Квант
Задачник «Кванта»

Математический маятник в неинерциальной системе отсчёта

Кротов С. С.

Квант 1981, №7с. 32-33Тег TIZ9

32

Должно быть много меньше изменения Δv\Delta v скорости вдоль касательной, то есть
Δvr≈arΔt=(evcpBm)Δt=e⋅Δv⋅B⋅Δt2m≪Δv.\Delta v_r \approx a_r \Delta t = \left( \frac{e v_{cp} B}{m} \right) \Delta t = \frac{e \cdot \Delta v \cdot B \cdot \Delta t}{2m} \ll \Delta v.
Отсюда находится ограничение для Δt\Delta t:
Δt≪2meB.\Delta t \ll \frac{2m}{eB}.
Так, для B=10−4B = 10^{-4} Тл
Λt≪2⋅9⋅10−311,6⋅10−19⋅10−4≈10−7 с.\Lambda t \ll \frac{2 \cdot 9 \cdot 10^{-31}}{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{-4}} \approx 10^{-7} \text{ с}.
При r=10−2r = 10^{-2} м
Δv=1,6⋅10−19⋅10−4⋅10−22⋅9⋅10−31≈105 м/c≪c.\Delta v = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{-4} \cdot 10^{-2}}{2 \cdot 9 \cdot 10^{-31}} \approx 10^{5} \text{ м/c} \ll c.
А. Зильберман

Математический матник в неинерциальной системе отчета

В чем состоит задача описания движения математического матрика — небольшего груза на неевесомой нит? Мы должны, зная начальное положение и начальное скорость груза, суметь определить его положение в любой последующей момент времени. Иначе говоря, мы должны определить явный вид зависимости x=x(t)x = x(t) и y=y(t)y = y(t), где xx и yy — координаты, определяющие положение грузика в плоскости его движения.

Рассмотрим уравнение, описывающее движения математического матрика длины ll, когда точка его подвеска неподвижна относительно земли. Выберем оси координат OXOX и OYOY так, как указано на рисунке 1. Пусть в некоторый момент времени в процессе движения матрика нить составляется вертикально угол φ\varphi (угол φ\varphi отсутствует от оси OYOY против часовой стрелки). Уравнение движения груза — уравнение П закона Ньютона
ma⃗=mg⃗+T⃗(1)m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{T} \tag{1}
(T⃗\vec{T} — сила натяжения нит) в проекциях на оси OXOX и OYOY имеет вид
max=−Tsin⁡φ,(2)m a_x = -T \sin \varphi, \tag{2}
may=mg−Tcos⁡φ.(3)m a_y = m g - T \cos \varphi. \tag{3}
Поскольку при движении матрика длины нит неизменна, между координатами xx и yy выполняется соответствие (kinematическая связь)
x2+y2=l2,x^2 + y^2 = l^2,
и для описания движения матрика достаточно знать зависимость от времени какой-нибудь одной координаты.

Более естественный координат, описывающий движения матрика, является угол φ\varphi.

