Математика на шахматной доске

Квант 1978, №9 с. 59, 61, 63 Тег DBKE

В 1975 году в издательстве «Наука» вышла книга, посвященная одновременно шахматам и математике *). Любопытна история появления этой книги.

В 1971 году в «Кванте» № 9—12 были напечатны «Шахматно-математические заметки» Е. Гика. Поскольку среди юных любителей математики и физики трудно найти ребят, не умоощих играть в шахматы, то такая публикация казалась нам достагоно полезной. Шахматы, как известно, сами по себе развивают сообщательность, логическое мышление, остроту ума. Тем больший интерес представляет рассмотрение вопросов, нахождения на стыке шахмат и математики. Математические и логические задачи, связанные с шахматами, необъявны, оригиналы и порождают много любителей и глубоких идеи. Многочисленные открыки читателей заставили нас продолжить публикацию шахматно-математических статей, а Е. Гик стал, так сказаить, нашим постояным шахматно-математическим корреспондентом. Уданное сочетание интересов (автор — математик, кандидат технических наук, мастер спорта по шахматам и журналист) позволило ему на

*) Е. А. Гик. Математика на шахматной доске. М., «Наука», 1975.

писать цель ряд матеріалов на данную тему, в том числе в «Кванте» № 9, 1975 г. было опубликовано его интервью с экземпляром мира по шахматам М. Талем «Когда катет длине гипотенузы».

Эти статьи и составили основу данной книги. Первы тираж книги — 10 0000 экземпляров разошелся мгновенно, и издательство выпустило дополнительное еще 10 0000 экземпляров. Уже одно это обстоятельство свидетельствует о большом успехе книги.

Материал решензируемой книги весыма разнообразен, и вряд ли стоит подробно остановиться на ее содержании. Практические в ней затронуты все существующие точки соприксовения между математикой и шахматами. Расстояния различных задачи о шахматной доске, о маршрутах, расстановках и силе фигур, приводятся шахматно-математическими «рекорды», рассказывается о необходимости игра на шахматной доске. Здесь можно найти задачи «о ходе коня» и «о восьми ферзях», которые занимались влике математики Л. Эйлер и К. Гаусс. Читатель узнает из книги о шахматных «достижениях» ЭВМ и геометрических свойств шахматной доски, позволяя с системами проведения шахматныхcoresнований и т. д. Некоторые из рассмотренных вопросов более математической характеристики, другие будут интересны как любительям занимаются математики, так и любительям шахмат. Например, отдельная глава книги посвящена математической системе коэффициентов Эло, которые сейчас широко используются для оценки и прогноза результатов шахматистов в турипах *).

Книга «Matematika на шахматной доске» представляется собой результат большой исследований и исследования на том числе малозвствые. Ряд задач публикуется впервые. Многие подходы и идеи, рассмотренные автором, новые и оригинальные.

Чтобы не быть голосовыми, мы приводим несколько задач из этой книги, решенные которые мы надаемся, доставит нашим читателем большое удобство.

За сколько ходов два ферзя на доске $n \times n$ могут заматовать непрямыеского короля (других фигур на доске нет)? Тот же вопрос для бесконечной доски.
На полях доски $n \times n$ последовательно выписаны числа от 1 до $n^2$ (на первой горизонтали слева направо от 1 до $n$ , на второй от $n + 1$ до $2n$ , и т. д.). На этой доске рассматриваются $n$ ладей так, что никакие две из них не угрожают друг другу. Качеие значения может принимать сумму чисел на полях, занятых ладьями?
На бесконечной доске рассматриваются пешки через три поля на четвертом

*) Главуо коэффициентах Эло автор переработал специально для «Кванта», и она будет опубликована в одном из ближайших номеров журнала.

Знание законов гидро-
динамики, утверждает ав-
тор, абсолотно необходимо для всех, кто имеет дело с морской стихней и атмосферой, особенно для моряков и летчков. Свое утверждение он подкрепляет многочисленными фактами, главным образом печальными. Так, игнорирование закономерностей, заложенных в управлении Бернулли, стало причины стоколовения броненосца «Хок» с суперлайнером «Олимпик», а пребрежение законом Архимеда и основным на нем «приципом неополляемости», который был разработан академиком Крыловым, вызвало одну из самых страшных трагедий за всю историю мореплавания — гибель «Титаника».

