Олимпиада по математике

Квант 1979, №11 с. 48-53 Тег C2SE

XIII Всегоозная
олимпида школьников

Н. Розов, М. Смолянский

Оlimпида
по математике

С 11 по 18 апреля в Тбилиси проводился заключительный этап XIII Всегоозной оlimпиды школьников по математике. В нем принято учатие 152 школьника: 39 восемиклассников, 54 девятиклассника и 59 десятиклассников.

В столицу Грузии собрались команды всех братских ресурсников нашей Родины. В составе команда — победители ресурсиканских оlimпидад, зональных оlimпидад РСФСР, оlimпидад Москвы и Ленинграда, а также ребята, отмеченые на предыдущей оlimпидаде (Ташкент, 1978) дипломами I и II степени. В третьий раз в заключительной этапе Всегоозной оlimпиды по математике выступала команда учащихся профессионально-технических училищ — призеров оlimпиды ПТУ Ленинграда. Отделная команда Тбилиских школьников представила город, принимающий оlimпидад.

С первых же минут пребывания на грузинской земле все команды были окружены заботой и вниманием. Представители партийных и советских организаций оlimпидады и учены-математики, комсомольцы и школьники Тбилиси сделали все возможное, чтобы раздик математики прошел успешно. И не будет преувеличением сказать, что в организационном отношении оlimпидад в Тбилиси была одной из лучших.

12 апреля учащихся оlimпидады в торжественной обстановке возникли цветы к памятнику В. И. Ленина. Затем в ресурсиканском творце пюнеров и школьников имени Б. Дзнеладзе состоялось официальное открытие заключного этапа. Председатель оргкомитета министр просвещения ГССР профессор О. Д. Кинкладзе теплло приветствовал гостей Грузии и сердечно поздравил собрашinxся с началом совершения. Больших успехов в оlimпидаде и в дальнейших занятых любимой научкой пожелали участикам заметить председателя Совета Министров ГССР О. Е. Черkezия, президент АН ГССР академик Е. К. Хорадзе, секретарь ЦК ЛКСМ Грузии М. П. Циклаури и другие.

Оlimпидад представляет кратопользовая коротливая работа по подготовке заданий для учатников. Несоклько месяцев методическая комиссия центрального оргкомитета Всегоозной оlimпидады школьников тщательно изучала длинный список задач-«кандидатов», составленный по предложенным математиков из разных городов нашей страны, придирочно отбирала из него наиболее оригинальные и нестандартные задачи.

Чтобы читатели журнала смогли составить целостное впечатление о характеристике задачи, ниже полностью приводятся их условия. Все эти задачи включаны в Задачник «Кваанта» — соответствующей номер, под которым там помещена задача, указан в скобках после текста условия. В Задачнике «Кваанта» будут помещены и решения всех задачи.

Как обычно, заключительный этап оlimпидады проводился в два тура. Первый тур состоялся 13 апреля. Участникам оlimпидады предложили по три задачи, на решение которых ответилось четые часа.

Задачи первого тура

8 класс

Какое наименьшее значение может иметь отношение площадей двух равно-бедренных прямогольных треугольников, при вершины одного из которых лежат на трех разных сторонах другого? (M566)
Кенгуру прыгает по углу $x \geq 0$ , $y \geq 0$ координатной плоскости $Oxy$ следующим образом: из точки $(x; y)$ кенгуру может прыгнуть в точку $(x+1; y-1)$ или в точку $(x-5; y+7)$ , причем прыгает в точки, у которых одна из координат отрицательна, не разрешается. Из каких начальных точек $(x; y)$ кенгуру не может попасть в точку, находящегося на расстоянии более 1000 от начала координат? Нарисуйте множество всех таких точек $(x; y)$ и найти его площадь. (M572)
В parlamentе у каждой его члена не более трех врагов. Докажите, что parlament может разбит на две палаты так, что у каждой parlamentария в одной с ним палате будет не более одного врага. (Считается, что если $A$ — враг $B$ , то $B$ — враг $A$ .) (M580)

9 класс

См. задачу № 1 для 8 класса.
В терради написано несколько чисел. Разрешается приписать к уже написанным числам любое число, равное среднему арфметической длины или нескольких из них, если только оно отлично от всех уже написанных. Докажите, что, начиная с двух чисел 0 и 1, с помощью таких приписок можно получить:
a) число 1/5;
b) любое рациональное число между 0 и 1. (M569)
c. см. задачу № 3 для 8 класса.

