Logic từ A đến G

18

P. Halmoi

Logic từ A đến G

Первоначально «логика» ознакомлено то же, что «законы мышления». Các nhà logic học nghiên cứu khoa học này với hy vọng rằng họ có thể tìm ra những cách suy nghĩ tốt hơn và những cách tránh sai lầm đáng tin cậy hơn những gì mà tổ tiên họ đã biết. Nếu bạn muốn, bạn có thể muốn tìm hiểu thêm về nó. Tôi nghĩ bạn không nên làm điều đó nữa.

Перевод с английского Л. Савиной статьи và Tạp chí Toán học, т. 50 (1977), № 1, с. 5-11.

Một người bình thường, khỏe mạnh biết tất cả các “quy luật tư duy” từng được phát minh ra và không có điều gì mà các nhà logic học có thể dạy anh ta về tư duy và cách tránh sai lầm. Điều này không có nghĩa là một người biết mình nghĩ như thế nào và không có nghĩa là người đó không bao giờ mắc sai lầm. Điều tương tự cũng áp dụng cho các cơ quan vận động mà tất cả những người bình thường, khỏe mạnh đều được sinh ra. Không, không, không, không có gì cả. Đôi khi tôi vấp ngã. Các quy luật đi bộ có thể được các nhà sinh lý học và vật lý học quan tâm, nhưng tất cả những gì tôi muốn là tiếp tục đi bộ.

Chủ đề logic toán học là chủ đề của bài viết này không có mục đích khám phá các quy luật tư duy và dạy chúng. Điều này trước

nách
Ngữ pháp

20

bạn có thể làm điều đó với bạn và không bao giờ. (Nhân tiện, bây giờ chúng ta đã đến phần đầu của bảng chữ cái: chữ A trong tiêu đề “Logic từ A đến Γ” tất nhiên là viết tắt của Aristotle.) Các chữ viết tắt sau đây được sử dụng cho chúng: ∀ và ∃. Để minh họa việc sử dụng các ký hiệu này, hãy xem xét câu “Ai do dự sẽ thua cuộc.”* Trong ngôn ngữ toán học sư phạm, có thể nói như sau: “Với mọi X, nếu X do dự thì X bị thua”. Sử dụng K(X) và Π(X) làm cách viết tắt cho “X lắc lư” và “X biến mất”, chúng ta có thể viết (∀ X) (K(X) ⇒ Π(X)).

Nếu chúng ta nghi ngờ tuyên bố này, nghĩa là, nếu chúng ta có xu hướng tin rằng nó hoàn toàn có thể dao động mà không bị phá hủy sau đó, thì chúng ta có thể biểu thị sự hoài nghi của mình dưới dạng (∃ X) (K(X) & (∏ Π(X)).

Một phần quan trọng trong cách rút gọn của Aristotle là việc sử dụng các ký hiệu bổ sung như ký hiệu X ở trên. Những ký hiệu như vậy đóng vai trò đại từ trong ngôn ngữ logic. Hãy nhớ lại rằng trong ví dụ trên, X đã thay thế từ “anh ấy”. Các ký hiệu được sử dụng theo cách này được gọi là các biến riêng lẻ. Nhân vật lịch sử tiếp theo đáng được nhắc đến là người đầu tiên quyết định sử dụng chúng. Tên anh ấy là Frege, và anh ấy cũng sống ở thế kỷ 19. Ngày nay chúng ta đánh giá cao ông vì điều ông đã nhấn mạnh: một biến, tức là một đại từ, là một công cụ tồi cho hầu hết các mục đích khoa học và toán học. Ví dụ: nếu chúng ta muốn diễn đạt một tuyên bố rất khiêm tốn rằng có nhiều hơn hai số, nghĩa là có ít nhất ba số khác nhau, chúng ta có thể làm như sau:

(∀ X) (∃ X’) (∃ X’’) (∃ X’’’) (∃ X’’’’)
(X = (X’ × X’) + ((X’’ × X’’’) +

• ((X’’’’ × X’’’’’) + (X’’’’’ × X’’’’’’)))).

Trên thực tế, bạn có thể tiết kiệm được một số tiền; một số biểu tượng có thể dễ dàng và tự nhiên

*) Bản dịch nghĩa đen của câu nói tiếng Anh của chúng tôi “Trì hoãn giống như cái chết”. (Lưu ý mỗi.)

