Biểu đồ lưới

22

Danh pháp lưới

V. Vavilov.

Danh pháp lưới

Trong bài học này bạn sẽ được giao một số nhiệm vụ. Phần thử nghiệm (thực hiện các bản vẽ) có sẵn cho tất cả mọi người và việc biện minh đòi hỏi kiến ​​​​thức tùy ý. Lời khuyên của chúng tôi là hãy dạy từ việc vẽ và sau đó làm việc chứng minh.

Lưu ý rằng các biểu đồ thể hiện trong các hình không thể được sử dụng đủ hiệu quả trong thực tế (do khó in nên chúng quá nhỏ và không chính xác).

Các nhà toán học cũng giống như người Pháp: mọi điều bạn nói với họ, họ dịch sang ngôn ngữ của họ và ngay lập tức nó trở thành một thứ hoàn toàn khác.

N. V. Goethe

1. Tam thức vuông và mặt phẳng pha

Xét họ tam thức vuông $\{x^2+px+q\}$ (p và q là số thực). Trên một mặt phẳng nào đó π—chúng tôi gọi nó là mặt phẳng pha—chúng tôi liên kết tam thức bình phương $x^2+px+q$ với một điểm có tọa độ p và q. Ví dụ: tam thức $x^2+x+1$ tương ứng với điểm (1; 1) và điểm (0; 0) tương ứng với tam thức $x^2$.

Chúng ta hãy tìm xem những điểm nào của mặt phẳng pha tương ứng với các tam thức có cùng nghiệm. Để làm điều này, chúng ta đánh đồng phân biệt của tam thức bằng 0; chúng ta có được sự bình đẳng

$$q = \frac{1}{4} p^2.$$

Đẳng thức (1) xác định cái gọi là điểm phân biệt của một parabol trong mặt phẳng π (Hình 1); parabol này bao gồm các điểm tương ứng với các tam thức có dạng $(x-x_0)^2 = x^2-2x_0x+x_0^2$.

Bất đẳng thức $q > \frac{1}{4} p^2$ xác định một vùng trong mặt phẳng π nằm “bên trong” parabol (vùng màu xanh lam trong Hình 1). Các điểm trong vùng này tương ứng với các tam thức không có nghiệm thực. Tam thức vuông có hai nghiệm thực khác nhau tương ứng với các điểm có tọa độ thỏa mãn sự tương ứng $q < \frac{1}{4} p^2$. Đây là vùng màu hồng trong Hình 1.

Xét đường thẳng trên mặt phẳng π

$$ap+q+a^2=0$$

(2) (ở đây p, q là biến, a là số cố định). Dễ dàng nói rằng các điểm nằm trên đường thẳng (2) tương ứng với các tam thức có nghiệm a. Dòng (2) được gọi là dòng gốc. (Tất nhiên, có nhiều dòng gốc; mỗi gốc tiềm năng a có một dòng riêng.)

Đường gốc nằm như thế nào so với parabol phân biệt? Rõ ràng là họ chạm vào nhau. Thật vậy, đường gốc không giao nhau với vùng màu xanh và có một điểm chung với ranh giới của vùng này, đó là điểm tương ứng với tam thức $(x-a)^2 = x^2-2ax+a^2$. Kết luận này có thể được kiểm chứng dễ dàng bằng nghiệm chưa xác định của hệ

$$\begin{cases} q = \frac{1}{4} p^2, \\ ap+q+a^2=0. \end{cases}$$

Vì điểm $(-2a; a^2)$ thuộc cả đường thẳng (2) và parabol (1) nên đường thẳng (2) và parabol (1) chạm nhau tại điểm này.

Thực hiện lập luận theo thứ tự ngược lại, ta chứng minh được mọi tiếp tuyến của parabol phân biệt đều là nghiệm (bạn hãy tự chứng minh nhé!).

Vì vậy, qua mỗi điểm của parabol phân biệt đi qua

23

Hình 1.

chính xác một đường gốc (tiếp tuyến với parabol). Không một đường gốc nào đi qua các điểm của vùng màu xanh lam. Điều này phù hợp với thực tế là từ “bên trong” của một parabol, không thể kiểm tra được một tiếp tuyến duy nhất của nó. Cuối cùng, vì mỗi điểm trong vùng màu hồng tương ứng với một phương trình có hai nghiệm thực khác nhau nên có thể kiểm tra hai nghiệm nghiệm khác nhau thông qua mỗi điểm. Điều này cũng phù hợp với thực tế là thông qua một điểm nằm ở “mặt ngoài” của parabol, người ta có thể kiểm tra hai tiếp tuyến thần kinh.

