Bài toán M536—M540; F548—F552

22

Vấn đề
lượng tử

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài chương trình giảng dạy của trường Newstein.
Nan khó hơn bài toán được đánh dấu bằng dấu hoa thị.
Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 2 năm 1979 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka 21/16, tòa soạn tạp chí «Kvant».
Sau địa chỉ, viết lên phong bì các số bài toán, lời giải bạn đang gửi (ví dụ: “M536, M537” hoặc “F548”). Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán prosbapis mới phải được gửi trong các phong bì riêng. Ngoài ra, vui lòng gửi Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau trong các phong bì khác nhau. Kèm theo một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Gửi các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản thành hai bản cùng với lời giải của bạn cho những bài toán này (trên vị trí phong bì: Bài toán «Kvant», bài toán mới trong vật lý hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất nó. Tất nhiên, không phải tất cả bài toán đều được xuất bản lần đầu tiên. Bài toán M537 - M540 được đưa ra tại Olympic Toán Quốc tế XX (xem trang 55).

M536. a) Chứng minh rằng mọi hình chữ nhật có kích thước $m \times 2n$ ô đều có thể được xếp bằng hai lớp domino (ô $1 \times 2$ ô) sao cho mỗi ô của lớp trên nằm trên hai ô khác nhau của lớp dưới.
6) Một hình chữ nhật có kích thước $2k \times 2n$ ô đã được phủ một lớp domino. Chứng minh rằng nó có thể được xếp bằng lớp thứ hai sao cho cùng một điều kiện được thỏa mãn (nghĩa là các ô có các từ khác nhau không trùng nhau).

M537. Đường tròn tiếp xúc với đường tròn trong của tam giác đều $ABC$, cũng như các cạnh bằng nhau $AB$ và $AC$ của tam giác này lần lượt tại các điểm $P$, $Q$. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn $PQ$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

M538. Tập hợp tất cả các số tự nhiên là hợp của hai tập con rời nhau $\{f(1), f(2), \dots, f(n), \dots\}$, $\{g(1), g(2), \dots, g(n), \dots\}$, trong đó $f(1) < f(2) < \dots < f(n) < \dots, g(1) < g(2) < \dots < g(n)$ và $g(n) = f(f(n)) + 1$ cho tất cả $n \geqslant 1$. Xác định $f(240)$.

M539. Đặt $P$ là một điểm cho trước bên trong một hình cầu nhất định và $A, B, C$ là ba điểm tùy ý của hình cầu này và đặt các đoạn $PA, PB, PC$ vuông góc với nhau. Đặt $Q$ là đỉnh của hình bình hành được xác định bởi các đoạn $PA, PB$ và $PC$, đối diện theo đường chéo với $P$. Xác định vị trí hình học của điểm $Q$.

M540.* Hiệp hội quốc tế bao gồm các đại diện từ sáu quốc gia khác nhau. Danh sách hội viên của xã gồm có 1978 tên, đánh số 1, 2,…, 1978.

Chứng minh rằng có ít nhất một thành viên của xã hội có số lượng bằng tổng số của hai thành viên ở nước anh ta hoặc gấp đôi số thành viên nào đó ở nước anh ta.

23

F548. Xe đẩy phản lực $m$ mô tả một vòng chết dọc theo một đường tròn thẳng đứng có bán kính $R$ với tốc độ tuyến tính không đổi $v$. Lực ma sát thực hiện công khi xe chuyển động từ vị trí thấp nhất lên vị trí cao nhất là bao nhiêu? Hệ số ma sát giữa xe và mặt đường là $\mu$.

O. Savigan

F549. Hai quả bóng có khối lượng $m_1$ và $m_2$ được nối với nhau bằng một lò xo cứng $k$; lò xo nằm ngang và không bị biến dạng. Các quả bóng đồng thời có vận tốc $v_1$ và $v_2$, như trong Hình 1, với $|v_1| = |v_2| = v$. Tìm độ cao nâng lớn nhất của hệ và độ biến dạng lớn nhất của lò xo.

F550. Hai vòng đệm được đặt trên một hình nón bằng đồng thô (được phủ một khía nhỏ giống như giũa): một vòng đệm bằng nhôm có bán kính $r=1$ cm và một vòng đệm bằng sắt có bán kính $R=3$ cm. Khoảng cách giữa các vòng đệm là $a=6$ cm. Khoảng cách này sẽ thay đổi bao nhiêu nếu hình nón và vòng đệm được nung nóng bởi $\Delta t=200$ K? Các hệ số nhiệt giãn nở tuyến tính của đồng, nhôm và sắt lần lượt là $\beta_1=2,5 \cdot 10^{-5}$ K$^{-1}$, $\beta_2=1,7 \cdot 10^{-5}$ K$^{-1}$ và $\beta_3=10^{-5}$ K$^{-1}$. Hình nón nằm thẳng đứng, có đỉnh trên cùng.

G. Kotkin

F551. Khối lượng $m$ được treo vào hai lò xo có độ cứng $k_1$ và $k_2$ bằng một sợi dây và một khối (Hình 2). Tìm chu kỳ dao động nhỏ của tải. Sợi dây và khối được coi là không có trọng lượng.

I. Tiếng Slovodechkiy

F552. Đặc tính dòng điện-điện áp của đèn neon được thể hiện trên hình 3. Ở giá trị nào $R$ của điện trở nối với mạch điện như hình 4, đèn neon (n. l) sẽ không tắt sau khi đóng chìa khóa $K$?