Сюрреальные числа

2

Сюреальные числа

А. Кириллов, И. Клумова,
А. Сосинский

Понятие действительного числа — одно из основных в математике. Не удивительно поэтому, что в настоящее время известно много способов построения строгой теории действительных чисел. Среди них выделяются простой и естественною аксиоматический метод. Он состоит в том, что мы отказываемся отчевать на вопрос «что такое число?», а определяем сразу все числа, описывая, какими свойствами они обладают. Свойства этих формулировки в виде аксиом. Оказывается, для аксиоматического задания действительных чисел достаточно 12 аксиом, приведенных на с. 9.

Конечно, нет никакой гарантии, что найдется объективы, удовлетворiousные этому набору требований. Поэтому в дополнение к аксиомам желательно иметь еще и модель — набор объектов, удовлетворiousных этим аксиомам. Однако такой модель действительных чисел вы хорошо знаете — это бесконечные десятичные дроби.

Сравнительно недавно английскому математике Джону Конвевею удалось «соорудить» очень интересную модель, которая содержит не только все действительные числа, но еще и многое другие — с интересными и необъывами свойствами. Эти числа — мы будем называть их К-числами, а Конвей называет их сорреальныеми (сверхвещественными) — удовлетворяют 11 из 12 упомянутых аксиом.

Кое-что об этих числах мы и расскажем в нашей статье. К сожалению, для построения всех К-чисел необходимо понятие трансфиктивного числа, которое не изучается в школе. Но заглянуть в их арифметике можно уже на школьном уровне.

Описание К-чисел

В арифметике Конвевя вместе привичных нам цифр.0, 1, 2, …, 9 используются всего два знака: ↑ — цр (вверх — англ.) и ↓ — down (вниз — англ.). Наборы из этих символов и являются К-числами.

Набор может вообще не содержать символов. Ниже мы увидим, что этот набор играет роль нуля, поэтому мы

3

заранее обозначим его через 0. Набор может быть любым конечным, например: ↓; ↑↑↓; ↓↑↑↓↑↓; может быть любым бесконечным: ↑↓↑↑↑↓ …, а может быть даже «более чем бесконечным» (см. последний раздел). Мы в основном будем оперировать с конечными наборами.

Если символы ↑ и ↓ рассматривать как указывающие направления движения я, то каждый набор «ир» и «допл» можно воспринять как «протокол понска» соответствует некоторому К-числу, причем разные «протоколы» соответствуют разных К-числам.

Сравним это с записью действительного числа в виде бесконечной десятичной дроби. Здесь тоже искомое число x строится путем последовательных приближений. Но при обычных последовательных десятичных приближениях числа мы подбираем к нему снизу, а не с двигустором, как у К-чисел (рис. 1). Кроме того, десятиная запись (в отличие от записи К-чисел) неоднозначна: 0,99999… ознакомлен то же, что 1,0000…

Объясним теперь, как сравнить К-числа по величины.

Отношение порядка

Чтобы сравнить два К-числа, нужно написать их одно под другим и по очереди сравнить символы, входящие в их запись (как при установлении порядка слов в словаре по алфавиту; такой порядок математики называют лексикографическим). Если первым из неодинаковых символов у числа x будет символ ↑, а у числа y — символ ↓, то x>y. Возможен еще случай, когда число x короче числа y

*) Что такое «больше — меньше» для К-чисел и почему 0 — простейшее К-число, мы обязываем в следующем разделе.

Рис. 1.

и составляет его начало. Тогда мы пишем x>y, если первым «лишним» символом y y будет символ ↓, и x<y, если этим символом будет ↑*). Например, справедливый неравенства ↓<0<↑↑<↑<↑↑↓.

Забегая вперед, скажем, что положительные (то есть >0) в К-аринетике будут все числа, начинающиеся с ↑, а отрицательными — все, начинающиеся с ↓.

Для К-чисел, кроме отношения порядка (>, =, <), имеется еще одно важное отношение; Конвей называет это отношение «равшие» и обозначает значком ←. Будем говорить, что К-число a равные К-числа b, если a встречает на пути к b из числа 0 (см. рис. 1). Иными словами, a ←b, если a можно получить из b «отрубанием хвоста» — части (с конца) стрелок ↑ и ↓. Например, ↑ равше, чем ↑ или ↑, а 0 по определенному считается самим ранним числом.

