Московский гидромелиоративный институт

46

7. Зная, что $\sqrt{2} \approx 1,41$ и $\sqrt[3]{3} \approx 1,44$, вычислить $\sqrt[6]{72}$.

8. При каких $a$ график функции $y = ax^2 - 6x + 7$ не имеет общих точек с осью $Ox$?

Физика

Задание устного экзамена

1. Два однородных шара массой $m_1 = 3$ кг и $m_2 = 5$ кг с радиусами $R_1 = R_2 = R = 5$ см соединины однородным стержнем массой $m_3 = 2$ кг и длиной $l = 30$ см. Найдите центр тяжести системы.

2. Куб массой $m = 2$ кг и объемом $V = 10^3$ см$^3$ находимся в озере на глубине $H = 5$ м. Считая плотность воды равной $ρ = 10^3$ кг/m$^3$, определяйте, какая работа совершается при подъеме куба на высоту $h = 5$ м над уровнем озера. Поверхностьми являются поверхные льда $\lambda = 3,35 \cdot 10^5$ Дж/кг.

3. Холодильник за время $\tau_1 = 20$ мин работы охлаждает $V = 1,5$ л воды, помещенной в морозильную камеру, от $t_1 = 16^\circ C$ до $t_2 = 4^\circ C$. Найдите массу льда, образованшегося в камере, если процес охлаждения был продолжен еще на $\tau_2 = 60$ мин при том же режиме. Удельная тепломкость воды $c = 4,2 \times 10^3$ Дж/(кг·К). Удельная теплота плавления льда $\lambda = 3,35 \cdot 10^5$ Дж/кг.

4. Автомобиль мощностью $N = 76,5$ кВт, имеющий коэффициент полезного действия $\eta = 32\%$, при движении с постоянной скоростью на пути $s = 120$ м расходует $m = 64$ г беззина. Определите скорость движения автоматics, если теплота бензина $q = 4,6 \cdot 10^7$ Дж/кг.

5. Расстояние между зарядами $q_1 = 2 \cdot 10^{-8}$ Кл и $q_2 = 1,6 \cdot 10^{-7}$ Кл равно $R = 5$ см. Найдите направление поля в точке, удленной от перого заряда на расстояние $R_1 = 3$ см и от второго — на расстояние $R_2 = 4$ см.

6. В схеме, показанной на рисунке, расположить потенциаль между точками $A$ и $B$ равна $U = 250$ В. Электроемкость конденсаторы $C_1 = 1,5$ мкФ, $C_2 = 3$ мкФ, $C_3 = 4$ мкФ. Определите суммарный заряд на обкладках конденсаторов.

7. На лампочке для карманного фонари написано: $U = 3,5$ В, $I = 0,28$ А. Температура накала инит $t = 425^\circ C$, сопротивление инит при нулев指导下аудусов Цельсия $R_0 = 4$ Ом. Определите температурный коэффициент сопротивления инит.

8. Какую массу льда, имеющего температуру $t = -10^\circ C$, можно расстоять за $t = 10$ мин в электрокипятнике, работающим от сети с напряжением $U = 220$ В и силой тока $I = 3$ А? Коэффициент полезного действия электрокипятника $\eta = 80\%$. Удельная тепломкость льда $c = 2,1 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К); удельная теплота плавления льда $\lambda = 3,35 \cdot 10^5$ Дж/кг.

9. Луч света, угол падения которого на границу раздела двух сред равен $\alpha = 30^\circ$, преобразуется во второй среде так, что угол между преломлением и отраженным лучами составляет $\gamma = \pi/2$ рад. Определите показатель преломления $n_2$ второй среды, если показатель преломления первого среды $n_1 = 2,4$.

10. Найдите изображение точки, расположенной на расстоянии $d = 2,8$ м от сфericalного вогнутого зеркала на главной оптической оси. Радиус кривизны зеркала $R = 90$ см.

В. Антитенко, М. Бодунов,
А. Рязановский, Б. Яров

Московский гидромелоративный институт

Matematika

Писменный экзамен

Вариант 1

1. В декартовой прямогольной системе координат $Oxy$ на кривой $y = x^2$ заданы две точки $A$ и $B$ такие, что $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{i} = 1$ и $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{i} = -2$, где $\overrightarrow{i}$ — единичный вектор оси $Ox$. Найти длину вектора $12\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB}$.

2. Найти все решения уравнения $\frac{2x^2 - 5|x| + 2}{x + 2} = 0$, принадлежшие области определения функций $y = \frac{x}{4x^2 - 1}$.

3. В декартовой прямогольной системе координат $Oxy$ задана фигура $F$, ограниченная осью $Ox$, кривой $y = 2x^2$ и касательной к кривой $y = 2x^2$ в точке $A(x_0; y_0)$, где $x_0 = 2$. Найти площадь фигуры $F$.

4. Вычислить $\sin^2\left(\frac{12\pi}{8} + \frac{3}{2}\alpha\right) - \sin^23(\pi + 0,5\alpha)$ при $\alpha = \frac{7\pi}{12}$.

Вариант 2

1. В декартовой прямогольной системе координат $Oxy$ на части кривой $y = x^2 - 2x + 3$, лежащей в первой четырёх точек $A(x_1; y_1)$ с абсциссой $x_1 = 1$ и точки $B(x_2; y_2)$ с ordinатой $y_2 = 11$. Найти скалярное произведение векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$.

2. Решить неравенство $\log_2\log_3\frac{x-1}{x+1} < \log_2\log_3\frac{x+1}{x-1}$.

3. Найти все решения уравнения $3^{2x+1} - 4 \cdot 3^x + 1 = 0$, удовлетворяющие условия $\sin \frac{9+x}{x+0,5} > 0$.

4. Из всех конусов, вписанных в шар радиуса $R$, найти тот, у которого плоской поверхности наибольшая.