Семнадцать задач на смекалку

44

Б. Кордемский

Семнадцать
задач
на смекалку

Среди задач, предлагаемых пособиями для поступающих в вззы, встречаются и такие, при решении которых можно пройти находивость и островие.

Разумеется, как правило, эти задачи можно решать и стандартными методами, однako решения, использующие нестандартные, островные сообщения, часто оказываются более короткими и красными, чем традиционные.

Неколько таких задач мы предлагаем нашим читателем.

Задача 1. Пройдя 3/8 длины места $AB$, человек услышал за спиной гудок автоматили, приближающегося к месту с постоянной скоростью 60 km/ч. Если этот человек побежит обратно, то встретился с автоматом в $A$; если побежит вперед, то автоматиль нагонит его в $B$. С какой скоростью бегает этот человек?

Задача 2. Из пункта $A$ реки одновременно поплыли мяч по течение и спортом против течение. Через 10 минут пловец повернул назад и догнал мяч под местом, находящемся в 1 км от $A$. Известно, что пловец не изменял свои условия на протяжении всего времени движения. Найдите скорость течение этой реки.

Задача 3. В колбе имеется растор соли. Из колбы отливают 1/n часть растора в пробирку и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повышается вдвое. После этого получившийся растор возврашает в колбу и смешивает с тем растором, который там оставался. В результате содержание соли в расторе повышилось на p%. Определите процентное содержание соли в первоначальном расторе.

Задача 4. 27 одинаковых механизмов могут выполнить определенное задание за 35 часов непрерывной работы. Но через 11 часов к выполнению этого задания подключили еще несколько таких механизмов, и работа была закончена на 6 часов раныше. Сколько механизмов было подключено дополнительно?

Задача 5. От двух кусков сплава одинаковой массы, но с различным процентным содержанием меди отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в общих кусках стало одинаковым. Во сколько раз отрезанный куском меньше целого куска?

Задача 6. Имеются два сплава серебра и золота: в одном количестве этих металлов находится в относении 2:3, в другом — в относении 3:7. Сколько нужно взять каждое сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором серебро и золото были бы в относении 5:11?

Задача 7. На стороне $BC$ квадрата $ABCD$ взята произвольная точка $E$. Биссертиса угла $DAE$ пересекает сторону $CD$ в точке $F$, $|AE| = a$. Найдите $|BE| + |DF|$.

Задача 8. Дан $\triangle ABC$. а) Докажите, что существует треугольник $A_1B_1C_r$, длины сторона которого равны длиам медиан треугольника $A_1B_1C_1$, подобен треугольнику $ABC$.

6. Докажите, что треугольник $A_2B_2C_2$, длины сторона которого равны длиам медиан треугольника $A_1B_1C_1$, подобен треугольнику $ABC$.

в) Найдите площадь треугольника $A_2B_2C_2$, если площадь треугольника $ABC$ равна $S$.

Задача 9. Пусть точка $K$ — середина медины $AM$ треугольника $ABC$, $L$ — точка пересечения прямой $(BK)$ со сторонам $AC$. Найдите площадь четырехугольника $LKMC$, если $S_{ABC} = 1$.