Viện kỹ sư trắc địa, chụp ảnh trên không và bản đồ Moscow

47

Vật lý
Bài thi vấn đáp

1. Một vật được ném thẳng đứng lên trên sẽ rơi xuống đất sau thời gian $t = 3$ s. Vận tốc ban đầu của vật là bao nhiêu? Chiều cao tối đa mà cơ thể đã đạt được là bao nhiêu? Bỏ qua sức cản của không khí.

2. Một chiếc xe chở cát lăn với tốc độ $|\vec{v}_1| = 1$ m/s trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát. Một quả bóng có khối lượng $m = 2$ kg bay về phía xe với tốc độ nằm ngang $|\vec{v}_2| = 7$ m/s. Sau khi gặp xe, quả bóng bị kẹt trong cát. Xe sẽ chuyển động với vận tốc và hướng nào sau khi gặp quả bóng? Trọng lượng xe đẩy $M = 10$ kg.

3. Một điện tích âm được đặt ở giữa hai điện tích dương chính xác $q_1 = q_2 = q = 2 \times 10^{-10}$ Cl. Độ lớn của điện tích này là bao nhiêu nếu hệ thống ở trạng thái cân bằng?

4. Một quả bóng có khối lượng $m = 10^{-3}$ kg chuyển động từ điểm $A$ có điện thế $\varphi_1 = 600$ V đến điểm $B$, có điện thế là $\varphi_2 = 0$. Xác định tốc độ của quả bóng tại điểm $A$ nếu tại điểm $B$ tốc độ của nó là $|\vec{v}| = 0,2$ m/s. Phí bóng $q = 10^{-8}$ Cl.

A. Nazaretov, G. Tkachev, G. Shadrin

Viện kỹ sư trắc địa, chụp ảnh trên không và bản đồ Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Kỹ thuật Thiết bị Quang học)

1. Giải phương trình
   $$\frac{3(x-2) + 4\sqrt{2x^2-3x+1}}{2(x^2-1)} = 1.$$

2. Tìm miền xác định của hàm
   $$\log_{x+0,5}\frac{x^2+2x-3}{4x^2-4x-3}.$$

3. Chứng minh rằng $\triangle ABC$ có các đỉnh nằm tại các điểm $A(1; 0; 1)$, $B(1; 1; 0)$ và $C(1; 1; 1)$ là thẳng. Tìm khoảng cách từ gốc hệ tọa độ đến tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác này.

4. Giải phương trình
   $$\frac{1+\mathrm{tg} x}{1-\mathrm{tg} x} = (\sin x + \cos x)^2.$$

5. Tìm diện tích của hình được giới hạn bởi các đường $y = 2x^2 + 1$, $y = x + 2$ và $y = 1,5$.

Tùy chọn 2
(khoa trắc địa)

1. Giải phương trình
   $$3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x = 5 \cdot 36^x.$$

2. Tìm miền xác định của hàm
   $$y = \log_{100x}\frac{2\lg x + 2}{-x}.$$

3. Các vectơ đã cho là $\vec{a}(1; 1; -1)$, $\vec{b}(5; -3; -3)$ và $\vec{c}(3; -1; 2)$. Tìm vectơ, vectơ thẳng hàng $\vec{c}$, có độ dài bằng độ dài của vectơ $\vec{a} + \vec{b}$.

4. Giải phương trình
   $(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2 = 1 - \cos 2x.$

5. Xét tính đơn điệu của hàm số
   $$y = \frac{x^2-2}{2x+3}.$$

Tùy chọn 3
(Khoa ảnh trắc địa và bản đồ)

1. Giải phương trình
   $$-\frac{1}{3}\lg 0,001 + \lg 3\sqrt{27} + 3\sqrt{2x} = 2.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$x < \sqrt{3}-2x.$$

3. Giải phương trình
   $$\frac{1}{\cos x} = \sin x + \cos x.$$

4. Với $x$ và $y$ thì vectơ $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + 2\vec{k}$ trực giao với vectơ $\vec{b} = \vec{i} - \vec{j} + \vec{k}$ và tích bên trong của $\vec{a}$ nhân $\vec{c} = \vec{i} + 2\vec{j}$ bằng bốn?

