Viện cơ khí ô tô Moscow

45

Bài 10. Trong tam giác vuông $ABC$, chiều cao $CD$ được vẽ từ đỉnh của góc vuông. Chu vi của hình tam giác $ACD$ và $CBD$ lần lượt là $P_1$ và $P_2$. Tìm chu vi của tam giác $ABC$.

Bài 11. Chứng minh bất đẳng thức

$$\sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{6}} + \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6}} < 5.$$

Bài 12. Chứng minh với mọi tam giác $ABC$
a) $\cos \hat{A} + \cos \hat{B} + \cos \hat{C} \leq \frac{3}{2}$;
b) $\cos 2\hat{A} + \cos 2\hat{B} + \cos 2\hat{C} \geq -\frac{3}{2}$.

Tùy chọn 2

1. Tìm diện tích của hình có đa giác $(x; y)$ thỏa mãn hệ bất đẳng thức
   $$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq r^2 (r > 0) \\ x - y \leq 0 \\ y \geq 0. \end{cases}$$

2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 4x = \left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot 1728 \\ \log_4 x = \frac{1}{2} - \log_4 y + \log_4^3. \end{cases}$$

3. Viết phương trình parabol đối xứng với parabol $y = \frac{x^2}{2} - 2$ đối với đường thẳng $x = 4$.

4. Tìm miền chức năng
   $$f(x) = \frac{\sqrt{2x-4}}{\sqrt[3]{x-1}-2}.$$

5. Đơn giản hóa một biểu thức
   $$\frac{\sin \alpha + \mathrm{tg} \alpha}{\mathrm{tg} \alpha} + 1 - \cos \alpha$$
   và tìm khả năng của giá trị $\alpha$.

Tùy chọn 3

1. Tìm diện tích của hình được giới hạn bởi các đường $x = 1, x = 2, y = 0, \log_2 x + \log_2 y = 0$.

2. Tìm phương trình ảnh của các parabol $y = x^2 + 2x + 2$ có giao điểm song song $\vec{p} = \vec{i} - \vec{j}$.

3. Cấp số biến phân $(a_n)$ được gọi là $a_8 = 11,2$ và $a_{15} = 19,6$. Số số hạng của tiến trình này nhỏ hơn 30 là bao nhiêu?

4. Tìm miền chức năng
   $$y(x) = \sqrt{\frac{3^x - 4^x}{2x^2 - x + 5}}.$$

5. Đơn giản hóa một biểu thức
   $$\frac{2 \sin \alpha + \sin 2\alpha}{2 \cos \alpha + \sin 2\alpha} \cdot \frac{1 - \cos \alpha}{1 - \sin \alpha}$$
   và tìm khả năng của giá trị $\alpha$.

Nhiệm vụ 4

1. Hãy chỉ ra các mặt phẳng đa giác $(x; y)$ mà
   $$\log_1(x^2 + y^2) = -\frac{1}{2}.$$

2. Con số lg 283 nằm giữa những con số mục tiêu?

3. Chuỗi $(x_n)$ được cho bởi sự tương ứng lặp lại $x_1 = 2, x_{n+1} = x_n + 3$. Xác định dãy số theo công thức của số hạng thứ $n$.

4. Viết phương trình tiếp tuyến ngang của parabol $y = x^2 - 3x + 2$.

5. Tìm hàm phản đạo hàm
   $$\varphi(x) = \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2.$$