В природе иповседневной практике большую роль играет вхревое движение жидкости и газов. Вихри — это разрушительный смерть на море и безопасная веронка в ванне, опасный след самолета и водоворот в реке. Как образуются вихревые явления, какое влияние они оказывают на движение судов и самолетов, на работу двигателей и туризм, на прочность конструкций — обо всем этом рассказано в книге.

Столь же большое место отведено другому каверзному явлению — кабитации, или, по образному определению автора, «холодному кипению». Кабитация — это возникновение и быстroe «схлопывание» пузьрьков воздуха, что приводит к мгновенном локальному повышению давления вплоть до 100000 атмосфер. При этом покрываются «язывами» и в конечном счете разрушаются корабельные винты, лопатки турбин и насосов, детали atomных реакторов. Оказывается, действию кавитации подвержены не только детали, движущесся в жидкости с огромными скоростями, но и повреждности неподвижных тел, погруженных в неподвижные жидкости! Автор подробно знакомит с причины возникновения кабитации, с мерами профилактики илечения этой опасной болезни.

Две главы — «Жидкость сопротивляются» и «Не только птицы летают» — повестиют об истории борьбы за скорости в мореплавании и aviaции. Человек учится у природы — этот тезис красной нитью проходит через повестирование. Оказывается, чешучатый покров рыб — не просто зашитный слой, но и активный участник движения, средство снижения сопротивления водной среды. Еще более удивительно, что ту же функцию выполняет жабры. Когда жаберные крышки слегка припродинаются (действия подобно клапам насоса), вода израра рыбы устремляется к жабрам. Там она отделяет растореный кислород и,ытекая из жаберных ответственных в виде сильной струи, «сдувает» погранничный слой. Идея «сдувания» или «отсоса» погранничного слоя шрико используется сейчас в aviaции и космонавтике. Аналогично, идея предкрыков и закрыков, непременных элементов современного самолета, занимавана у птиц. В последнее время обеектом приставного винания ученых, в том числе гидродинамиков, стали делфины, способные развивать скорость до 65 километров в час. С некоторыми словами «секретами» делфины уже поделились, остальные еще представляют узнать, и тогда корабли науччатся плавать еще быстрое и увеличнее, чем сейчас.

Об «игрушках», которые любят «забавляться» учены, рассказывается в главе «Моделирование». «При моделих испытаниях,— пишет автор,— реализные явления предстают перед нами в измененных масштабах, т. е. при других геометрических размерах и величины действующего шил. Это позволяет ученым за один час «пережить» столятя или за недель — секунду, дает возможность, насколько это необходимо, усилить или ослабить природные явления, сделать их доступными для наших чуств в аппаратуры».

К сожалению, подробно остановившись на физическом и геометрическом моделировании, автор ни словом не обмолвился о моделировании математическихском, которое за последнее годы, в связи с развитием ЭВМ, стало мощным средством решения научных и инженерных задач в гидро-динамике.

Книга обильно иллюстрирована фотографиями гидродинамических процессов. Но ведь газы и жидкости, как правило, беспсевны! Как же получены эти chimки, на которых отсутствивы видили линика, ударные волны? Современные экспериментальные методы гидродинамики, научная с простейшей трудки Пито и кончая лазерными приборами, описаны в книге «Может ли мы видеть течение?».

Резюмиру обзор неольшой книги К. Кузова, хотельось бы привести слова автора, который так формировал свою цель: «Главная задача этой книги — способствовать получении гидродинамики, сломать барер страха перед сложными формилями специальной литературы и привлечь внимание молодежи к важной отрасляче человека знания, значение которой в практической жизни людей непрерывно возвращается».

Что же, можно с увеличенной сказать, что книга К. Кузова в полное ответе этой задаче.

И. Зорич

Рис. 4.

Итак, пусть точки $A_1, A_2, A_3, A_4$ лежат в одной плоскости. Повернуть $\Delta A_1A_4A_5$ вокруг ( $A_1A_4$ ), мы придем к плоскому пятугольнику $A_1A_2A_3A_4A_5$ с равными сторонами, в котором $\hat{A}_2 = \hat{A}_3 = \hat{A}_5$ . Из определения правильного многоугольника вытекает, что ломанная $A_1A_2A_3A_4$ не имеет самопересечений. Поэтому $\hat{A}_2 \geq 90^\circ$ (рис. 2).