Sự tương ứng một-một giữa các điểm của mặt phẳng và phương trình bậc hai cho phép người ta tìm ra mô tả của tất cả các phương trình có tính chất nghiệm cho trước, biểu thị tập hợp các điểm tương ứng của mặt phẳng pha.

Ví dụ: chúng ta hãy mô tả tất cả các điểm như vậy của mặt phẳng π tương ứng với phương trình bậc hai $x^2+px+q=0$ với hai nghiệm khác nhau thuộc tích phân ]—2; 1[.

Dễ dàng nói rằng phương trình bậc hai $x^2+px+q=0$ có thể có hoặc không có nghiệm thực khác nhau, thuộc về một tích phân cho trước, khi đường tam giác $x^2+px+q$ có phân biệt dương, ở hai đầu tích phân nhận giá trị dương và hoành độ của đỉnh

parabol $y=x^2+px+q$ thuộc tích phân đã cho.

Đối với cái mà chúng ta quan tâm, Bổ đề ]—2; 1[ do đó thu được hệ thống:

$$\begin{cases} q < \frac{1}{4} p^2, \\ 4 - 2p + q > 0, \\ 1 + p + q > 0, \\ -2 < -\frac{p}{2} < 1. \end{cases}$$

Trên mặt phẳng π, hệ (3) xác định một tập hợp các điểm, được tô màu hồng trong Hình 2. Do đó, các bộ ba vuông có các nghiệm thực khác nhau thuộc về tích phân ]—2; 1[, tương ứng với các điểm bên trong của tam giác cong này.

Các dòng gốc $-2p+q+4=0$ và $p+q+1=0$ (tương ứng với gốc ]—2 và 1) chia phần bên ngoài của chất phân biệt thành sáu vùng: $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2, \gamma$ và $\delta$ (Hình 2). Số nghiệm của phương trình $x^2+px+q=0$ thuộc tích phân ]—2; 1[, phụ thuộc vào khu vực nào được liệt kê của mặt phẳng π chứa điểm $(p; q)$ tương ứng với phương trình này. Sự phụ thuộc này được phản ánh trong bảng ở Hình 2 (hãy kiểm tra xem!).

Nhiệm vụ 1

1. a) Tìm tập hợp tất cả các điểm $(p; q) \in \pi$ sao cho phương trình $x^2+px+q=0$ có hai nghiệm thực $x_1, x_2$, $a < x_1 < b$, $c < x_2 < d$ và $a < b \leqslant c < d$.

6. Với sự trợ giúp của bảng này, dựa vào vị trí của điểm $(p; q)$ trên mặt phẳng π, người ta có thể trả lời câu hỏi có bao nhiêu nghiệm của phương trình $x^2+px+q=0$ rơi vào tích phân $|a, b|$ $|c, d|$ (với $a, b, c$ và $d$ đã cho).

Ví dụ: hãy xem xét trường hợp khi $a=-3$, $b=0$, $c=1$, $d=3$.

bài toán tiếp theo dành cho nghiên cứu độc lập.

2. Xét khoảng $[0; \pi]$ nhóm hàm $\{\cos^2x+p \cos x+q\}$. Như trước đây, mỗi chức năng

24

Hình 2.

của họ này, chúng tôi đặt điểm $(p; q) \in \pi$ tương ứng.

a) Xét hàm $\cos^2 x + p \cos x + q$ để biết hàm tăng, hàm giảm phụ thuộc vào vị trí của điểm $(p; q)$ trên mặt phẳng $\pi$.

6. Cho $M_0 = (p_0; q_0)$ là một điểm cố định của mặt phẳng $\pi$, $M = (p; q)$ là một điểm biến thiên; $f_0(x) = \cos^2 x + p_0 \cos x + q_0$, $f(x) = \cos^2 x + p \cos x + q$. Đối với các điểm đã cho $M$ và $M_0$, chúng tôi đặt

$$d(M, M_0) = \max_{[0; \pi]} |f(x) - f_0(x)|.$$

Chúng ta hãy tìm tập hợp điểm $M = (p; q) \in \pi$ tối đa hóa điều đó

1. $d(M, M_0) = 1$;
2. $d(M, (2; 2)) = d(M, (-2; -2))$.

2. Danh pháp cho phương trình lời giải $x^2 + px + q = 0$

Chúng ta hãy vẽ khá nhiều đường thẳng gốc $ap + q + a^2 = 0$ trên mặt phẳng pha $\pi$, cho tham số $a$, ví dụ giá trị 0; ±0,5; ±1; ±1,5; ±2; ±2,5; ±3; ±3,5.

