тожество
$$x^3+px+q=x^3- -(2a+b)x^2+(a^2+2ab)x- -a^2b.$$
Отсюда $2a+b=0, a^2+2ab=p, a^2b=-q$. Исключив из этих уравнений $b$, получим $p=-3a^2, q=2a^3$; наконец, исключив $a$, получим искомое соответствие
$$\left(\frac{p}{3}\right)^3+\left(\frac{q}{2}\right)^2=0,$$
(4)

Являющеся необходимым и достаточно условием для совпадения по крайней мере двух корней трехчлена $x^3+px+q$. Множество точек $(p; q) \in \pi$, координаты которых удовлетворяют уравнению (4), это кривая, изображенная на рисунке 4. Кривая (4) называется дискриминатной кривой уравнения $x^3+px+q=0$.

Прямая
$$ap+q+a^3=0,$$
(5)

соответствует уравнению трехчленам, имеющим корень $a$, как и раньше, называется корневой.

Каково взаимное расположение кривой (4) и прямой (5) на фазовой плоскости $x?$ Имеют ли они точки пересечения, и, если имеют, то сколько?

Чтобы ответить на эти вопросы, заметим, что, поскольку в уравнениях $x^3+px+q=0$ член с $x^2$ отсутствует, сумма его корней $x_1, x_2$ и $x_3$ равна нулю: $x_1+x_2+x_3=0$ (доказьте это). Точке пересечения $(p; q)$ кривой (4) с прямой (5) соответствует кубический трехчлен $x^3+px+q$, у которого $a$ либо кратный корень, либо — нет. В первом случае $x_1=x_2=a$ и $x_3=-2a$. Во втором случае $x_1=a$ и $x_2=x_3=-\frac{a}{2}$. Значит, кривая (4) и прямая (5) имеют две общие точки $(p_1; q_1)$ и $(p_2; q_2)$: одна из них ответает трехчлену $x^3+p_1x+q_1=(x-a)^2 \times (x+2a)$, другая — трехчлену $x^3+p_2x+q_2=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2(x-a)$. Эти две точки совпадают в том и только в том случае, когда $a=0$.

Рис. 4.

Рис. 5.

Найдем теперь точки пересечения прямой (5) и кривой (4) чисто алгебраически. Для этого из (5) выразим $q$ через $p$ и подставим в (4). Мы получили для определения $p$ кубическое уравнение
$$\left(\frac{p}{3}\right)^3+\left(\frac{a^3+pa}{2}\right)^2=0.$$

Нетрудно убедиться в том, что
$$\left(\frac{p}{3}\right)^3+\left(\frac{a^3+pa}{2}\right)^2= \frac{1}{27}(p+3a^2)^2\left(p+\frac{3a^2}{4}\right).$$

Отсюда следует, что числа $p_1=-3a^2$ и $p_2=-\frac{3a^2}{4}$ — корни уравнения (6), причем $p_1$- кратный корень.

Кратному корню уравнения (6) соответствует «совпадение» точки пересечения кривой (4) и прямой (5). В этой «сдвоеной» точке пересечения корневая прямая касає т с я дискриминатной кривой (строю доказательства этого утверждения мы здесь, к сожалению, привести не можем; интуитивная идея доказательства ясна из рисунка 5).

27

Рис. 6.

Проведяя все рассуждания в обраthом порядке, мы получим, что всякая касательная к дискриминантой кривой является корневой прямой.

Начертив на плоскости л доста-toчно много корневых прямы (5), мы получим сетчатую номограмму для решения кубических уравнений $x^3+px+q=0$. Такая номограмма изображана на рисунке 6.

Число корней конкретного уравнения $x^3+px+q=0$ зависит от того, сколько касательных можно проведены из точки $(p; q) \in \pi$ к дискриминантой кривой (4) (каждая касательная является корневой прямой, а каждой корневой прямой отвечает свое значение корня).

Дискриминантная кривая делит плоскость л на две части: внутреннюю (содержащую отрицательную полуось изменения $p$) и внешнюю.