Из $\Delta A_1A_5A_4 \cong \Delta A_2A_3A_4$ вытекает $[A_2A_4] \cong [A_1A_4]$ . Значит, $A_4\hat{A}_2A_1 = \hat{A}_4A_1A_2$ . Из $A_4\hat{A}_2A_3 = A_4\hat{A}_1A_5$ следует теперь $A_2\hat{A}_1A_5 = A_1\hat{A}_2A_3$ . Таким образом, плоский пятугольник $A_1A_2A_3A_4A_5$ — правильный. Но, очевидно, из плоского правильного пятугольника, перегибая его вокруг диагонали, не плоского правильного пятугольника получить нельзя.

Причем ие. Можно показать, что неплоские правильные $n$ -угольники существуют при всех $n > 3$ , кроме $n = 5$ . В самом деле, при $n = 2k$ , где $k \geq 3$ , используемый многоугольник (с прямыми углами) можно получить, перегивь $k - 2$ раз плоский прямогольник, одна сторона которого в $k - 1$ раз больше другой, по линям $P_1Q_1, P_2Q_2, \dots, P_{k-2}Q_{k-2}$ (рис. 3). При $n = 2k + 1$ , где $k \geq 3$ , такой многоугольник (все углы которого снова прямые) можно получить из изображенного на рисунке 4 (невыпуклого) семнугольника $ABCDEFG$ с прямыми углами $A, B, E$ , у которой 5 сторона конгруэнтны, а $|BC| = |GA|$ больше их в $k - 2$ раз; его надо перенуть по отрезкам $P_1Q_1, P_2Q_2, \dots, P_{k-3}Q_{k-3}, CG, DF$ .

Каким могут быть углы неплоского правильного $n$ -угольника, где $n \geq 6$ , пока, видимо, никакому не известно.

Пусть любой отрезок $AB$ переходит при отображении в конгруэнтный отрезок $A'B'$ того же направления. Покажем, что это отображение — паралельный перенос. Возьмем точку $M_0$ ; пусть она переходит в точку $M'_0$ . Докажем, что, какова бы ни была точка $M$ , $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{M_0M'}$ . Поскольку отрезок $M_0M$ переходит в отрезок $M'_0M'$ с сохранением направления, т. е. $\overrightarrow{M_0M} = \overrightarrow{M'_0M'}$ , получаем $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{M'_0M'} + \overrightarrow{M_0M'} = \overrightarrow{M_0M} = \overrightarrow{M_0M} + \overrightarrow{M'_0M'}$ .

Второе определение удобнее: композиция отображения, обладающих неокоторым свойством, тоже обладает этим свойством.

Пусть отображение плоскости на себя обладает указанным свойством. Возьмем произвольные точки $M$ и $N$ . Так как $MN \parallel M'N'$ (рис. 5) и $k \neq 1$ , прямые $MM'$ и $NN'$ пересекаются. Обозначим точку их пересечения через $O$ . Из подобия треугольников $OMN$ и $OM'N'$ вытекает, что $\frac{|OM'|}{|OM|} = k$ . Если мы возьмем еще точку $P$ , то нетрудно установить, что $(PP') \cap (MM') = O$ , т. е. точка $O$ не зависит от выбора точек $M, N$ .

Кроссворд «Соты» *)

(см. «Квант» № 8)

Прогиб. 2. Капрон. 3. Евклид. 4. Фарада. 5. Усагин. 6. Галлон. 7. Оптика. 8. Вектор. 9. Скайр. 10. Курако. 11. Модуль. 12. Рыбкин. 13. Протон. 14. Джоуль. 15. Лотбак. 16. Восемь. 17. Работа. 18. Делоне. 19. Способ. 20. Датчик. 21. Вольта. 22. Тиконд. 23. Эрстед. 24. Эбонит. 25. Почек. 26. Крылов. 27. Облако. 28. Эдисон. 29. Гитара. 30. Компас. 31. Козлов. 32. Радуга. 33. Пассат. 34. Ландду. 35. Сатурн. 36. Сектор. 37. Кварта. 38. Плазма. 39. Лакруа. 40. Плутон. 41. Пробка. 42. Катон. 43. Призма. 44. Капица. 45. Линник. 46. Зодиак. 47. Анализ. 48. Орбита.

*) Автор кроссворда — В. Шестаков