Olympic Toán

Kvant 1979, số 11 tr. 48-53 Thẻ C2SE

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

XIII Toàn diện
Olympic dành cho học sinh

N. Rozov, M. Smolyansky

Olimpida
trong toán học

Từ ngày 11 đến ngày 18 tháng 4, chặng cuối cùng của Kỳ thi Olympic Toán học toàn Liên đoàn lần thứ XIII dành cho học sinh đã được tổ chức tại Tbilisi. Trường tuyển sinh 152 học sinh: 39 học sinh lớp 8, 54 học sinh lớp 9 và 59 học sinh lớp 10.

Các đội gồm tất cả các công nhân tài nguyên huynh đệ của Tổ quốc chúng ta đã tập trung tại thủ đô Georgia. Đội bao gồm những người chiến thắng Thế vận hội Resursican, Thế vận hội khu vực của RSFSR, Thế vận hội Moscow và Leningrad, cũng như những người đã được trao bằng cấp I và II tại Thế vận hội trước đó (Tashkent, 1978). Lần thứ ba, một đội học sinh các trường dạy nghề - quán quân Olympic Trường dạy nghề Leningrad - tranh tài ở chặng cuối của Olympic Toán toàn Nga. Một nhóm học sinh Tbilisi riêng biệt đại diện cho thành phố đăng cai Thế vận hội.

Ngay từ những phút đầu tiên ở trên đất Georgia, tất cả các đội đều được bao quanh bởi sự quan tâm và chăm sóc. Đại diện đảng và các tổ chức Liên Xô của Olympic và các nhà toán học, thành viên Komsomol và học sinh Tbilisi đã làm mọi cách có thể để đảm bảo phần thi toán diễn ra thành công. Và sẽ không quá lời khi nói rằng về mặt tổ chức, Olympic ở Tbilisi là một trong những giải đấu tốt nhất.

Ngày 12/4, các em học sinh Olympic trong không khí trang nghiêm đã đặt hoa tại tượng đài V.I. Lênin. Sau đó, lễ khai mạc chính thức của chặng cuối cùng đã diễn ra tại Resursikan dành cho những người chơi chữ và học sinh được đặt theo tên của B. Dzneladze. Chủ tịch ban tổ chức, Bộ trưởng Bộ Giáo dục GSSR, Giáo sư O. D. Kinkladze, đã nồng nhiệt chào đón các vị khách đến từ Georgia và nhiệt liệt chúc mừng khán giả nhân dịp khai mạc sự kiện. Chủ tịch Hội đồng Bộ trưởng GSSR O. E. Cherkezia, Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học GSSR E. K. Khoradze, Bí thư Ủy ban Trung ương Komsomol Georgia M. P. Tsiklauri và những người khác đã chúc thành công rực rỡ tại Olympic và trong việc theo đuổi hơn nữa ngành khoa học yêu thích của họ.

Olimpidad trình bày một công việc ngắn hạn về chuẩn bị bài tập cho học sinh. Trong vài tháng, ủy ban phương pháp luận của ban tổ chức trung ương Olympic toàn liên minh dành cho học sinh đã nghiên cứu kỹ lưỡng danh sách dài bài toán-“ứng cử viên”, được biên soạn theo đề xuất của các nhà toán học từ các thành phố khác nhau của nước ta, được lựa chọn tỉ mỉ từ đó bài toán nguyên bản nhất và không chuẩn.

Để độc giả của tạp chí có được ấn tượng toàn diện về đặc tính bài toán, các điều kiện của họ được đưa ra đầy đủ dưới đây. Tất cả những bài toán này đều có trong Sách bài toán Lượng tử - số tương ứng mà bài toán được đặt ở đó sẽ được biểu thị trong ngoặc đơn sau nội dung của điều kiện. Trong Sách Vấn đề “Quanta”, lời giải trong tổng số bài toán sẽ được đặt.

Như thường lệ, chặng cuối của Thế vận hội được tổ chức thành hai hiệp. Vòng đầu tiên diễn ra vào ngày 13 tháng 4. Những người tham gia Olympidad được tặng ba bài toán, trong đó lời giải được trả lời sau bốn giờ.