10 класс

Убывающая последовательность $(x_n)$ положительных чисел такова, что при любом натуральном $n$
$\frac{x_1}{1} + \frac{x_4}{2} + \frac{x_9}{3} + \cdots + \frac{x_n^2}{n} \leq 1.$ (M571)
См. задачу № 2 для 9 класса.
См. задачу № 3 для 8 класса.
С задачи первого тура успешно справились многое участники. Как и ожидалось, наиболее трудной оказалась третья задача (общая для всех классов).

Следующий день был свободным от совершения. Утром состоялась встреча с редкоплегием журнала «Квант». Заместитель главного редактора журнала М. Л. Смолянский познакомил участников встречи с творческими планами редакции, с содержанием близких номеров. Перед школьниками выступили члены редаклгиги В. Г. Болтянский, Л. Г. Макар-Лиманов, А. П. Савин; они рассказали об интересных математических вопросах и предложили сушателям ряд задач для самостоятельного обдумывания.

Затем десятиклассики прослушали lekцию Д. Б. Фукса о топологии, а девятиклассики — lekцию А. Б. Сосинского о так называемых «сюрреальных числах» *). Н. Н. Константинов провел с восемиклассими занятие математического кружка, посвязываенное решение логических задач. Кроме того, школьники беседовали с математиками, приглашенными Советом молодых ученых Грузии.

Члены жорни проводили подготовный разбор решения задач первого тура, ответили на многочисленные вопросы участников оlimппады.

15 апреля состоялся второй тур. Задания второго тура состояли из четырех задач и были рассчитаны на пять часов.

Задачи второго тура

8 класс

На плоскости данного нескольких пар $(A; B)$ этих точек взяты векторы $\overrightarrow{AB}$ , причем так, что в каждой точке начинается столь же векторов, скольков в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех взятых векторов равна 0. (M576)
Какое наименьшее число учестки нужно поставить на поля шахматной доски размерами
a) $8 \times 8$ клеток;
b) $n \times n$ клеток
для того, чтобы на каждой прямой, проходящей через центр произвольного поля и параллельной какой-лобо стороне или диагонали доски, стояла хотя одна фишка? (Фишки ставятся в центры полей.) (M577)
Найдите $x$ и $y$ из системы уравнений
$\begin{cases} \frac{x-y}{\sqrt{x^2-y^2}} = a, \\ \frac{y-x}{\sqrt{x^2-y^2}} = b \end{cases}$
$(a$ и $b$ — данные числа). (M578)

*) Статья о «сюрреальных числах» помещена на c. 2.

Имеется несколько квадратов, сумма площадей которых равна 4. Докажите, что таким квадратами всегда можно покрыть квадрат плошади 1. (M570)

9 класс

Докажите, что для любых чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ , принадлежих отрезку [0; 1], выполняется неравенство
$x_1 + x_2 + \dots + x_n + 1)^2 \geq 4 (x_1 + x_2 + \dots + x_n).$ (M579)
Науральные числа $p$ и $q$ взаимно просты. Отрезок [0; 1] разбит на $p+q$ одинаковых отрезков. Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних, лежитровно одно из $p+q-2$ чисел
$\frac{1}{p}, \frac{2}{p}, \dots, \frac{p-1}{p},$
$\frac{1}{q}, \frac{2}{q}, \dots, \frac{q-1}{q}.$ (M567)
Через точку $O$ в пространстве проведено 1979 прямых $l_1, l_2, \dots, l_{1979}$ , никакие две из которых не взаимно перpendикулярны. На прямой $l_1$ взята произвольная точка $A_1$ , отличная от $O$ . Докажите, что можно выбрать точки $A_k \in l_k$ , $k=2, 3, \dots, 1979$ , таким образом, чтобы следующее 1979 пар прямых были взаимно перpendикулярными:
$(A_1 A_3) \perp l_2, (A_2 A_4) \perp l_3, \dots,$
$(A_{k-1} A_{k+1}) \perp l_k, \dots, (A_{1977} A_{1979}) \perp l_{1978},$
$(A_{1978} A_1) \perp l_{1979}, (A_{1979} A_2) \perp l_1.$ (M573)
Конечная последовательность $a_1, a_2, \dots, a_n$ из чисел 0 и 1 должна удовлетворять следующему условию: для любого числа $k$ от 0 до $n-1$ сумма
$a_1 a_{k+1} + a_2 a_{k+2} + \dots + a_n - k a_n$ является нечетным числом.
a) Придумайте такой последовательность для $n=25$ .
b) Докажите, что такая последовательность существует для некоторого $n > 1000$ . (M574)