Rõ ràng là cần ít nhất ba biến cho mục đích này. Để nói rằng có hơn mười số, bạn cần ít nhất mười một biến. Để tiếp tục bất kỳ số lượng phép tính không hề nhỏ nào, cần phải có một nguồn cung cấp biến số vô hạn (ít nhất là có thể). Một cách hiệu quả để tạo ra nguồn cung cấp như vậy (các bảng chữ cái thường có số lượng chữ cái quá hữu hạn) là sử dụng một chữ cái, chẳng hạn như X, và một ký hiệu bổ sung, chẳng hạn như shtirix. Và sau đó sử dụng các ký hiệu làm biến
X, X’, X’’’, X’’’’’, X’’’’’,…

Ngoài các ký hiệu mà tôi đã đề cập cho đến nay, còn có hai ký hiệu nữa mà tôi đã sử dụng và tính đặc thù không bị hạn chế buộc tôi phải thêm chúng vào danh sách của mình. Các ký hiệu tôi nghĩ đến là dấu ngoặc đơn trái và phải: tất nhiên chúng được chỉ định như thế này:
(
Và
)

Có bao nhiêu ký tự?
Hóa ra là rất nhiều phép toán, cụ thể là tất cả các đối số, có thể được biểu diễn bằng các ký hiệu mà tôi đã liệt kê cho đến nay. Ví dụ, định lý nổi tiếng của Euler*): mọi số nguyên dương là tổng của bốn bình phương - có thể viết như sau:
(∀ X) (∃ X’) (∃ X’’) (∃ X’’’) (∃ X’’’’)
(X = (X’ × X’) + ((X’’ × X’’’) +

• ((X’’’’ × X’’’’’) + (X’’’’’ × X’’’’’’)))).

Trên thực tế, bạn có thể tiết kiệm được một số tiền; một số biểu tượng có thể dễ dàng và tự nhiên

*) Trong văn học toán học Nga nó được gọi là định lý Lagrange. (Ghi chú của biên tập viên)

21

xác định thông qua người khác. Danh sách của chúng tôi có thể dễ dàng được rút gọn thành các thể loại, cụ thể là:

$$\& + \times 0 \exists X' = ()$$

Để nhận lại $V$, hãy lưu ý rằng $P \vee Q$ không gì khác hơn $(\cap P \& \cap Q)$. Để nhận được $\Rightarrow$, hãy lưu ý rằng $P \Rightarrow Q$ giống với $(\vee X) P(X)$. Để nhận được $\vee$, hãy lưu ý rằng $(\exists X) (\cap P(X))$. Vì vậy, nói một cách dễ hiểu, nói “Mọi người đều ghét rau bina” có nghĩa tương tự như việc phủ nhận rằng có ai thích nó. Về nguyên tắc, những cách viết tắt như vậy có một số lợi thế về mặt kỹ thuật, nhưng việc cam kết thực hiện chúng trong thực tế sẽ chẳng ích gì. Bất cứ khi nào thuận tiện, tôi sẽ sử dụng $V$, $\Rightarrow$ và thậm chí tôi sẽ sử dụng $Y, Z, U, V$, v.v. làm biến. Để xác định những sai lệch này so với các quy tắc của chúng tôi, chỉ cần thay thế $V$, $\Rightarrow$, $\vee$, v.v. bằng định nghĩa của chúng, đồng thời thay thế $Y, Z, U, V$, v.v. bằng $X', X''', X''''$, v.v.

Hãy đưa ra một vài bình luận thú vị. Thứ nhất, mọi thứ chúng ta làm đối với số học sơ cấp đều có thể được thực hiện với thành công như nhau đối với tất cả các ngành toán học hiện có. Bộ máy kỹ thuật, tức là biểu tượng và các quy tắc chi phối nó, thậm chí sẽ không trở nên phức tạp hơn: điểm khác biệt duy nhất là chúng ta sẽ phải suy nghĩ nhiều hơn một chút. Nhưng rõ ràng đây là điều không mong muốn, vì thế tôi sẽ giới hạn bản thân mình ở môn số học sơ cấp. Thứ hai, không có gì kỳ diệu về con số “mười hai”. Một tá ký hiệu là đủ cho số học và trên thực tế, cho tất cả toán học (mặc dù trong trường hợp này chúng ta có thể phải tìm thêm một tá ký hiệu khác). Hơn nữa, sau khi điều trị được những tình trạng nhỏ, bạn có thể vượt qua bằng những phương tiện ít ỏi hơn. Kết quả tốt nhất có thể mà bạn có thể hy vọng ở những nơi tuyệt vời nhất hóa ra lại đúng, cụ thể là chỉ cần hai ký hiệu là đủ *). Vượt qua những người khác. Danh sách của chúng tôi có thể dễ dàng được rút gọn thành các thể loại, cụ thể là:

$$\& + \times 0 \exists X' = ()$$

Để nhận lại $V$, hãy lưu ý rằng $P \vee Q$ không gì khác hơn $(\cap P \& \cap Q)$. Để nhận được $\Rightarrow$, hãy lưu ý rằng $P \Rightarrow Q$ giống với $(\vee X) P(X)$. Để nhận được $\vee$, hãy lưu ý rằng $(\exists X) (\cap P(X))$. Vì vậy, nói một cách dễ hiểu, nói “Mọi người đều ghét rau bina” có nghĩa tương tự như việc phủ nhận rằng có ai thích nó. Về nguyên tắc, những cách viết tắt như vậy có một số lợi thế về mặt kỹ thuật, nhưng việc cam kết thực hiện chúng trong thực tế sẽ chẳng ích gì. Bất cứ khi nào thuận tiện, tôi sẽ sử dụng $V$, $\Rightarrow$ và thậm chí tôi sẽ sử dụng $Y, Z, U, V$, v.v. làm biến. Để xác định những sai lệch này so với các quy tắc của chúng tôi, chỉ cần thay thế $V$, $\Rightarrow$, $\vee$, v.v. bằng định nghĩa của chúng, đồng thời thay thế $Y, Z, U, V$, v.v. bằng $X', X''', X''''$, v.v.

Hãy đưa ra một vài bình luận thú vị. Đầu tiên, mọi thứ chúng ta làm đối với số học sơ cấp, đều có cùng một SỰ THÀNH CÔNG cho tất cả môn toán (mặc dù trong trường hợp này chúng ta có thể phải tìm thêm một tá nữa). Hơn nữa, sau khi điều trị được những tình trạng nhỏ, bạn có thể vượt qua bằng những phương tiện ít ỏi hơn. Kết quả tốt nhất có thể, mà bạn có thể hy vọng ở những nơi tuyệt vời nhất, hóa ra lại đúng, cụ thể là chỉ cần thay thế $V$, $\Rightarrow$, $\vee$, v.v. bằng định nghĩa của chúng và cũng có thể thay thế $Y, Z, U, V$, v.v. bằng $X', X''', X''''$, v.v.

Toán học cơ khí

Bây giờ chúng ta hãy tiến hành tạo ra nhà toán học cơ học, người sẽ kết thúc tất cả các nhà toán học. Giá trị của cỗ máy tưởng tượng này hoàn toàn là suy đoán; chúng tôi không khẳng định rằng việc tạo ra một nhà toán học cơ học sẽ mang lại bất kỳ lợi ích thực tế nào. Anh ta sẽ không bao giờ có thể thay thế được một nhà toán học còn sống.

Hãy bắt đầu xây dựng chiếc xe. Để làm được điều này, chúng ta sẽ cần một dải ruy băng dành cho máy đánh chữ, một bàn phím (mỗi bàn phím chứa một trong những ký hiệu chính) và một cuộn giấy in có thể dài vô tận. Ý tưởng đằng sau chiếc máy này là khi nhấn nút khởi động, máy sẽ in mọi thứ nó có thể in. Một cách để lập trình điều này là sắp xếp thần đèn các ký tự theo thứ tự ngẫu nhiên (gọi theo thứ tự bảng chữ cái) rồi dùng máy gợi ý in 12 ký tự (“chữ cái”) đầu tiên của bảng chữ cái, sau đó in 144 “từ” gồm hai chữ cái, sau đó là 1728 “từ” gồm ba chữ cái, v.v. Một chiếc máy được thiết kế theo cách này sẽ in rất nhiều thứ vô nghĩa, chẳng hạn như:

$$= = = ((0 + ')$$

và rất nhiều lời nói dối, chẳng hạn

$$(\exists X) ((0 \times X) = 1)$$

nhưng sớm hay muộn nó sẽ in bất kỳ câu lệnh số học nào.

Chúng tôi yêu cầu tuân thủ ngữ pháp

Để làm cho cỗ máy giống một nhà toán học bằng xương bằng thịt sống hơn, chúng ta phải hạn chế mọi thứ để cỗ máy không bao giờ đưa ra bất kỳ điều vô nghĩa thực sự nào, mặc dù hiện tại chúng ta cho phép nó nói dối.