Заметим, что свойство «больше» не совпадает со свойством «больше»: например, число ↑ не равше числа ↑. Точно так же свойство «больше» не совпадает и со свойством «больше» или «больше»: например, оба числа ↑ и ↑ равше числа ↑, но первого из них больше ↑, а второе — меньше.

*) В частности, «пустой набор» 0 является началом любого К-числа.

4

Основная лемма
Пусть у нас есть два множества $K$-чисел: $A$ и $B$. Будем говорить, что множество $B$ лежит в шие множества $A$, если каждое число из множества $A$ меньше каждое число из множества $B$; обозначим это так: $A < B$. Скажем, что число $c$ разделяем множества $A$ и $B$, если $a < c < b$ для любых $a \in A$ и $b \in B$.

Основная лемма. Если $A < B$, то существует $K$-число $c$, разделяющее множества $A$ и $B$. Средние максимальные чисел есть самое раннее. (В дальнейшем самое раннее число, разделящее множества $A$ и $B$, будем обозначаться так: $\{A:B\}$.)

Эту лемму мы назвали основной потому, что она сыграет главную роль при определении правил действия на множестве $K$-чисел. Она верна для любых множества $K$-чисел $A$ и $B$. Но мы доказем ее только в предположении, что $A$ и $B$ — конечные множества конечных $K$-чисел.

Будем искать элемент, разделяющий множества $A$ и $B$, последовательно-но. Поскольку $0$ — самое раннее число, начнем с него.

Если $0$ разделяет множества $A$ и $B$, то все доказано. Если же нет, то по обе стороны (в смысле «больше — меньше») от $0$ найдет либо элементы из $A$, либо элементы из $B$. Пусть это — элементы из $A$. Тогда разделяющий элемент не может быть меньше $0$, т. е. он не может начинаться с $\downarrow$; значит, он начинается с $\uparrow$. Самое раннее число, начинающее с $\uparrow$, — это $\uparrow$. Рассуждаем, как выше: если $\uparrow$ разделяет $A$ и $B$, то все доказано. Если же нет, то снова по обе стороны от него найдет элементы из $A$ или из $B$; допустим теперь, что это — элементы из $B$. Тогда разделяющий элемент не может быть больше $\uparrow$; значит, он начинается с $\uparrow$. Берем $\uparrow$ и продолжаем с ним ту же процедуру и т. д. (рис. 2).

Мы предоставляем вам возможность убедиться в том, что этот процесс (в случае конечных множества $A$ и $B$, состоящих из конечных $K$-чисел) не может продолжаться бесконечно и, значит, приводит к разделяющему числу $c$.

Для доказательства можно, например, выделить наиболее число из $B$ и наиболее число из $A$ — тем самым доказательство теореми сводится к частному случаю, когда каждое из множества $A$ и $B$ состоит из одного числа.

Из самого способа построения видно, что $c$ равше любого из разделяющих чисел.

Этот же способ доказательства можно применить в обшем случае, но он приводит, вообще говоря, к бесконечному разделяющему $K$-числу, и строое доказательство того, что процесс «закончится» (что это такое для бесконечных процессов — еще надо определить!), требует сведений из теории трансфинитных чисел.

Определение сложения
Конвейз задает операции над $K$-числами, руководствуясь принципом орезедности и простоты. Он состоит в том, что правильная действия определяются не сразу для всех чисел, а постепенно: сначала для более ранних, а потом для более «поздних»; при

5

этом в качестве результат выбирается само раннее возможное число.

Определя, например, сумму двух каних-нибудь $K$-чисел, мы считаем, что для всех более ранних слагаемых суммы уже определены. После этого в силу вторя половина принципи. Чтобы показать, как этот принцип «работает», вычислим с его помощью несколько сумм. Разумеется, до тех пор, пока мы не придамим принцип четкой математической формулы, эти вычисления будут носить несколько нестрогий характер.

