Bài toán M591—M595; F603—F607

25

Bài toán

M591—M595; F603—F607

M591. Cho $p$ và $q$ là các số tự nhiên sao cho
$$\frac{p}{q} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots - \frac{1}{1318} + \frac{1}{1319}.$$
Chứng minh rằng số $p$ chia hết cho 1979.

M592. Chứng minh rằng đối với một tam giác bất kỳ, hình chiếu của đường kính đường tròn ngoại tiếp vuông góc với một cạnh của tam giác lên đường thẳng chứa cạnh thứ hai bằng chiều dài của tam giác đó.
S. Ovchinnikov

M593. Bên trong vòng tròn $\Gamma$ có $n$ vòng tròn. Chứng minh rằng độ dài ranh giới giao nhau của các đường tròn này không vượt quá độ dài đường tròn $\Gamma$ nếu
a) $n = 2$;
b) tâm của tất cả $n$ hình tròn nằm trên cùng một đường kính của hình tròn $\Gamma$;
c) tất cả $n$ vòng tròn đều chứa tâm của vòng tròn $\Gamma$.
F. Kabdykairov,
V. Pronzvolov

M594*. Tìm tất cả các số thực $a$ mà tồn tại số thực không âm $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ thỏa mãn hệ thức
$$\sum_{k=1}^{5} kx_k = a, \sum_{k=1}^{5} k^3x_k = a^2, \sum_{k=1}^{5} k^5x_k = a^3.$$

M595. Cho $A$ và $E$ là hai đỉnh đối diện của một hình bát giác đều. Tại đỉnh $A$ có một con ếch. Từ bất kỳ đỉnh nào của hình bát giác, ngoại trừ đỉnh $E$, con ếch có thể nhảy tới bất kỳ đỉnh nào trong hai đỉnh lân cận. Khi đến đỉnh $E$, con ếch dừng lại và giữ nguyên ở đó. Gọi $a_n$ là số cách một con ếch có thể đi từ đỉnh $A$ đến đỉnh $E$ với chính xác $n$ lần nhảy. Chứng minh rằng
$$a_{2n-1} = 0, a_{2n} = \frac{1}{\sqrt{2}} (x^{n-1} - y^{n-1}),$$
$n = 1, 2, 3, \dots$, ở đâu $x = 2 + \sqrt{2}; y = 2 - \sqrt{2}$.

F603. Một sinh viên đến trường bằng tàu điện ngầm dọc theo tuyến Kolya. Trạm mà nó lên và trạm mà nó xuống nằm ở hai đầu đối diện nhau của đường kính của vòng, vì vậy

rằng học sinh không quan tâm mình đi theo con đường nào.
Tất nhiên, anh ấy sẽ ngồi vào chiếc ghế phù hợp với mình sớm nhất. Số lượng tàu đi dọc vành đai theo các hướng khác nhau là như nhau. Tuy nhiên, người học sinh này nhận thấy rằng mình thường đạp xe theo chiều kim đồng hồ. Làm thế nào điều này có thể được giải thích?

F604. Trong điều kiện không trọng lực, một chất lỏng đặt trong một bình hình trụ thủy tinh có bán kính đáy $R_1$ có hình dạng như Hình 1. Bề mặt tự do của chất lỏng có dạng hình cầu có bán kính $R_0$. Chất lỏng tương tự, được đặt trong một bình thủy tinh hình cầu có bán kính $R_2$, có hình dạng như trong Hình 2. Bề mặt tự do của chất lỏng phẳng. Xác định chiều cao mực chất lỏng trong bình cầu. Chất lỏng sẽ có hình dạng như thế nào trong một bình hình cầu nếu bán kính của bình lớn hơn $R_2$? ít hơn $R_2$?

V. Skorovarov

F605. Một cầu chì sẽ nổ nếu điện áp trên nó là 10 V. Cầu chì sẽ nổ ở điện áp nào nếu chiều dài của nó tăng gấp đôi?

F606. Quả cầu trượt không vận tốc ban đầu dọc theo mặt phẳng nghiêng góc $\alpha$. Hệ số ma sát giữa vòng đệm và mặt phẳng nghiêng thay đổi theo khoảng cách $l$ tính từ mặt trên theo định luật $\mu=kl$ ($k=\cos\theta$). Nên đặt điểm dừng cách đỉnh một khoảng bằng bao nhiêu để sau một lần va chạm đàn hồi với điểm dừng thì quả bóng dừng lại ở độ cao nhất có thể?

V. Belonuchkin

F607. Máy bay bay theo lộ trình khép kín $ABC$. Các điểm $A, B$ và $C$ nằm ở các đỉnh của một tam giác đều. Trong trường hợp nào thời gian trên chuyến bay sẽ ít hơn: nếu gió thổi theo hướng vectơ $\overrightarrow{AB}$ hoặc nếu gió thổi theo hướng vectơ $\overrightarrow{BA}$?

N. Kushinr, học sinh lớp 9