Các cuộc thi toán học tại Trường Vật lý và Toán học tại Đại học bang Leningrad

56

Các cuộc thi toán học tại Trường Vật lý và Toán học tại Đại học bang Leningrad

Olympic học đường

Tại trường nội trú Vật lý và Toán số 45, Đại học Leningrad, kỳ thi Olympic toán học cấp trường được tổ chức hàng ngày kể từ năm 1965.

Trong vòng đầu tiên của một kỳ thi Olympic như vậy, tám bài toán được đưa ra, năm trong số đó gần với các bài toán được giải trong lớp. 5 giờ được phân bổ cho lời giải bài toán của vòng đầu tiên.

Vòng thứ hai, trái ngược với vòng đầu tiên “viết” là “bằng miệng”. Tất nhiên, không ai buộc phải quyết định bài toán bằng miệng, kết quả một, “cuối cùng” lời giải bài toán không được người tham gia viết ra mà được thông báo cho hai thành viên ban giám khảo. Khi một người tham gia Olympic bắt đầu nói lời giải của mỗi bài toán, một dấu “—” được đặt bên cạnh họ của anh ta, mà theo biệt ngữ của ban giám khảo được gọi là “cách tiếp cận”. Nếu bài toán được giải đúng thì dấu “—” sẽ bị gạch ngang bằng một đường thẳng đứng. Nếu phát hiện sai sót ở lời giải, thì học sinh khi quay lại chỗ của mình có thể phải sửa lời giải của mình. Tùy thuộc vào việc bài toán được giải theo cách thứ nhất, thứ hai hay thứ ba, học sinh sẽ nhận được điểm “+”, “±” hoặc “†”. Theo quy định, không được phép có nhiều hơn ba cách tiếp cận trong một bài toán.

Hình thức tổ chức Thế vận hội này có những ưu điểm nhất định. Rốt cuộc, điều thường xảy ra là một học sinh nghĩ rằng mình đã giải được bài toán và đã viết sai lời giải, nên nó không bao giờ quay lại bài toán. Khi Olympic đến, người tham gia có cơ hội sửa lời giải sai để cuối cùng nó trở thành nhiều hơn lời giải bài toán đúng. Ngoài ra, cuộc thi Olympic miệng rất nhỏ gọn: kết quả của nó được tổng hợp một tiếng rưỡi sau khi kết thúc vòng thi.

Dưới đây là một số bài toán từ các kỳ thi Olympic của trường từ các năm khác nhau (số Olympic và số vòng được ghi trong ngoặc đơn).

1. Tìm tập hợp tâm các đường tròn bán kính 5 cắt một hình bán nguyệt bán kính 2 cho trước tại hai điểm khác nhau. (Tôi, 1).

2. Chứng minh rằng $\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{4} = \frac{1}{3} (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{20} - \sqrt[3]{25})$. (II, 1)

3. Từ điểm $A$, không nằm trên đường thẳng $l$, vẽ 9 đoạn, các đầu của chúng nằm trên $l$. Chứng minh rằng bằng cách di chuyển các đoạn này song song với chúng thì không thể tạo được đường thẳng thứ chín từ chúng. (III, 1)

4. Bốn ngôi làng nằm ở phía trên cùng của quảng trường với chiều dài 10 km. Người dân muốn kết nối các ngôi làng bằng hệ thống đường, nhưng vật liệu sẵn có của họ chỉ đủ để xây dựng 28 km đường. Họ nên làm gì? (IV, 2)

5. Bạn có thể xem thời gian bao nhiêu lần trong ngày bằng đồng hồ nếu bạn không biết kim nào là kim giờ và kim nào là kim phút? (V, 2)

6. Số tự nhiên nhỏ nhất là bội số của 225 có bao nhiêu chữ số và tổng các chữ số của nó bằng 225? (VI, 1)

7. Khoảng cách từ một điểm đến một hình là khoảng cách từ điểm này đến điểm gần nhất của hình đó. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều đường viền của hình vuông cho trước và đoạn thẳng nối hai cạnh đối diện của hình vuông đó. (VIII, 1)

8. Có hai chiếc đồng hồ tỏi cát. Phải mất 7 phút để đổ cát lên một cái và 11 phút vào cái khác. Đánh dấu 17 phút kể từ thời gian nhất định. (VIII, 1)

9. Có hàm số $f$ sao cho $D(f) = R$ và với bất kỳ số $a$ nào thì phương trình $f(x) = a$ có hai nghiệm bằng nhau không? (IX, 1)

10. Có hàm số $f$ sao cho $D(f) = R$ và với bất kỳ số nào $x$ $f(f(x)) = x^2 + 2$ không? (X, 2)

11. Sự khác biệt trực tiếp về các phân đoạn, mỗi phân đoạn có màu đỏ hoặc xanh lam (các đầu của phân đoạn được sơn cả hai màu). Chứng minh rằng có ít nhất một trong các màu sao cho trong số khoảng cách giữa các điểm thuộc màu này luôn có khoảng cách dương. (XI, 1)

12. $a$ và $b$ là các số tự nhiên. Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên $n$ sao cho các số $n$ và $n$ có tổng các chữ số bằng nhau. (XII, 2)

13. Mỗi cạnh của một tứ giác lồi được chia thành ba phần bằng nhau và các điểm phân chia nối nhau như hình vẽ. Chứng minh rằng $(PR) \parallel (AC)$ và $(QS) \parallel (BD)$. (XIII, 2)