Поскольку 0 — само раннее число, «вычислим» первый делом сумму 0+0. Так как никаких результатов пока еще нет, ответом может быть любое $K$-число. Но из всех возможных ответов следует выбрать самый ранний. Это — 0. Итак, мы «доказали» равенство

$$0+0=0.$$ (1)

Попробуем теперь проверить, что 0 действительное имеет свойства нуля, указанные в аксиome C3 (см. с. 9), то есть что

$$0+x=x$$ (2)

для любого $K$-числа $x$.

Введем для этого неокоторые обозначения. Пусть $x$ — неокоторое $K$-число. Изовем средом $x$ (обозначение: $x$) множество всех $K$-чисел $y$ более ранних, чем $x$, то есть

$$x = \{y | y \in x\}.$$

Срез $x$ делится на нижний сред $x$ и верхний сред $x$ (обозначения: $x$ и $x$ соответственно). Нижний сред $x$ — это множество всех $y$ более ранних, чем $x$, и меньше $x$:

$$x = \{y | y \in x\}, y < x\},$$

а верхний сред — это множество всех $y$ более ранних, чем $x$, но большех $x$ (см. рис. 2):

$$\bar{x} = \{y | y \in x\}, y > x\}.$$

Например, сред $\bar{x}$ состоит из четырех чисел:

$$\bar{x} = \{0, \uparrow, \downarrow, \uparrow\},$$

причем нижний сред $\bar{x} = \{0, \uparrow, \downarrow\}$, а верхний сред $\bar{x} = \{0\}$. А вот и $\downarrow$ — это пустые множества; при этом $\bar{x} = \{0\}$.

Воспользовемся теперь очередно: будем считать, что для $K$-чисел более раннее число, чем $x$, равенство (2) верно (очевидно, любое число, которое равше $x$, принадлежит либо $x$ или $x$). Тогда сумма 0+x больше любого числа из $x$. Таким образом, число 0+x разделяет множество $x$ и $x$ (нижний и верхний сред $x$). Поскольку по принципу Конвеля нужно выбрать само раннее такое число, 0+x = $\{x\}: \bar{x}\}$. Но $\{x\}: \bar{x}\} = x$ (подумайте, почему), то есть 0+x=x.

Итак, мы почти обосновали обозначение 0 для пустого набора. Тепер оправданное сделанное выше утверждение о том, что в $K$-арфметике числа, начинающихся с $\uparrow$, играют роль положительных, а числа, начинающихся с $\downarrow$, — роль отрицательных.

Найдем теперь сумму $\uparrow + \uparrow$. Поскольку $\uparrow = \{0\}, \uparrow + \uparrow$ больше $\uparrow$. Самое раннее число, больше $\uparrow$, — это $\uparrow + \uparrow$. Поэтому

$$\uparrow + \uparrow = \uparrow + \uparrow.$$ (3)

У нас есть теперь опыт решения примеров на сложение: мы пониваем, что суммой $x+y$ должно быть само раннее число, которое разделяет суммы с недостатком (то есть объединение множества $x+y$ и $x+y$) и суммы с избытком (объединение множества $\bar{x}+y$ и $x+y$). (Относительно сумм с недостатком и сумм с избытком мы считаем, что уже уменьшен их определять.) Таким образом, принцип очередности и простоты приводит нас к такому определению суммы двух чисел:

$$x+y = \{(x|+y) \cup (x+y)\}.$$

(напомним, что элемент $\{A:B\}$, где $A < B$, существует и определяется однозначно).

Формула (4) является строгим выражением принципа Конвеля для суммы чисел. Для определения сложения к ней нужно еще присоединить наальные условия — формулу (1). На самом деле доказать ее нельзя — она является частью определения. С помощью формул (4) и (1) можно вычислить сумму любых $K$-чисел.

6

Теперь мы можем проверить, что в нашей модели выполняются аксиммы сложения (см. с. 9).

Проверим, например, что сложение, определяенное формулой (4), коммутативно.

В самом деле, возьмем первые два числа, для которых сложение некоммутативно *). Их сумма — это самое раннее число, отделящее суммы с недостатком от сумм с избытком. Суммы с недостатком и суммы с избытком были коммутативными (по предположению). Значит, и самое раннее число, которое их разделяет, тоже не зависит от порядка сложения — мы разделаем один и тот же набор множества и в общих случаях берем самое раннее число из разделющих (а оно определяется единственным образом—см. основную лемму). Значит, и сумма наших двух чисел не зависит от их порядка, вопроси предположению. Значит, сложение коммутативно.