Bài toán vòng đầu tiên

lớp 8

Giá trị nhỏ nhất có thể là tỉ số diện tích của hai tam giác vuông cân, các đỉnh của một tam giác này nằm trên ba cạnh khác nhau của tam giác kia là bao nhiêu? (M566)
Kangaroo nhảy dọc theo góc $x \geq 0$ , $y \geq 0$ của mặt phẳng tọa độ $Oxy$ như sau: từ điểm $(x; y)$ kangaroo có thể nhảy đến điểm $(x+1; y-1)$ hoặc tới điểm $(x-5; y+7)$ và không được phép nhảy tới các điểm mà một trong các tọa độ âm. Từ những điểm ban đầu nào $(x; y)$ một con kangaroo không thể đến một điểm cách điểm xuất phát hơn 1000 km? Vẽ tập hợp tất cả các điểm như vậy $(x; y)$ và tìm diện tích của nó. (M572)
Trong quốc hội, mỗi thành viên có không quá ba kẻ thù. Chứng minh rằng quốc hội có thể chia thành hai viện sao cho mỗi nghị sĩ ở cùng viện với mình sẽ không có nhiều hơn một kẻ thù. (Được coi là nếu $A$ là kẻ thù của $B$ thì $B$ là kẻ thù của $A$ .) (M580)

lớp 9

Xem bài toán số 1 cho lớp 8.
Có một số con số được viết bằng terradi. Được phép thêm vào các số đã viết bất kỳ số nào bằng trung bình của độ dài số học hoặc một vài trong số chúng, miễn là nó khác với tất cả những số đã viết. Chứng minh rằng, bắt đầu từ hai số 0 và 1, sử dụng các phép cộng như vậy ta có:
a) số 1/5;
b) bất kỳ số hữu tỷ nào trong khoảng từ 0 đến 1. (M569)
c. xem bài toán số 3 cho lớp 8.

lớp 10

Dãy số giảm dần $(x_n)$ của các số dương sao cho đối với mọi số tự nhiên $n$
$\frac{x_1}{1} + \frac{x_4}{2} + \frac{x_9}{3} + \cdots + \frac{x_n^2}{n} \leq 1.$ (M571)
Xem bài toán số 2 cho lớp 9.
Xem bài toán số 3 cho lớp 8.
Nhiều người tham gia đã hoàn thành xuất sắc bài toán của vòng đầu tiên. Đúng như dự đoán, bài toán thứ ba (chung cho tất cả các lớp) hóa ra là khó nhất.

Ngày hôm sau là một ngày rảnh rỗi. Buổi sáng có cuộc gặp gỡ với người liệt hiếm hoi của tạp chí «Kvant». Phó tổng biên tập tạp chí M. L. Smolyansky đã giới thiệu với những người tham dự cuộc họp về phương án sáng tạo của tòa soạn và nội dung các vấn đề liên quan. Các thành viên nhóm biên tập V. G. Boltyansky, L. G. Makar-Limanov, A. P. Savin phát biểu với các em học sinh; họ nói về những câu hỏi toán học thú vị và đưa cho những người sấy tóc một loạt câu hỏi bài toán để họ tự suy nghĩ.

Sau đó, học sinh lớp 10 nghe bài giảng của D. B. Fuchs về cấu trúc liên kết, và học sinh lớp 9 nghe bài giảng của A. B. Sosinsky về cái gọi là “số siêu thực” *). N. N. Konstantinov đã tổ chức một bài học trong câu lạc bộ toán với các học sinh lớp 8 liên quan đến lời giải logic bài toán. Ngoài ra, các em học sinh còn được trò chuyện với các nhà toán học được Hội đồng các nhà khoa học trẻ Georgia mời.

Các thành viên ban giám khảo đã tiến hành phân tích chuẩn bị cho vòng đầu tiên lời giải bài toán và trả lời nhiều câu hỏi từ những người tham gia Olympada.

Ngày 15/4, vòng hai diễn ra. Nhiệm vụ của vòng thứ hai bao gồm bốn nhiệm vụ bài toán và được thiết kế trong năm giờ.