10 класс

См. задачу №2 6 для 8 класса.
См. задачу №2 5 для 8 класса.
Выпуклый четырехугольник $ABCD$ разрезан своим диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что если радиус всех четырех окружностей, вписанных в эти треугольники, равны между собой, то четырехугольник $ABCD$ — ромб. (M568)
На прямой по порядку расположены точки $A_0, A_1, A_2, \dots, A_n$ так, что длины отрезков $|A_0 A_1|, |A_1 A_2|, \dots, |A_n-1 A_n|$ не превыходит 1. Требуется отметить $k-1$ из точки $A_1, A_2, \dots, A_n-1$ красным цветом так, чтобы длины двух $k$ частей, на которых отрезок $A_0 A_n$ разбията красными точки, отличались не более чем на 1. Докажите, что это всегда можно сделать
a) при $k=3$ ;
b) для каждого натурального $k < n$ . (M575)

Задачи второго типа были достаточно серые. (Кстати, в некоторых из них речь идет о содержательных математических результатах.) Однако юным математикам они оказались по плечу. За исключением пункта 6) в задание № 7 для 10 класса, не было ни одной задачи, которое бы не решил никакого изучатников оlimппады. Для некоторых задач школьники предложили оригинальные решения, ранее не известные жюри.

В приведенной таблице указано, сколько учатников оlimппады решило каждую задачу (полностью или с небольшими недочетами). Жюри старались расположить задчи по мере возрастания их трудности. Из таблицы видно, что во второй день «мнение» учатников оlimппады о трудности задач совпало с мнением составительей.

| Класс | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| | | | | | | | |
| 8 | 5 | 19 | 3 | 36 | a) 15 6) 4 | 13 | 3 |
| 9 | 22 | a) 35 6) 16 | 9 | 36 | 23 | 17 | a) 2 6) 1 |
| 10 | 39 | a) 56 6) 32 | 13 | 47 | a) 41 6) 21 | 15 | a) 2 6) 0 |

16 апреля школьникам были рассказаны решения задач второго типа, а потом начался индивидуальный разбор — каждый учатник оlimппады получил возможность подробно обсуждать свою работу с членами жюри (подать апелляцию). Такое обсуждение очень полезно, оно помогает ребятам понять, что является исчерпывающим решением задачи, что такое строое логическое рассужждение, как правило излагаать свои мысли.

17 апреля в актовом зале Тбилисского университета состоялось торжественное закрытие XIII Всегоозной оlimппады школьников по математике. По итогам заключительного этапа присуждено 14 дипломов I степени, 31 диплом II степени и 36 дипломов III степени. Кроме того, 8 восемь классников, 15 девятиклассника, и 21 десятиклассник были нагружены грамотами. Остальные учатники оlimппады были вручены памятные дипломы учатника (эти дипломы учреждены впервые)*.

Некоторые учатники оlimппады были отмечены специальными признами: установленные государственные учреждения, общественные организации, коллективами произвольных предложений Грузии. За успехи в оlimппаде специальными признами жюрнала «Квант» нагружены восемьклассники Алексадр Бабак (с. ш. № 2 п. Каменка), Константин Левицкий (с. ш. № 16, Кара-Балты), Чарияр Аширалев (с. ш. № 5, Кара-Кала); девятикклассики Лола Сатафова (с. ш. № 1, Душанбе), Бачук Месабливили (школа-интернат им. Комарова, Тбилиси), Георцей Павлашивили (школа-интернат им. Комарова, Тбилиси).