23

ry cô ấy phải bắt đầu. Chúng ta sẽ gọi những câu này là axums. Một lần nữa, ở đây tôi không chỉ ra chính xác những câu nào sẽ là tiên đề của số học, nhưng tôi sẽ đưa ra một vài ví dụ. (Định nghĩa đầy đủ về khái niệm “axium” trong số học cơ bản không dài hoặc phức tạp lắm. Đây đơn giản không phải là lúc hoặc địa điểm để thảo luận về các chi tiết kỹ thuật.) Được rồi: một cái máy có thể được dạy rằng bất cứ khi nào P và Q là câu, thì câu đó

$$P \Rightarrow P \lor Q$$

phải được in bằng mực đỏ. Ý tưởng là mỗi câu như vậy nên được coi là một tiên đề. Tương tự, chúng ta có thể nói rằng nếu $P(X)$ và $Q(X)$ là cụm từ (nội dung của đại từ treo lủng lẳng X, nhưng không có nội dung nào khác), thì câu

$$(\exists X)(P(X) \lor Q(X)) \Rightarrow (\exists X)P(X) \lor (\exists X)Q(X)$$

nên in màu đỏ. Ví dụ cuối cùng: một câu như $(\forall X)(\forall Y)(X+Y=Y+X)$, (C)

có thể là một tiên đề của số học cơ bản. (Ví dụ giải thích: (A) Nếu thời tiết đẹp thì có nghĩa là mặt trời đang chiếu sáng, hoặc thời tiết đẹp, hoặc cả hai. (B) Nếu ai đó thích rau bina hoặc bắp cải, thì ai đó thích rau bina hoặc ai đó thích bắp cải. (C) $2+3=3+2$.

Bản chất của vấn đề ở đây là: từ tất cả các câu, theo một cách thông minh và có hệ thống nào đó, một nhóm câu nhất định được chọn để máy có thể in và máy được lệnh in những câu đặc biệt này bằng màu đỏ. Các câu in màu đỏ gọi là trục máy.

Hãy lập trình thủ tục

Ở trên tôi đã nói rằng không ai có thể chứng minh một điều gì đó từ con số không, vì lý do này mà tôi đã đưa ra cho nhà toán học cơ học một số đề xuất ban đầu. Nhưng cũng đúng là không ai có thể chứng minh được điều gì bằng cách in ra những câu chữ đen đỏ, và nếu những câu axum được chọn theo ý muốn của một đấng thông minh thì những câu in màu đỏ (những câu axums) sẽ đúng. Tuy nhiên, máy có thể in ra rất nhiều câu sai và vẫn không có khả năng tạo ra câu mới đúng từ câu cũ.

Bây giờ quá trình học máy đã có sẵn. Ở giai đoạn này, máy phải học cách nhận biết một số tổ hợp câu nhất định và được khen thưởng cho điều này bằng cách được phép sử dụng nhiều mực in màu đỏ hơn. Danh sách chung các quy tắc thủ tục như vậy không dài; danh sách hai ví dụ về những quy tắc như vậy mà tôi sắp đưa ra thậm chí còn ngắn hơn. Quy tắc có thể có số 1: nếu $P$ là câu màu đỏ và nếu $P \Rightarrow Q$ là câu màu đỏ thì hãy đóng dấu $Q$ bằng màu đỏ. (Giải thích: Nếu “The sun is Shining” là một tiên đề hoặc đã được chứng minh, giống như câu “If the sun is Shining, then the Weather is bê”, thì chúng ta có thể coi đó là đã được chứng minh rằng “The Weather is bê”.) Quy tắc khả thi số 2: nếu một cụm từ không đầy đủ $P(X)$ chứa đại từ “treo” $X$ (và không có từ nào khác) thì câu $P(0)$ có màu đỏ ($P(0)$ là câu thu được từ $P(X)$ bằng cách thay 0 vào $X$), sau đó đóng dấu đỏ vào câu $(\exists X)P(X)$. (Giải thích: Nếu ghép 0 $X$ vào $(1+X)=1$, ta được $(1+0=1)$. Nếu câu này là một tiên đề hoặc đã được chứng minh, thì chúng ta có thể coi $(1+X=1$ đã được chứng minh cho một số $X$).)