Bên cạnh mỗi đường thẳng vẽ ta viết giá trị tương ứng $a$ (Hình 3). “Mạng” các đường thẳng thu được được gọi là số nửa nguyên tử (đối với phương trình bậc hai lời giải).

Để tìm nghiệm của một phương trình đã cho $x^2 + px + q = 0$ bằng cách sử dụng biểu đồ được xây dựng, cần thiết lập các đường gốc nào đi qua điểm tương ứng $(p; q) \in \pi$.

Ví dụ, chúng ta hãy giải phương trình $x^2 + 0,5x - 3 = 0$. Qua điểm $(0,5; -3)$ có các đường gốc sử dụng $a = -2$ và $a = 1,5$; do đó, các số $-2$ và $1,5$ là nghiệm của phương trình của chúng ta.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét phương trình $x^2 + x - 3 = 0$. Nó tương ứng với điểm $(1; -3)$ trên mặt phẳng pha. Các đường gốc đi qua điểm này không được vẽ trên biểu đồ của chúng tôi. Trong trường hợp này, chúng tôi sẽ làm điều này. Lưu ý rằng điểm $(1; -3)$ nằm bên trong tứ giác $ABCD$ được tạo bởi các đường gốc tại $a = -2,5$; $a = -2$; $a = 1$ và $a = 1,5$ (Hình 3).

25

Một điểm của tứ giác này ứng với một phương trình có hai nghiệm thực, một nghiệm rơi vào khoảng ]1; 1,5[, và cái còn lại - trong khoảng ]-2,5; -2[. Do đó, nghiệm của phương trình $x^2+x-3=0$ cũng nằm trong các khoảng đã cho. Lấy điểm giữa của chúng, ta thu được giá trị gần đúng của các nghiệm ban đầu:

$$x_1 \approx \frac{1,5+1}{2} = 1,25,$$

$$x_2 \approx \frac{-2-2,5}{2} = -2,25.$$

Thay các giá trị $x_1$ và $x_2$ vào phương trình này, chúng ta nhận được:

$$(1,25)^2 + 1,25 - 3 = -0,1875,$$

$$(-2,25)^2 - 2,25 - 3 = -0,1875$$

kết quả là khá thô. Để thu được các giá trị chính xác hơn của các nghiệm bằng cách sử dụng biểu đồ, rõ ràng là cần phải tăng số lượng dòng gốc trên đó, tức là tăng tần suất thay đổi tham số $a$.

Đối với một phương trình lời giải gần đúng có các nghiệm trùng nhau, việc lập trình paraboly phân biệt $q = \frac{1}{4} p^2$ là thuận tiện. Một phương trình có nghiệm $x_1=x_2=a$ tương ứng với một điểm $(-2a; a^2)$ trên đó. Đưa ra tham số $a$ các giá trị khác nhau và đánh dấu các điểm $(-2a; a^2)$ parabol phân biệt đối xử với các giá trị này, chúng ta thu được thang đo cho phương trình lời giải với các nghiệm trùng nhau (Hình 3).

Nhiệm vụ 2

Vẽ biểu đồ bảy chiều cho phương trình lời giải $x^2+px+q=0$ trên giấy vẽ biểu đồ.

3. Biểu đồ cho phương trình lời giải $x^3+px+q=0$

Bây giờ chúng ta hãy xem xét họ các tam thức bậc ba x $\{x^3+px+q\}$. Chúng ta hãy gán cho mỗi tam thức một điểm $(p; q)$ trên mặt phẳng pha n.

Chúng ta hãy tìm ra những điểm nào của mặt phẳng pha tương ứng với các tam thức bậc ba có nghiệm trùng nhau.

Hình 3.

26

Đặt $a$ là nghiệm bội của tam thức bậc ba $x^3+px+q$, tức là $x^3+px+q=(x-a)^2(x-b)$, trong đó $b$ không nhất thiết phải khác với $a$. Mở ngoặc, chúng ta nhận được danh tính
$$x^3+px+q=x^3- -(2a+b)x^2+(a^2+2ab)x- -a^2b.$$
Do đó $2a+b=0, a^2+2ab=p, a^2b=-q$. Loại bỏ $b$ khỏi các phương trình này, chúng ta thu được $p=-3a^2, q=2a^3$; cuối cùng, loại bỏ $a$, chúng ta thu được sự tương ứng mong muốn
$$\left(\frac{p}{3}\right)^3+\left(\frac{q}{2}\right)^2=0,$$
(4)

Đó là điều kiện cần và đủ để trùng khớp ít nhất hai nghiệm của tam thức $x^3+px+q$. Tập hợp các điểm $(p; q) \in \pi$ có tọa độ thỏa mãn phương trình (4) là đường cong như hình 4. Đường cong (4) được gọi là đường cong phân biệt của phương trình $x^3+px+q=0$.