Bài toán vòng thứ hai

lớp 8

Trên mặt phẳng của một số cặp $(A; B)$ trong số các điểm này, các vectơ $\overrightarrow{AB}$ được lấy và theo cách sao cho tại mỗi điểm có số vectơ bắt đầu bằng số số kết thúc tại đó. Chứng minh tổng các vectơ đã lấy bằng 0. (M576)
Số đếm nhỏ nhất cần đặt trên các ô vuông của bàn cờ có kích thước là bao nhiêu?
a) $8 \times 8$ ô;
b) $n \times n$ ô
sao cho trên mỗi đoạn thẳng đi qua tâm của một trường tùy ý và song song với một cạnh hoặc đường chéo nào đó của bàn cờ thì phải có ít nhất một quân cờ? (Chip được đặt ở giữa các ô.) (M577)
Tìm $x$ và $y$ từ hệ phương trình
$\begin{cases} \frac{x-y}{\sqrt{x^2-y^2}} = a, \\ \frac{y-x}{\sqrt{x^2-y^2}} = b \end{cases}$
$(a$ và $b$ là các số đã cho). (M578)

*) Một bài viết về “số siêu thực” được đặt ở tr. 2.

Có một số hình vuông có tổng diện tích bằng 4. Chứng minh rằng những hình vuông đó luôn có thể bao phủ một hình vuông có diện tích bằng 1. (M570)

lớp 9

Chứng minh rằng với mọi số $x_1, x_2, \dots, x_n$ thuộc khoảng [0; 1], bất đẳng thức đúng
$x_1 + x_2 + \dots + x_n + 1)^2 \geq 4 (x_1 + x_2 + \dots + x_n).$ (M579)
Các số tự nhiên $p$ và $q$ là số nguyên tố cùng nhau. Đoạn [0; 1] được chia thành $p+q$ phân đoạn giống hệt nhau. Chứng minh rằng mỗi phân số này, ngoại trừ hai phân số cực trị, chứa đúng một trong các số $p+q-2$
$\frac{1}{p}, \frac{2}{p}, \dots, \frac{p-1}{p},$
$\frac{1}{q}, \frac{2}{q}, \dots, \frac{q-1}{q}.$ (M567)
Qua điểm $O$ có 1979 đường thẳng $l_1, l_2, \dots, l_{1979}$ trong không gian, không có hai đường nào vuông góc với nhau. Một điểm tùy ý $A_1$ , khác với $O$ , được lấy trên đường $l_1$ . Chứng minh rằng có thể chọn được các điểm $A_k \in l_k$ , $k=2, 3, \dots, 1979$ sao cho 1979 cặp đường thẳng sau đây vuông góc với nhau:
$(A_1 A_3) \perp l_2, (A_2 A_4) \perp l_3, \dots,$
$(A_{k-1} A_{k+1}) \perp l_k, \dots, (A_{1977} A_{1979}) \perp l_{1978},$
$(A_{1978} A_1) \perp l_{1979}, (A_{1979} A_2) \perp l_1.$ (M573)
Chuỗi hữu hạn $a_1, a_2, \dots, a_n$ của các số 0 và 1 phải thỏa mãn điều kiện sau: với mọi số $k$ từ 0 đến $n-1$ thì tổng
$a_1 a_{k+1} + a_2 a_{k+2} + \dots + a_n - k a_n$ là số lẻ.
a) Nghĩ ra một dãy như vậy cho $n=25$ .
b) Chứng minh rằng dãy như vậy tồn tại với một số $n > 1000$ . (M574)

lớp 10

Xem bài toán Số 2 6 cho lớp 8.
Xem bài toán Số 2 5 cho lớp 8.
Tứ giác lồi $ABCD$ được cắt bằng các đường chéo của nó thành bốn hình tam giác. Chứng minh rằng nếu bán kính của cả bốn đường tròn nội tiếp trong các tam giác này bằng nhau thì tứ giác $ABCD$ là hình thoi. (M568)
Trên một đường thẳng, các điểm $A_0, A_1, A_2, \dots, A_n$ được sắp xếp theo thứ tự sao cho độ dài các đoạn $|A_0 A_1|, |A_1 A_2|, \dots, |A_n-1 A_n|$ không vượt quá 1. Cần đánh dấu $k-1$ từ điểm $A_1, A_2, \dots, A_n-1$ bằng màu đỏ sao cho độ dài của hai phần $k$ trên đó đoạn $A_0 A_n$ được chia bằng các chấm đỏ khác nhau không quá 1. Chứng minh rằng điều này luôn thực hiện được
a) tại $k=3$ ;
b) với mọi số tự nhiên $k < n$ . (M575)

Bài toán của loại thứ hai có màu khá xám. (Nhân tiện, một số trong số chúng xử lý các kết quả toán học có ý nghĩa.) Tuy nhiên, các nhà toán học trẻ đã hoàn thành nhiệm vụ. Ngoại trừ điểm 6) ở bài tập số 7 lớp 10, không có câu bài toán nào mà không học sinh Olympicada nào giải được. Đối với một số bài toán, các sinh viên đã đề xuất bản gốc lời giải mà trước đó bồi thẩm đoàn chưa biết.