Với sự bổ sung mới nhất này, cuối cùng chúng ta cũng có thể nghỉ ngơi trên vòng nguyệt quế của mình. Nếu muốn, chúng ta có thể thay đổi thiết kế bên trong của máy để nó không in được gì ngoài những dòng chữ màu đỏ. Khi nhấn nút, máy bắt đầu in trục và sử dụng các quy tắc quy trình để tiếp tục in

24

phát triển các định lý mà nó có thể rút ra từ những khía cạnh này. Máy có thể thực hiện việc này theo một thứ tự có hệ thống nào đó, chẳng hạn như theo thứ tự bảng chữ cái.

Thời kỳ vàng son đã đến. Toán học cơ khí đã hoàn thành. Nhấn nút và bạn có thể ngồi lại và ngồi lại. Các định lý số học cơ bản sẽ lần lượt xuất hiện trên băng. Nếu tiếp cận đủ lâu, sớm hay muộn bạn cũng sẽ trải qua hết những định lý trước mắt. Máy không nói không, cũng không nói không. Bạn sẽ cho rằng cỗ máy có phần nhàm chán, thường xuyên lặp lại những điều tương tự và hoạt động rất chậm theo quan điểm của con người. Nhưng đó không phải lỗi của cô ấy.

Có mâu thuẫn gì không?
Chúng tôi đã đưa vào máy mọi thứ mà chính chúng tôi đã tạo ra nó, biết về số học cơ bản. Hoạt động bên trong của máy là số học cơ bản. Lý thuyết về một cỗ máy như vậy, thiết kế của nó, các đặc tính cấu trúc của nó là một phần của một môn học khác, thường được gọi là siêu dữ liệu (hoặc, trong trường hợp của chúng tôi, siêu dữ liệu). Câu hỏi sau đây là một câu hỏi điển hình trong siêu hình học: “Liệu một chiếc máy có thể in ra cả mệnh đề $P$ và phủ định của nó $\neg P$?” Nếu cô ấy đã từng làm điều này, chúng tôi tin rằng chúng tôi sẽ bày tỏ sự không hài lòng với tình trạng này và nói rằng số học sơ cấp là mâu thuẫn. May mắn thay, trường hợp này không phải như vậy: số học không mâu thuẫn. Việc chứng minh điều này phụ thuộc vào một nghiên cứu rất tinh tế, không hề sơ đẳng về chiếc máy mà chúng ta đã mô tả. Học tập là “phi cơ bản” theo nhiều nghĩa của từ này. Theo nghĩa kỹ thuật nhất, vấn đề là việc chứng minh tính nhất quán của một chiếc máy không phải là một trong những định lý mà bản thân chiếc máy có thể chứng minh. Hãy lặp lại điều này theo cách khác: cỗ máy sẽ không tự mâu thuẫn với chính nó, nhưng nó không thể chứng minh được điều đó.

Mọi thứ có thể được chứng minh?

Một câu hỏi thú vị khác trong siêu hình học là: “Liệu một cỗ máy có hoàn chỉnh theo nghĩa là nó chứng minh hoặc xác minh mọi mệnh đề của số học cơ bản không?” Trên thực tế, tôi đã cho đáp số cho câu hỏi này, nhưng nó vẫn đáng được nhắc lại. Với tình hình hiện tại, trong mỗi thứ mà máy viết đều chứng minh điều đó. Nếu tôi quan tâm đến một câu số học cụ thể, tôi có thể viết câu này trên một tờ giấy và sau đó, sau khi bật máy, so sánh tất cả văn bản tiếp theo được máy in bằng mẫu đã chuẩn bị sẵn. Nếu tờ giấy ghi $P$ và nếu ở một giai đoạn nào đó máy cũng in $P$, thì tôi đã chiến thắng rút lui; tuyên bố của tôi $P$ đã được chứng minh. Nếu tờ giấy ghi $P$, nhưng ở một giai đoạn nào đó máy in ra $\neg P$, thì tôi đã chiến thắng bỏ đi: $P$ của tôi đã bị từ chối. Tuy nhiên, không phải có khả năng thứ ba ở đây sao? Chẳng lẽ máy không ghi $P$, và cũng không ghi $\neg P$? Phải chăng máy sẽ không bao giờ giải quyết được tranh chấp giữa $P$ và $\neg P$? Trên thực tế, có thể, và do đó kết thúc quá trình phân tích của chúng ta về máy số học, có những câu lệnh (và có rất nhiều trong số đó) mà máy sẽ không bao giờ giải quyết được. Bằng chứng này là nó cung cấp hướng dẫn đầy đủ để viết không