5. Tìm diện tích của hình được giới hạn bởi các đường $y = \frac{4}{x}$, $y = 0$, $x = 2$ và $x = 4$.

N. Bolotina,
I. Zhurkin

Viện thép và hợp kim Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Kỹ thuật Thiết bị Quang học)

1. Giải bất đẳng thức
   $$\log \frac{1}{3}\frac{x+1}{2x-5} \ge 0.$$

2. Giải phương trình
   $$\sqrt{3y^2+6y+16} + \sqrt{y^2+2y} = 2\sqrt{y^2+2y+4}.$$

3. Góc phẳng ở đỉnh của hình chóp lục giác đều bằng góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy. Tìm góc này.

48

4. Bốn điểm $A, B, C$ và $D$ theo thứ tự đó nằm trên parabol $y = ax^2 + bx + c$. Tọa độ của điểm $A, B$ và $D$ đã biết: $A(-2; 3), B(-1; 1), D(2; 7)$. Xác định tọa độ điểm $C$ khi diện tích tứ giác $ABCD$ lớn nhất.

5. Tìm tất cả các giá trị của $x$ và $y$ thỏa mãn phương trình
   $$12 \sin x + 5 \cos x = 2y^2 - 8y + 21.$$

Tùy chọn 2
(Khoa Vật liệu và Thiết bị Bán dẫn)

1. Giải phương trình
   $$\sqrt{17+x} - \sqrt{17-x} = 2.$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$x + \log_2(12 - 2^x) \geq 5.$$
3. Một chuyến tàu chở khách rời thành phố $A$ để đến thành phố $B$. Cùng lúc đó, một đoàn tàu chở hàng đã rời đi $B$ với giá $A$. Tốc độ của mỗi đoàn tàu dọc theo toàn bộ tuyến đường là không đổi. Sau 2 giờ kể từ lúc hai xe gặp nhau, khoảng cách giữa hai xe là 280km. Tàu khách đến nơi muộn hơn 9 giờ, tàu hàng đến đích sau 16 giờ. Xác định thời gian đi của mỗi chuyến tàu.
4. Trong tam giác $ABC$, điểm $H$ là giao điểm của các đường cao. Được biết, $\overrightarrow{AB} = (6; -2), \overrightarrow{AC} = (3; 4)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AH}$.
5. Với giá trị nào của $a$ thì hàm
   $$y(x) = (1+a)x + 2 \sin \frac{x}{2} - (8a+4) \sin \frac{x}{4} + \frac{a\pi}{2}$$
   có bốn cực trị trên khoảng $x \in ]-5\pi; 11\pi[$?
   Tùy chọn 3
   (Khoa Luyện kim kim loại màu và kim loại hiếm và hợp kim)
6. Đơn giản hóa một biểu thức
   $$\left( \frac{m\sqrt{m} + n\sqrt{n}}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} - \sqrt{m \cdot n} \right) \cdot \left( \frac{m-n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} \right)^{-2}.$$
7. Giải phương trình
   $$\sqrt{x+7} - x+3 = 0.$$
8. Giải quyết hệ thống
   $$\begin{cases} \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = 1 - \sin x \\ \left| \frac{x}{2} - \frac{\pi}{2} \right| \leq \frac{3\pi}{4}. \end{cases}$$
9. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{1}{6} \log_2(5^x - 4) + \frac{1}{2} \log_{5x-4} 2 < \frac{\log_3\sqrt{2} \sqrt{4}}{\log_9 729}.$$
10. Thể tích của đường tam giác $ABCA'B'C'$ bằng 3. Xác định tọa độ của đỉnh $A'$ nếu biết tọa độ các đỉnh của một trong các đáy của đường thẳng: $A(1; 0; 1), B(2; 0; 0), C(0; 1; 0)$.