Thẳng
$$ap+q+a^3=0,$$
(5)

tương ứng với phương trình tam thức có nghiệm $a$, như trước đây gọi là nghiệm.

Vị trí tương đối của đường cong (4) và đường thẳng (5) trên mặt phẳng pha là gì $x?$ Chúng có giao điểm không, và nếu có thì bao nhiêu?

Để trả lời những câu hỏi này, hãy lưu ý rằng vì không có số hạng nào có $x^2$ trong các phương trình $x^3+px+q=0$, nên tổng các nghiệm của nó $x_1, x_2$ và $x_3$ bằng 0: $x_1+x_2+x_3=0$ (chứng minh điều này). Điểm giao nhau $(p; q)$ của đường cong (4) với đường thẳng (5) tương ứng với tam thức bậc ba $x^3+px+q$, mà $a$ có nghiệm bội hoặc không có nghiệm. Trong trường hợp đầu tiên, $x_1=x_2=a$ và $x_3=-2a$. Trong trường hợp thứ hai, $x_1=a$ và $x_2=x_3=-\frac{a}{2}$. Điều này có nghĩa là đường cong (4) và đường thẳng (5) có hai điểm chung $(p_1; q_1)$ và $(p_2; q_2)$: một trong số chúng tương ứng với tam thức $x^3+p_1x+q_1=(x-a)^2 \times (x+2a)$, điểm còn lại tương ứng với tam thức $x^3+p_2x+q_2=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2(x-a)$. Hai điểm này trùng nhau khi và chỉ khi $a=0$.

Hình 4.

Hình 5.

Bây giờ chúng ta hãy tìm giao điểm của đường thẳng (5) và đường cong (4) hoàn toàn bằng đại số. Để làm điều này, từ (5) chúng ta biểu thị $q$ theo $p$ và thay thế nó thành (4). Ta đã thu được phương trình bậc ba để xác định $p$
$$\left(\frac{p}{3}\right)^3+\left(\frac{a^3+pa}{2}\right)^2=0.$$

Thật dễ dàng để xác minh rằng
$$\left(\frac{p}{3}\right)^3+\left(\frac{a^3+pa}{2}\right)^2= \frac{1}{27}(p+3a^2)^2\left(p+\frac{3a^2}{4}\right).$$

Theo đó, các số $p_1=-3a^2$ và $p_2=-\frac{3a^2}{4}$ là nghiệm của phương trình (6) và $p_1$ là nghiệm bội.

Nghiệm bội của phương trình (6) tương ứng với sự “trùng hợp” của giao điểm của đường cong (4) và đường thẳng (5). Tại điểm giao nhau “kép” này, đường gốc chạm vào đường cong phân biệt (thật không may, chúng tôi không thể cung cấp bằng chứng cho tuyên bố này ở đây; ý tưởng trực quan của bằng chứng đã rõ ràng từ Hình 5).

27

Hình 6.

Thực hiện tất cả các lập luận theo thứ tự ngược lại, chúng ta thu được rằng mọi tiếp tuyến của phân biệt của đường cong là một đường gốc.

Sau khi vẽ khá nhiều đường nghiệm (5) trên mặt phẳng l, chúng ta thu được một biểu đồ lưới cho lời giải phương trình bậc ba $x^3+px+q=0$. Biểu đồ này được hiển thị trong Hình 6.

Số lượng nghiệm của một phương trình cụ thể $x^3+px+q=0$ phụ thuộc vào số lượng tiếp tuyến có thể được vẽ từ điểm $(p; q) \in \pi$ đến đường cong phân biệt (4) (mỗi tiếp tuyến là một đường gốc và mỗi đường gốc có giá trị gốc riêng).

Đường cong phân biệt chia mặt phẳng l thành hai phần: bên trong (chứa bán trục âm thay đổi $p$) và bên ngoài.

Vì đường cong phân biệt bao gồm hai cung lồi đối xứng $^*$), nên qua bất kỳ điểm nào của vùng bên ngoài chỉ có thể vẽ được một tiếp tuyến với nó (Hình 7, a): nếu điểm $(p; q)$ nằm phía trên trục $Op$ thì đến cung dưới, và nếu ở dưới trục $Op$ thì đến cung trên; bản thân trục $Op$ chạm vào đường cong (4) tại điểm kỳ dị (0; 0). Do đó, các điểm của vùng bên ngoài tương ứng với các phương trình bậc ba chỉ có một nghiệm (thực). Trong khu vực này

$$\left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2 > 0. \tag{7}$$

Bất đẳng thức (7) là điều kiện cần và đủ để phương trình $x^3+px+q=0$ có đúng một nghiệm thực.