В выполнения аксиммы С3 мы фактически убедились раныше. Аксимма С1 проверяется сложнее, чем аксимма C2; подумайте, как.

Найдем теперь сумму ↑+↓. Заметим, что ↑| и ↓| — пустые множества. Поэтому ответом должно быть самое раннее число, большее ↓ (поскольку ↑|={0}) и меньше ↑ (поскольку ↓={0}). Таким числом является 0.

Итак, ↑+↓=0 и ↓ является противоположным (в смысле аксиммы C4) элементом для ↑.

Обозначим через ↑n и через ↓n К-числа, состоящие из n подряд идущих соответствующих символов.

Задачи

1. Докажите, что ↑n + ↑m = ↑n+m, ↓n + ↓m = ↓n+m.
2. Докажите, что
   $$\begin{align*} \hat{n} + \hat{m} &= \begin{cases} \hat{n}-m, если n > m; \\ 0, если n = m; \\ \hat{m}-n, если n < m. \end{cases} \end{align*}$$

Из этих задач следует, что число ↑n можно отложить с обычным натуральным числом n*), а число ↓n — с противоположным числом (-n). Таким образом, числа Конверя содержат все общие целые числа!

Задача 3. Докажите, что если у данного K-числа все ↑заменить ↓, а все ↓— на ↑, то получится число, ему противоположное. (Например, ↑↑↓↓↓↓=0.)

Из задачи 3 вытекает, что в модели Конверя выполняется аксимма C4.

Есть ли доби?

Возьмем число ↑↓. Попробуем сложить его с самим собой. Что можно сказать о сумме ↑↓+↑↓? Она должна быть меньше, чем сумма ↑↓+↑, и больше, чем число ↑↓. Ночем равна сумма ↑↓+↑, мы не знаем. Мы нарушили наш главный принцип: двигататься от более ранних чисел к более поздним. Придется (никуда не денежся!) сосчитать сначала сумму ↑↓+↑.

Это число меньше, чем число ↑+↑=↑↑ (поскольку ↑|={↑}), и больше, чем число ↑+0=↑ (поскольку ↑|={0}), причем оно — самое раннее такое число. Самое раннее число, заключенное между ↑ и ↑↑, — это число ↑↑↓; поэтому ↑↑↓=↑↑↓.

Вернемся к сумме ↑↓+↑↓. Теперь мы знаем, что она заключена между чисlami ↑↓ и ↑↑↓. Самое раннее такое число — это ↑ (убедитесь в этом!).

Итак, в K-арфметике число ↑↓ играет роль «половинки». Аналогично установливается, что ↑↑↓ среди K-чисел — то же самое, что общное число $\frac{3}{2}$ среди действительных чисел.

Задачи
4. Найните суммы ↑↓↓+↑↓↓; ↑↓↓+↑↓↓; ↑↓↓+↑↓↓.
5. Каким обычно числом соответствует также K-числа:
a) ↑↓↓, ↑↓↓, ↑↑↓, ↑↑↑, ↑↑↑, ↑↑↑
b) ↓↑, ↓↑↑, ↓↑↑;
b) вообщше числа вида
$$\begin{align*} n \text{ «цр»} m \text{ «down»} \end{align*}$$

*) Если принять за единицу; ↑ действительно выполняет роль единицы в.arфметике Конверя, однако мы не смогем в этом убедиться, поскольку недаем в этой стране определения умножения.

7

Мы подскажем от в в задаче 5:
К-число ↑↓↓ — это то же самое, что $\frac{1}{4}$ в R, К-число ↑↓↑ — то же, что $\frac{3}{4}$, ↑↓↓ — это $\frac{1}{8}$, ↑↓↓ — это $\frac{3}{8}$, и т. д.

Задачи 4 и 5 позволяют дога-даться, каким обычно действительными числами соответствуют все вообщеские конечные наборы ↑ и ↓. Это — так называемые двойно-рациональные числа (то есть рациональные числа, знаменатель которых является степень двойки). Попробуйте доказать это утверждение.

Что же дальше?