Bảng bên dưới cho thấy có bao nhiêu người tham gia Olympada đã giải được từng bài toán (hoàn toàn hoặc có lỗi nhỏ). Ban giám khảo cố gắng sắp xếp các nhiệm vụ theo thứ tự độ khó tăng dần. Bảng cho thấy vào ngày thứ hai, “ý kiến” của những người tham gia Olympada về độ khó bài toán trùng khớp với ý kiến của người biên soạn.

| Lớp học | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| | | | | | | | |
| 8 | 5 | 19 | 3 | 36 | a) 15 6) 4 | 13 | 3 |
| 9 | 22 | a) 35 6) 16 | 9 | 36 | 23 | 17 | a) 2 6) 1 |
| 10 | 39 | a) 56 6) 32 | 13 | 47 | a) 41 6) 21 | 15 | a) 2 6) 0 |

Vào ngày 16 tháng 4, học sinh được cho biết lời giải bài toán thuộc loại thứ hai, và sau đó một cuộc phân tích cá nhân bắt đầu - mỗi người tham gia Olympada có cơ hội thảo luận chi tiết về công việc của họ với các thành viên ban giám khảo (để nộp đơn kháng cáo). Cuộc thảo luận như vậy rất hữu ích, nó giúp trẻ hiểu thế nào là giải pháp toàn diện bài toán, thế nào là lý luận logic chặt chẽ và theo quy luật, bày tỏ suy nghĩ của mình.

Ngày 17 tháng 4, tại hội trường Đại học Tbilisi đã diễn ra nghi thức bế mạc Olympic toàn Nga lần thứ XIII dành cho học sinh môn toán. Căn cứ vào kết quả của giai đoạn cuối, 14 bằng cấp 1, 31 bằng cấp 2 và 36 bằng cấp 3 đã được cấp. Ngoài ra, có 8 học sinh lớp 8, 15 học sinh lớp 9 và 21 học sinh lớp 10 đã được cấp bằng. Những người tham gia Olympic còn lại đã được trao bằng tốt nghiệp sinh viên đáng nhớ (những bằng cấp này được cấp lần đầu tiên)*.

Một số người tham gia Olympicada đã được trao tặng sự công nhận đặc biệt: các tổ chức chính phủ được thành lập, các tổ chức công cộng, các nhóm đề xuất độc đoán của Georgia. Các học sinh lớp 8 Aleksandr Babak (trường số 2, làng Kamenka), Konstantin Levitsky (trường số 16, Kara-Balty), Chariyar Ashiralev (trường số 5, Kara-Kala) đã nhận được sự công nhận đặc biệt từ tạp chí «Kvant» vì thành công của các em trong Thế vận hội; Học sinh lớp 9 Lola Satafova (trường số 1, Dushanbe), Bachuk Mesablivili (trường nội trú mang tên Komarov, Tbilisi), Geortsei Pavlashivili (trường nội trú mang tên Komarov, Tbilisi).

Vì thành tích xuất sắc ở chặng cuối của Olympic toàn Liên đoàn lần thứ XIII, học sinh môn toán hiếm khi được trao sự công nhận đặc biệt: 14 bằng cấp một, 31 bằng cấp hai và 36 bằng cấp ba. Ngoài ra, 8 học sinh lớp 8, 15 học sinh lớp 9 và 21 học sinh lớp 10 chứa đầy các cơ quan chính phủ, tổ chức công cộng và các nhóm đề xuất tùy tiện của Georgia. Các học sinh lớp 8 Aleksandr Babak (trường số 2, làng Kamenka), Konstantin Levitsky (trường số 16, Kara-Balty), Chariyar Ashiralev (trường số 5, Kara-Kala) đã nhận được sự công nhận đặc biệt từ tạp chí «Kvant» vì thành công của các em trong Thế vận hội; Học sinh lớp 9 Lola Satafova (trường số 1, Dushanbe), Bachuk Mesablivili (trường nội trú mang tên Komarov, Tbilisi), Geortsei Pavlashivili (trường nội trú mang tên Komarov, Tbilisi).