Tại bất kỳ điểm nào trong vùng bên trong, bất đẳng thức ngược lại xảy ra

$$\left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2 < 0. \tag{8}$$

Mặt khác, từ bất kỳ điểm nào trong vùng bên trong, có thể vẽ được ba tiếp tuyến khác nhau của đường cong (4) (Hình 7, b). Thật vậy, đối với

28

các điểm nằm trên trục $Op$, điều này suy ra từ tính đối xứng của đường cong (Hình 7, $\theta$); số lượng tiếp tuyến không thể thay đổi nếu chúng ta di chuyển đến các điểm khác mà không cắt đường cong. Như vậy, bất đẳng thức (8) là điều kiện cần và đủ để phương trình $x^3+px+q=0$ có ​​ba nghiệm thực khác nhau.

Nếu điểm $(p; q)$ nằm trên cung trên của đường cong (4), thì thông qua điểm đó, bạn có thể kiểm tra tiếp tuyến của đường cong tại chính điểm này và ngoài ra, tiếp tuyến với cung dưới (Hình 7, $\varepsilon$). Tương tự như vậy đối với điểm của cung dưới. Do đó, trong trường hợp $\left(\frac{p}{3}\right)^3+\left(\frac{q}{2}\right)^2=0$ ($p \neq 0, q \neq 0$), phương trình $x^3+px+q=0$ có một nghiệm bội 2 và một nghiệm bội 1.

Điểm $(0; 0)$ là trường hợp ngoại lệ; nó được trả lời bằng phương trình $x^3=0$ với sự trùng hợp thứ ba của nghiệm.

Nhiệm vụ 3

1. Chúng ta hãy vẽ biểu đồ hạt giống cho phương trình lời giải $x^3+px+q=0$ trên giấy biểu đồ.

2. Tìm tập hợp tất cả các điểm $(p; q) \in \pi$ sao cho phương trình $x^3+px+q=0$ có ba nghiệm thực khác nhau thuộc tích phân $la; b[$ đã cho. Lập một bảng với sự trợ giúp của bảng này, dựa trên vị trí của điểm $(p; q)$ trên mặt phẳng $π$, có thể xác định có bao nhiêu nghiệm của phương trình $x^3+px+q=0$ rơi vào tích phân đã cho $la; b[$.

Ví dụ, hãy xem xét trường hợp khi $a=-2, b=4$.

Với tư cách là bài toán cho nghiên cứu độc lập, chúng tôi đề xuất xây dựng (và biện minh) các biểu đồ lưới cho lời giải mức độ sau:

a) $x^4+px+q=0$,
b) $x^4+x^2+px+q=0$,
b) $x^4-x^2+px+q=0$.

Sách sẽ giúp bạn làm điều này:

1. A. N. Kolmogorov và những người khác. Trường học hè trên hồ Rubskoye (M., “Prosveshchenie”, 1971).
2. F. Klein. Toán tiểu học theo quan điểm tính toán (M. - Leningrad, Gostekhtoridat, 1933).

Ứng dụng

(dành cho những độc giả biết số phức là gì).

Ở đây chúng ta sẽ xem xét các phương trình bậc hai $x^2+px+q=0$ với số thực $p$ và $q$ và một phân biệt âm, tức là các phương trình mà $q > \frac{1}{4} p^2$ (các phương trình này trên mặt phẳng pha $π$ tương ứng với “phần bên trong” của parabol phân biệt). Các phương trình như vậy có hai nghiệm liên hợp: $a+bi$ và $a-bi$. Theo định lý Vieta

$$\begin{cases} 2a = -p, \\ a^2+b^2 = q, \end{cases}$$

Ở đâu

$$q = \frac{p^2}{4} + b^2.$$

Chúng ta hãy tìm tất cả các điểm $(p; q) \in \pi$ tương ứng với một phương trình có nghiệm phức có dạng $a+ni$ ($n \in Z$).

Từ sự tương ứng (10) suy ra các phương trình có nghiệm loại này tương ứng với các điểm của mặt phẳng $π$ nằm trên parabol

$$q = \frac{p^2}{4} + 1, q = \frac{p^2}{4} + 4, q = \frac{p^2}{4} + 9, \dots$$

(Hình 8); những parabol này hóa ra song song