Итак, мы выяснили, что среди К-чисел есть все обычные целые числа (это — либо конечные наборы одних только ↑, либо одних только ↓), а также все другие двойно-рациональные числа (им соответствует всевозможные конечные наборы, среди которых имеются комбинации ↑↓ или ↑↑).

Если К-числа изображать в виде «дерева» так, как на рисунке 3, то целые К-числа оказывается «по краям» этого дерева, а двойно-рациональные — внутри него.

А как же быть с остальным числами? Ведь мы обещали, что среди К-чисел оказывается все действительные числа, а пока неясно даже, как быть с рациональными числами, знаменатель которых не есть степени двойки. Все дело здесь в том, что мы пока не видим множество К-чисел целиком: мы ведь ограничились расстоянием лишь конечных наборов «цр» — «down», определяли для них сложение и научились решать простые задачи (на уровне 2—3 класса школи). А надо бы еще определить умножение, а вместе с тем и выяснить вопрос о существовании обратного элемента для любого отличного от нуля К-числа (см. аксиomy Y4). И вот оказавается, что уже для определения

9

не изменилось. Однако это не так: новый символ ↑ следует за всеми предыдущими (рис. 4!) Позтому ↑ и ↑— разные K-числа.
Задача 9. Что изобрадает запись ↑↓?
Ответ: $\omega$ ↑. Указание: вычислите сумму ↑↓↑.

Среди чисел «более длинных, чем бесконечные», встречаются довольно замысловые. Попробуйте, например, угадать, какая из записей в правой половине круга на рисунке 5 соответствует K-числом, стоящим в левой половине.

Если вас занитересовала аргумента K-чисел и вы хотите бы узнать о ней пользовше, напишите нам.

Приложение

I. Аксиомы сложения.
Для любых двух элементов $a \in R$, $b \in R$ определяем сумма $a+b \in R$, причем:
C1. $(a+b)+c=a+(b+c)$ (ассоциативность).
C2. $a+b=b+a$ (коммутиативность).
C3. Существует такой элемент 0, что для любых $a \in R$ выполняется соответствие $a+0=a$ (существование нуля).
C4. Для каждого элемента $a \in R$ существует такой элемент $(-a) \in R$, что $a+(-a)=0$ (существование произвольного элемента).
II. Аксиомы умножения.
Для любых двух элементов $a \in R$, $b \in R$ определяем произведение $a \cdot b \in R$, так что:
Y1. $(ab)c=a(bc)$ (ассоциативность).
Y2. $ab=ba$ (коммутиативность).
Y3. Существует такой элемент 1, что для любых $a \in R$ имеем место равенство $a \cdot 1=a$ (существование единицы).

У4. Для каждого элемента $a \in R$, отличное от нуля, существует такой элемент $a^{-1} \in R$, что $a \cdot a^{-1}=1$ (существование обратного элемента).

III. Аксиома, установливая связь сложения с умножением.
С—У. $a(b+c)=ab+ac$ (дистрибутивность).

Множество с определенными на нем операциями сложения и умножения, обладащими перечисленными свойствами, математики называют полем (см. «Квант», 1977, № 5, с. 45).

IV. Аксиомы порядка.
П1. Для каждого элемента $a \in R$ имеем место равно из соответствий $a>0$, $a=0$, $0>a$.

П2. Если $a>0$ и $b>0$, то $a+b>0$ и $ab>0$.

По определению полагают, что $a>b$ тогда и только тогда, когда $a-b>0$.

Поле, в котором выполены аксиомы П1 и П2 и относение порядка > определено формулой $a>b \Rightarrow a-b>0$, называется упорядоченным полем.

Последняя группа аксиом, определяющих действияные числа, состоит всего из одной аксиомы совсем иной природы.

V. Аксиома полотты.
Непустое множество действительных чисел, ограниченное сверхю грань.

Это означает, что если для непустого множества $A \subset R$ существует элемент, который больше (или равен) всех элементов этого множества, то среди таких элементов есть наиболееный.

Упорядоченное поле, для которого выполняется аксиом полотты, называется полным упорядоченным полем.

Доказано, что перечисленные 12 аксиом определяют множество действительных чисел однозначно. Таким образом, действительные числа — это единственное полное упорядоченное поле. К-числа не удовлетворяют последней аксиоме.