Математические соревнования в ФМШ при ЛГУ

56

Математические соревнования в ФМШ при ЛГУ

Школьные олимпиды

В физico-mатематической школе-интернате № 45 при Ленинградском университете ежедневно, начиная с 1965 года проводятся школьные математические олимпиды.

На первом туре такой олимпиды предлагается восемь задач, пять из которых близки к задачам, решаемым на уроках. На решение задач первого тура отводится 5 часов.

Второй тур, в отличие от «писменного» первого тура, — «устный». Разумеется,никуо не заставляют решать задачи устно, однокончательное, «чистовое» решение задачи не записывается учатником, а рассказывается двумчленам жюри. Когда учатник олимпиды начинает рассказывать решение каждой задачи, против его фамилии ставится знак «—», который на жаргоне жюри именуется «подход». Если задача решена правильно, то «—» перечеркивается вертикальной линейей. Если же в решении обнаружена ошибка, то учатник, возвращившись на место, может поставаться исправить свое решение. В зависимости от того, решена задача с первого, второго или третьего подхода, учатник получает оценку «+», «±» или «†». Как правило, более трех подходов по одной задаче не допускается.

Эта форма проведения олимпиды имеет определенные преимущества. Ведь часто случается, что школьнику кажется, будто он решил задачу, и записав неверное решение, он больше к задаче не возвращается. Наступил олимпиде учатник имеет возможность исправить неверное решение, так что в итоге оказался больше правильного решения задачи. Кроме того, устная олимпида компактна: ее итоги подводятся через час-полтора после завершения тура.

Приведем несколько задач из школьных олимпид разных лет (в скобках указываются номер олимпиды и номер тура).

1. Найдите множество центров окружностей радиуса 5, пересекающих данную полукругность радиуса 2 в двух разных точках. (I,1).

2. Докажите, что $\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{4} = \frac{1}{3} (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{20} - \sqrt[3]{25})$. (II, 1)

3. Из точки $A$, не лежащей на прямой $l$, проведено 9 отрезков, концы которых лежат на $l$. Докажите, что, передвигая эти отрезки паралельно самим себе, нельзя составить из них девятнуюolgника. (III, 1)

4. Четыре деревни расположены в верхинах квадрата со стороны 10 км. Жители хотят соединить деревни системой дорог, но имеющихся в их распоряжении материалов достаточно для сооружения лишь 28 км дорог. Как они должны поступить? (IV, 2)

5. Сколько раз в сутки нельзя определить время по часам, если неизвестно, какая из стрелок — часовая, а какая — минутная? (V, 2)

6. Сколько цифр имеет наименьшее натуральное число, кратное 225, сумма цифр которого равна 225? (VI, 1)

7. Расстоянием от точки до фигуры называется расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки фигуры. Найдите множество точек плоскости, равноудаленных от контура данного квадрата и отрезка, соединяющего двух противоположных сторон этого квадрата. (VII, 1)

8. Имеются две песок чесночных часов. На один песок пересыпается за 7 минут, на другой — за 11 минут. Отметьте 17 минут, начиная с заданного момента времени. (VIII, 1)

9. Существует ли такая функция $f$, что $D(f) = R$ и для любого числа $a$ уравнение $f(x) = a$ имеет равно два корня? (IX, 1)

10. Существует ли такая функция $f$, что $D(f) = R$ и для любого числа $x$ $f(f(x)) = x^2 + 2$? (X, 2)

11. Прямая разница на отрезки, каждой из которых окрашен в красный или синей цвет (концы отрезков окрашены в оба цвета). Докажите, что хотя бы один из цветов таков, что среди расстояний между точками этого цвета встречаются все положительные расстояния. (XI, 1)

12. $a$ и $b$ — натуральные числа. Докажите, что существует такое натуральное число $n$, что у чисел $n$ и $n$ одинаковая сумма цифр. (XII, 2)

13. Каждая сторона выпуклого четырехугольника поделана на три равные части и точки деления соединительны, как показано на рисунке. Докажите, что $(PR) \parallel (AC)$ и $(QS) \parallel (BD)$. (XIII, 2)