Так как дискриминантная кривая состоит из двух симметричных выпуклых дуг $^*$), то через любую точку внешней области можно проведити только одну касательную к ней (рис. 7, а): если точка $(p; q)$ лежит выше оси $Op$, то к нижней дуге, а если ниже оси $Op$, то к верхней; сама ось $Op$ касается кривой (4) в ее особой точке (0; 0). Таким образом, точки внешней области соответствуют тем кубических уравнениям, которые имеют только один (действительный) корень. В этой области

$$\left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2 > 0. \tag{7}$$

Неравенство (7) является необходимым и достаточным условием того, что уравнение $x^3+px+q=0$ имеет в точности один действительный корень.

В любой точке внутренней области выполняется противоположное неравенство

$$\left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2 < 0. \tag{8}$$

С другой стороны, из любой точки внутренней области можно проведити три различных касательные к кривой (4) (рис. 7, б). Действительно, для

28

точек, расположенных на оси $Op$, это следует из симметриности кривой (рис. 7, $\theta$); число же касательных не может изменяться, если переходить к другим точкам, не пересекая при этом кривой. Таким образом, неравенство (8) является необходимым и достаточно условием того, что уравнение $x^3+px+q=0$ имеет три различных действительных корня.

Если точка $(p; q)$ лежит на верхней дуге кривой (4), то через нее можно проверить касательную к кривой в самом этой точке и, кроме того, еще касательную к нижней дуге (рис. 7, $\varepsilon$). Аналогично — для точки нижней дуги. Следовательно, в случае $\left(\frac{p}{3}\right)^3+\left(\frac{q}{2}\right)^2=0$ ($p \neq 0, q \neq 0$) уравнение $x^3+px+q=0$ имеет один корень кратности 2 и один корень кратности 1.

Точка $(0; 0)$ — исключительный случай; ей отвечает уравнение $x^3=0$ с третья совпаданием корнями.

Задание 3

1. Начертиме на миллиметровой бумаге семчатую номограмму для решения уравнения $x^3+px+q=0$.

2. Найдите множество всех таких точки $(p; q) \in \pi$, для которых уравнение $x^3+px+q=0$ имеет три различных действительных корня, принадлежих заданному интегралу $la; b[$. Составьте таблицу, при помощи которого по положению точки $(p; q)$ на плоскости $π$ можно было бы определить, сколько корней уравнения $x^3+px+q=0$ попадаем в заданный интеграл $la; b[$.

Рассмотрим, например, случай, когда $a=-2, b=4$.

В качестве задачи для самостоятельного исследования предлагаем построить (и обосновать) сетчатые номограммы для решения следующего степени:

a) $x^4+px+q=0$,
b) $x^4+x^2+px+q=0$,
b) $x^4-x^2+px+q=0$.

Сделать это вам помогут книги:

1. А. Н. Колмогоров и др. Летняя школа на Рубском озере (М., «Просвещение», 1971).
2. Ф. Клейн. Элементарная математика с точки зрения вычисления (М. — Л., Гостехториидат, 1933).

Приложение

(для читателей, знающих, что такое комплексные числа).

Здесь мы рассмотрим квадратные уравнения $x^2+px+q=0$ с действительными $p$ и $q$ и отрицательным дискриminantом, т. е. уравнения, для которых $q > \frac{1}{4} p^2$ (этим уравнения на фазовой плоскости $π$ соответствует «внутренность» дискриminantной параболы). Такие уравнения имеют два сопряженных корня: $a+bi$ и $a-bi$. По теореме Виета

$$\begin{cases} 2a = -p, \\ a^2+b^2 = q, \end{cases}$$

откуда

$$q = \frac{p^2}{4} + b^2.$$

Найдем все точки $(p; q) \in \pi$, соответствующие уравнению с комплексными корнями вида $a+ni$ ($n \in Z$).

Из соответствия (10) следует, что уравнения с корнями такого вида соответствуют точки плоскости $π$, лежащие на параболах

$$q = \frac{p^2}{4} + 1, q = \frac{p^2}{4} + 4, q = \frac{p^2}{4} + 9, \dots$$

(рис. 8); эти парабoles получаются парал-