Tùy chọn 4
(Khoa Công nghệ)

1. Giải bất đẳng thức
   $$(0,4)^x - (2,5)^{x+1} > 1,5.$$
2. Giải phương trình
   $$\sin^4 x - \cos^4 x = \cos \left( \frac{3\pi}{2} - x \right).$$
3. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \log_2 x - \log_4 y = \log_4(4-x) \\ \log_3 (x+y) = \log_3 \frac{y}{x}. \end{cases}$$
4. Parabol $y = x^2 + px + q$ cắt đường $y = 2x - 3$ tại điểm với hoành độ 1. Tại $p$ và $q$ khoảng cách từ đỉnh của parabol đến trục $Ox$ là nhỏ nhất? Tìm khoảng cách này.
5. Tìm diện tích của một hình tam giác nếu độ dài hai cạnh tương ứng của nó là 1 cm và $\sqrt{15}$ cm, và độ dài trung tuyến của cạnh thứ ba là 2 cm.

Tùy chọn 5
(Khoa Luyện kim loại đen và hợp kim)

1. Giải phương trình
   $$2 \cos^2 2x - \cos 2x - 1 = 0.$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_3 (8 - 3x - 2x^2) < -1.$$
3. Một quả bóng được ghi trong một paramid tứ giác đều. Khoảng cách từ tâm quả bóng đến đỉnh của paramid bằng $a$ và góc nghiêng của mặt bên với mặt phẳng của đế bằng $a$. Xác định tổng bề mặt của paramid.
4. Tính diện tích của hình được giới hạn bởi parabol $y = x^2 - 2x + 2$, tiếp tuyến của nó tại điểm $M(3; 5)$ và trục tọa độ. Thực hiện một bản vẽ.
5. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 2^y \cos x + 2^{-y} \sin x = \frac{3}{2} \\ 2^y \sin x - 2^{-y} \cos x = \frac{1}{2}. \end{cases}$$
   Vật lý
   Bài thi vấn đáp
   1 (Khoa luyện kim kim loại màu và hợp kim). Có bao nhiêu phân tử trong một bình có thể tích $V = 1$ cm$^3$ ở nhiệt độ $t = 10^\circ C$, nếu áp suất trong bình là $p = 10^{-11}$ mm Hg. Nghệ thuật.?
   2 (Khoa luyện kim kim loại màu và kim loại quý hiếm và hợp kim). Xác định chi phí để thu được $m = 12$ kg đồng trong quá trình điện phân $\mathrm{CuSO}_4$, nếu hiệu suất lắp đặt là $\eta = 80\%$, quá trình điện phân xảy ra ở điện áp $U = 10$ V, biểu giá $B = 2$ kopecks/(kWh), khối lượng mol của đồng $M = 63,5 \cdot 10^{-3}$ kg/mol.
   3 (Khoa Công nghệ). Một hòn đá được ném từ một đế với vận tốc $|\vec{v}_0| = 32,6$ m/s theo phương ngang. Tìm bán kính cong của quỹ đạo của hòn đá tại điểm mà nó sẽ là $\tau = 5$ s sau khi bắt đầu chuyển động. Bạn có thể vượt qua sức cản của không khí.
   4 (Khoa Vật lý và Hóa học). Một chùm electron, được gia tốc bởi hiệu điện thế $\Delta \varphi = 300$ V, bay vào một tụ điện phẳng nằm ngang song song với các bản của nó. Tìm hiệu điện thế $\Delta \varphi_1$ đặt vào các bản tụ nếu chùm tia lệch trên màn $h = 3,6$ cm. Chiều dài các bản tụ là $l = 4$ cm, khoảng cách từ đầu tụ đến màn hình là $l_1 = 10$ cm, khoảng cách giữa các tụ là $d = 1,2$ cm.