Chương trình khoa học của giai đoạn cuối rất căng thẳng. Nhưng những người tham gia Olympicada, rời khỏi vùng đất Georgia, không chỉ lấy đi những giải thưởng và ấn tượng toán học. Trong tượng đài, trẻ hiểu đâu là giải pháp toàn diện bài toán, đâu là lý luận logic chặt chẽ và theo quy luật, bày tỏ suy nghĩ của mình.

Theo một nghĩa nào đó, Olympicada ở Tbilisi là một sự kiện kỷ niệm. Lần thứ 20 tại giải toán học, học sinh của chúng ta trên khắp cả nước - truyền thống này bắt nguồn từ

*) Danh sách vận động viên Olympic có bằng cấp I, II và III tại trang. 59.

Năm 1960, khi đại diện của các nước cộng hòa và khu vực khác lần đầu tiên tiếp cận Olympic Toán học Moscow lần thứ 23 dành cho học sinh. Và 12 năm trước, tại Tbilisi, cuộc thi Olympic toán học toàn liên đoàn đầu tiên dành cho học sinh đã diễn ra.

Ban giám khảo của Thế vận hội hiện tại bao gồm một số “cựu chiến binh” đã tham gia tất cả các cuộc thi này. Và trong số đó, trước hết, tôi xin kể tên N. B. Vasilyev, nhà nghiên cứu tại Đại học Moscow, phó đại diện ủy ban phương pháp luận về toán học thuộc Bộ Giáo dục Liên Xô, một trong những độc giả tích cực nhất và đam mê các kỳ Olympic toàn Liên bang.

Bộ Giáo dục Georgia đã chuẩn bị và xuất bản tuyển tập đặc biệt “Sách chân lý của các nhà toán học trẻ” dành cho Olympic. Một trong những người biên soạn bộ sưu tập này là một giáo viên danh dự của GSSR, giám đốc làng. w. Số 42 Tbilisi O. I. Gaganidze - là người chiến thắng trong Olympic toán học đầu tiên, được tổ chức tại Georgia vào năm 1933. Bộ sưu tập này chứa thông tin về các loại người tham gia Olympic

Học sinh lớp 10 đã có Bằng cấp 1 (từ trái sang phải): I. Zakharevich, A. Lyakhovets, S. Khlebutin, A. Degtyarev, I. Lysenok.

Ảnh của G. Gabuntsi

Nhà vô địch cờ vua thế giới Maya Chiburdanidze tiến hành một buổi trò chơi đồng thời với những người tham gia Olympic.

“Tôi vui mừng được chào đón những người tham gia Cuộc thi Olympic Toán học sinh toàn Liên minh tại quê hương Tbilisi của tôi và chúc họ thành công rực rỡ.
Tôi cũng muốn gửi lời chào đến tất cả học sinh Liên Xô thông qua tạp chí «Kvant» của họ và hy vọng rằng nhiều kỳ nghỉ học nữa sẽ diễn ra tại thành phố xinh đẹp của chúng ta.”

Maya Chiburdanidze

Về các hoạt động khoa học và văn hóa ở Georgia, nhiều nhận định thú vị về toán học được đưa ra cũng như những gì các nhà khoa học và giáo viên chuyên môn làm cho các bạn trẻ yêu thích toán học được mô tả chi tiết.

Một trong những chất liệu trong bộ sưu tập này đã thu hút được sự chú ý đặc biệt. Chúng tôi rất ngạc nhiên khi biết rằng Olympic toán học đầu tiên trong lịch sử trường học Liên Xô - “Olympiad của các nhà toán học Pinonegian” - được tổ chức tại Tbilisi vào năm 1933 (tất cả các tài liệu về lịch sử Olympic đều chỉ ra rằng lần đầu tiên ở nước ta, Olympic Toán học dành cho học sinh được tổ chức vào năm 1934 tại Leningrad). Chúng ta. 61 thông tin chi tiết hơn về Thế vận hội Tbilisi 1933 được công bố; nó chắc chắn sẽ thu hút sự quan tâm của tất cả những người yêu thích toán học.

Người ta tin rằng 13 là con số không may mắn. Nhưng các nhà toán học không tin vào magie số. Và dù Olympic lần thứ XIII, vòng đầu tiên diễn ra vào ngày 13/4 nhưng đã thành công tốt đẹp, mang lại nhiều niềm vui cho người tham gia và mang lại sự hài lòng sâu sắc cho ban tổ chức.