Bài toán Olympic Toán học của Đảng Cộng hòa năm 1978

56

Bài tập
người theo chủ nghĩa cộng hòa
Thế vận hội 1978
trong toán học

Chẳng bao lâu nữa, nhiều độc giả của tạp chí của chúng tôi sẽ trở thành người tham gia vào các tối ưu hóa toán học khác nhau của năm 1979. Tại đây, chúng tôi đặt một loạt bài toán được cung cấp trên penultimate.respublic.type; sau bài toán lớp và họ của tác giả bài toán được chỉ định.

1. Tìm tất cả các số tự nhiên không thể biểu diễn dưới dạng tổng của nhiều số tự nhiên liên tiếp. (8-10)

A. Gehein

2. Có 1978 điểm được cho trên mặt phẳng. Hãy viết ra tất cả các khoảng cách theo cặp giữa chúng. Chứng minh rằng trong số các số đó có ít nhất ba mươi số khác nhau. (7-10)

3. Trong số các tứ giác có độ dài các đường chéo và các góc xen kẽ cho trước, hãy tìm tứ giác có chu vi nhỏ nhất. (7-10)

V. Adefonov

4. Trên giấy ca rô (cạnh của ô bằng 1) vẽ một vòng tròn có bán kính lớn hơn 2, không đi qua các nút (đỉnh của ô). Một nút là nút ranh giới cho một vòng tròn nhất định nếu ít nhất một trong các nút lân cận của nó (nằm ở khoảng cách 1) nằm ở phía bên kia của vòng tròn. Tìm sự khác biệt giữa số nút biên nằm bên ngoài vòng tròn và số nút biên nằm bên trong nó. (8-10).

5. Cho điểm E trên cạnh AD của hình vuông ABCD. Chọn các điểm M, K trên các cạnh AB và BC sao cho đoạn MK song song với đường thẳng CE và tứ giác CEMK có diện tích lớn nhất. (8-10)

E. Gotman

6. Được biết, $x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_k = 0$, $m$ là số nhỏ nhất trong các số $x_1, x_2, \dots, x_k$ và $M$ là số lớn nhất. Chứng minh bất đẳng thức $x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_k^2 \leq -kmM$. (9-10)

7. Chứng minh rằng $e^x \geq x^e$ với mọi $x$ dương ($e=2,718\dots$ là cơ số logarit tự nhiên). (10)

8. Trình tự được xác định bởi các điều kiện $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + \sqrt{a_n^2 + 1}$. Chứng minh rằng dãy $b_n = a_n/2^n$ có ​​giới hạn. (9-10)

A. Edorov

9. Cho dãy $(a_n)$. Hãy xây dựng hai chuỗi $(b_n)$ và $(c_n)$:

$$b_n = 2a_n + a_{n-1},$$
$$c_n = a_n + 2a_{n-1}.$$

a) Người ta biết rằng $b_n \rightarrow b$. Chúng ta có thể nói rằng dãy $(a_n)$ có giới hạn không?

6. Không có thông tin gì về dãy $(b_n)$, nhưng người ta biết rằng $c_n \rightarrow c$. Chúng ta có thể nói rằng dãy $(a_n)$ có ​​giới hạn không? (9-10)

A. Dorozovtsev

10. Chứng minh rằng nếu $x_1 + x_2 + x_3 = y_1 + y_2 + y_3 = x_1y_2 + x_2y_2 + x_3y_3 = 0$ và không phải tất cả $x_i$ và $y_i$ đều bằng 0 thì

$$\frac{x_1^2}{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} + \frac{y_1^2}{y_1^2 + y_2^2 + y_3^2} = \frac{2}{3}.$$ (10)

A. Anjan

11. Trên một quả cầu màu trắng, 12% diện tích bề mặt được sơn màu đen. Chứng minh rằng tồn tại một hình bình hành thẳng nội tiếp trong một hình cầu, tất cả các đỉnh của nó đều nằm ở điểm trắng. (10)

A. Altshler

12. Các số 1,2,…,64 được đặt ngẫu nhiên vào các ô của bàn cờ. Chứng minh rằng có ít nhất ba ô vuông $2 \times 2$ của ô, tổng các số trong mỗi ô đó lớn hơn 100. (8-10)

13. Hãy viết số $\frac{1}{p}$, trong đó $p > 5$, dưới dạng phân số thập phân tuần hoàn vô hạn.

a) Chứng minh tổng các chữ số trong dấu chấm chia hết cho 9.

6. Chứng minh rằng nếu một dấu chấm chứa $mk$ chữ số thì tổng của các số có $k$ chữ số, ghi lại bằng cách chia dấu chấm thành $k$ phần của $m$ chữ số, chia hết cho số 99…9 của $m$ số chín. Ví dụ:

$$\frac{1}{13} = 0,0769230 \cdot 769230 \dots; 7 + 6 + 9 + 2 + 3 + 0$$

chia hết cho 9, 76 + 92 + 30 chia hết cho 99, 769 + 230 chia hết cho 999. (9-10)

A. Tollyevo

14. Có một paramida nào có hai đặc tính sau đây không:

1. ở đáy của paramid là một đa giác có số cạnh lẻ;

2. nếu mỗi cạnh của paramid được mô tả dưới dạng một vectơ, đặt một mũi tên theo một hướng nhất định thì tổng của tất cả các vectơ thu được bằng vectơ 0? (9-10)

B. Mikhailovsky

15. Có thể chỉ ra một điểm trên bề mặt của một tứ diện vuông có độ dài cạnh bằng 1 sao cho mỗi điểm trên bề mặt có thể đến được từ một trong bốn điểm này bằng cách di chuyển dọc theo bề mặt một đường đi không quá 1/2? (10)

N. Vasiliev