За отличное проведение заключительного этапа XIII Всегоозной оlimппады школьников по математике редко отмечены специальные признами: присуждено 14 дипломов I степени, 31 диплом II степени и 36 дипломов III степени. Кроме того, 8 восемь классников, 15 девятикклассника, и 21 десятиклассник были нагружены государственные учреждения, общественные организации, коллективами произвольных предложений Грузии. За успехи в оlimппаде специальными признами жюрнала «Квант» нагружены восемьклассники Алексадр Бабак (с. ш. № 2 п. Каменка), Константин Левицкий (с. ш. № 16, Кара-Балты), Чарияр Аширалев (с. ш. № 5, Кара-Кала); девятикклассики Лола Сатафова (с. ш. № 1, Душанбе), Бачук Месабливили (школа-интернат им. Комарова, Тбилиси), Георцей Павлашивили (школа-интернат им. Комарова, Тбилиси).

Научная программа заключительного этапа была очень насыщенной. Но учатники оlimппады, покидая землю Грузии, увозили не только награды и математические впечатления. В памятнике ребятам поняты, что является исчерпывающим решением задачи, что такое строое логическое рассужждение, как правило излагаать свои мысли.

Оlimппада в Тбилиси в определенном смысле была юбилейной. Ввадцатный раз на математический турир собственный школьник со всей страны — эта традиция зародилась в

*) Список учатников оlimппады, нагруженных Дипломами I, II и III степени, приведен на c. 59.

1960 году, когда на 23-ю Московскую математическую олимпiadу школьников впервые приближались представители других ресурублика и области. А 12 лет назад здесь же, в Тбилиси, состоялась I Всесоюзная олимпiadа школьников по математике.

В составе жюри нынешней олимпiadы было несколько «ветеранов», принимающих участие в проведении всех этих соревнований. И среди них прежде всего хочется назвать научного сотрудника Московского университета, заместителя представителя методического комиссии по математике при Министерстве просвещения СССР Н. Б. Васильева, одного из активнейших зачитателей и энтузиастов всесоюзных олимпiad.

Ministerство просвещения Грузии подготвило и выпустило к олимпiadе специальный сборник «Правдник юных математиков». Один из составителей этого сборника — заслуженный учитель ГССР, директор с. ш. № 42 Тбилиси О. И. Гаганидзе — был призером первой математической олимпiadы, проходившей в Грузии в 1933 году. В этом сборнике собраны привести участникам олимпiadы от вид-

Десятиклассики, нагруженные Дипломами I степени (слева направо): И. Захаревич, А. Ляховец, С. Хлебутин, А. Дегтярев, И. Лысенок.

Фото Г. Габунци

Сеанс одновременной игры с участниками олимпiadы проводит чемпионка мира по шахматам Майя Чибурданидзе.

«Я рада приветствовать участников Всесоюзной олимпiadы школьников по математике в моем родном городе Тбилиси и пожелать им больших успехов.
Я хочу так же приветствовать всех школьников Советского Союза через их журнал «Квант» и наделюсь, что еще много школьных праздников будет проходить в нашем прекрасном городе».

Майя Чибурданидзе

ных деятельности науки и культуры Грузии, приведено много любопытных высказываний о математике, подробно рассказано, что делают учены и учитель ресурсыки для юных любительей математики.

Один из материалов этого сборника привлек особое внимание. Мы с удивлением узнали, что первый математический олимпiad в истории советской школы — «олимпида пинонегов-mатематиков» — состоялась в Тбилиси в 1933 году (во всех материалов, посвященных истории олимпiad, указывается, что впервые в нашей стране математическая олимпiadа школьников была проведена в 1934 году в Ленинграде). На с. 61 публикуется более подробная информация о Тбилиской олимпiadе 1933 года; она, несомненно, заинтересует всех любительей математики.

Существует поверие, что 13 — несястливое число. Но математики неверят в числовую магнию. И хотя олимпiadа носила номер XIII, а ее первый тур состоялся 13 апреля, она прошла успешно, доставив много радости участникам и принеся глубокое удовлетворение организации.