Bài toán M691—M695; F703—F707

19

Bài toán

M691—M695; F703—F707

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường hiện tại. bài toán khó nhất được đánh dấu hoa thị. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Bài toán trong số này đã được đưa ra tại vòng chung kết của Cuộc thi Olympic toàn liên bang dành cho học sinh. Số trong ngoặc đơn cho biết lớp mà bài toán được cung cấp. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 15 tháng 9 năm 1981 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka 21/16, tòa soạn tạp chí «Kvant». Trong cột “Tới”, viết: “Nhiệm vụ «Kvant» Số 7 - 81” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M691, M692” hoặc “F703”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải trong phong bì này). Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này.

M691. Chúng ta sẽ nói rằng một số có tính chất (K) nếu nó phân tích thành tích của K số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 1. a) Tìm một K sao cho một số N có cả hai tính chất (K) và (K+2).

6. Chứng minh rằng các số có cả hai tính chất (2) và (4) không tồn tại. (8)

V. Fedotov

M692. Điểm $C_1, A_1, B_1$ lần lượt được lấy trên các cạnh $AB, BC, CA$ của tam giác $ABC$ sao cho $|AC_1| : |C_1B| = |BA_1| : |A_1C| = |CB_1| : |B_1A| = 1:3.$

Chứng minh rằng chu vi $P$ của tam giác $ABC$ và chu vi $P_1$ của tam giác $A_1B_1C_1$ liên hệ với nhau bởi các bất đẳng thức a) $P_1 < \frac{3}{4}$ P; 6) $P_1 > \frac{1}{2}$ P. (8)

V. Turchaninov

M693. Ở một số trong 1000 cư dân cuối cùng. Mỗi ngày, mỗi người trong số họ chia sẻ những tin tức họ học được ngày hôm qua với tất cả bạn bè của mình. Được biết, mọi tin tức đều được mọi người dân trong làng biết đến. Chứng minh rằng bạn có thể chọn 90 cư dân sao cho nếu bạn cho họ biết một số tin tức cùng một lúc thì sau 10 ngày tất cả cư dân trong làng đều biết tin đó. (9)

N. Kartashov, A. Savin

M694. Mỗi đỉnh của hình lập phương chứa một số. Trong một bước, một số được cộng vào hai số được đặt trên một (bất kỳ) cạnh nào. Có thể làm cho tất cả tám số bằng nhau trong một số bước như vậy nếu các số đầu tiên được đặt như trong Hình 1 không? Giống như trong Hình 2? Giống như trong Hình 3? (9)

M695*. Có thể tô màu tất cả các ô của một bảng hình chữ nhật thành trắng và đen để có nhiều ô trắng và đen hơn không?

20

chính xác, nhưng trong mỗi hàng và mỗi cột có hơn 3/4 ô cùng màu? (10)

S. Konyagin

F703. Một tên lửa được phóng từ bề mặt Trái đất theo phương thẳng đứng lên trên với vận tốc thoát đầu tiên và quay trở lại Trái đất cách địa điểm phóng không xa. Cô ấy đã bay bao lâu rồi? Bán kính Trái đất là $R_3=6400$ km.
Lưu ý: Diện tích của hình elip có kết quả là $a$ và $b$ là $S=\pi ab$. (10)

E. Surkov

F704. Dọc theo hai mặt phẳng nghiêng nhẵn tạo thành các góc bằng nhau $\alpha$ với đường chân trời, một hình trụ và một hình nêm chuyển động chạm vào nhau (Hình 4). Tìm lực mà nêm ép lên hình trụ. Khối lượng của hình trụ là $m_1$, khối lượng của hình nêm là $m_2$. Bỏ qua phần thứ ba giữa hình trụ và hình nêm. (8)

S. Krotov

F705. Một bình cách điện hình trụ nằm ngang có thể tích $V_0=100$ l, chứa đầy gel, được chia thành hai phần bằng một pít-tông có thể chuyển động được, có thể chuyển động không ma sát. Khí nằm ở phía bên trái của bình có đại lượng cho biết $\Delta Q=100$ J. Tìm sự thay đổi áp suất trong bình khi pít-tông ngừng chuyển động. (9, 10)

A. Zilberman

F706. Để chuyển tải theo phương ngang trên khoảng cách $L=20$ m, người ta sử dụng xe đẩy tự hành di chuyển dọc theo đường ray ngang. Tải cần di chuyển được treo từ một sợi cáp có chiều dài $l=5$ m vào xe đẩy (Hình 5). Xe tăng lên một nửa với gia tốc bằng nhau và một nửa với gia tốc bằng nhau. Xác định khả năng các giá trị gia tốc của xe đẩy mà tại đó tải sẽ không chuyển động sau khi xe dừng ở cuối hành trình. (10)

V. Mozhaev

F707. Ống kính điện thoại Gale có đường kính $D=250$ cm và tiêu cự $F=160$ m. Kính thiên văn được sử dụng để chụp ảnh một vệ tinh nhân tạo của Trái đất, có đường kính $d=200$ cm và nằm ở khoảng cách $L=320$ km.

1. Tấm nhựa chụp ảnh nên được đặt ở khoảng cách bao nhiêu so với tiêu điểm?
2. Hình ảnh của vệ tinh nhân tạo sẽ có kích thước như thế nào?
3. Đường kính của hình ảnh ngôi sao được đặt (không tập trung) trong bức ảnh sẽ là bao nhiêu? (10)

S. Kozel