Найдазависимость φ(t)\varphi(t), мы тем самым определяем и зависимость от времени координат xx и yy:
x(t)=lsin⁡(φ(t)),x(t) = l \sin (\varphi(t)),
y(t)=lcos⁡(φ(t)).y(t) = l \cos (\varphi(t)).
Перепишем уравнения (2) и (3), подставив в них значения
ax=vx′=x′′=−l(φ′)2sin⁡φ+lφ′′cos⁡φ,a_x = v'_x = x'' = -l(\varphi')^2 \sin \varphi + l\varphi'' \cos \varphi,
ay=vy′=y′′=−l(φ′)2cos⁡φ−lφ′′sin⁡φa_y = v'_y = y'' = -l(\varphi')^2 \cos \varphi - l\varphi'' \sin \varphi
и умножив (2) на cos⁡φ\cos \varphi, а (3) — на sin⁡φ\sin \varphi. Получим
lφ′′cos⁡2φ−l(φ′)2sin⁡φcos⁡φ+Tmsin⁡φcos⁡φ=0,(2)l\varphi'' \cos^2 \varphi - l(\varphi')^2 \sin \varphi \cos \varphi + \frac{T}{m} \sin \varphi \cos \varphi = 0, \tag{2}
−lφ′′sin⁡2φ−l(φ′)2sin⁡φcos⁡φ+Tmsin⁡φcos⁡φ−gsin⁡φ=0.(3)-l\varphi'' \sin^2 \varphi - l(\varphi')^2 \sin \varphi \cos \varphi + \frac{T}{m} \sin \varphi \cos \varphi - g \sin \varphi = 0. \tag{3}
Вычтя (3′)(3') из (2′)(2'), получим дифференциальное уравнение, которое угодит функция φ(t)\varphi(t):
φ′′+glsin⁡φ=0.(4)\varphi'' + \frac{g}{l} \sin \varphi = 0. \tag{4}
В случае малых отклонений нит матрика от вертикали sin φ≈φ\varphi \approx \varphi, и уравнение (4) переходит в уравнение
φ′′+glφ=0,\varphi'' + \frac{g}{l} \varphi = 0,
которое представляет собой уравнение гармоничных колебаний с частотой ω=gl\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}. Общешее решение такого уравнения имеет вид
φ=φ0cos⁡(glt+Φ),\varphi = \varphi_0 \cos \left( \sqrt{\frac{g}{l}} t + \Phi \right),
где φ0\varphi_0 — амплитуда колебаний, Φ\Phi — начальная фаза. Величины φ0\varphi_0 и α0\alpha_0 определяются однозначно на начальных условиях.

Пусть теперь точка подвеска математического матрика движения сускорением b⃗\vec{b} относительно неподвижной — инерциальной системы отчета (рис. 2). Ускорение a⃗\vec{a} грузика (точки AA) относительно этой системы можно

33

но представить в виде векторной суммы
a⃗=a⃗′+b⃗,\vec{a} = \vec{a}' + \vec{b},
где a⃗′\vec{a}' — ускорение точки AA относительно неинерциальной системы отчета, которая движется с ускорением b⃗\vec{b} относительно неинерциальной системы отчета. Уравнение (1) теперь запишется так:
ma⃗′+mb⃗=mg⃗+T⃗.m\vec{a}' + m\vec{b} = m\vec{g} + \vec{T}.
Отсюда
ma⃗′=mg⃗+T⃗−mb⃗=m(g⃗−b⃗)+T⃗.m\vec{a}' = m\vec{g} + \vec{T} - m\vec{b} = m(\vec{g} - \vec{b}) + \vec{T}.
Уравнение (5) по форме отличается от уравнения (1) наличием постоянного вектора m(−b⃗)m(-\vec{b}), имеющего размерность силы. Таким образом, если мы хотим пользоваться ПЯ законом Ньютона в неинерциальной системе отчета, движущейся относительно инерциальной системы с постоянным ускорением b⃗\vec{b}, то к реальным силам, действующим на грузик — силе тяжестеги mg⃗m\vec{g} и силе натяжения нити T⃗\vec{T}, мы должны добавить постоянный вектор m(−b⃗)m(-\vec{b}). Этот вектор называют силой инерции. В уравнения (5) мы обединили вектор m(−b⃗)m(-\vec{b}) с вектором силы тяжестеги mg⃗m\vec{g}. В такой записи (5) представляют собой уравнение ПЯ закона Ньютона для грузика, на которой действуют силы натяжения нити TT и сила m(g⃗−b⃗)m(\vec{g} - \vec{b}), играющая роль силей тяжестеги. Введение такой новой «силы тяжестеги» m(g⃗−b⃗)m(\vec{g} - \vec{b}) задает нам новое направление «горизонтали» — перpendикулярное новое вертикали.

Преобразования, которые приведены на отравнения (1) к уравнению (4), применены и к уравнению (5). Надо только помнить, что положение равновесия матрика в неинерциальной системе отчета задается направлением новой вертикали; от этой вертикали отчитывается и угол отклонения матрика от положения равновесия; скорость матрика (грузика) — это его скорость относительно движущейся с ускорением b⃗\vec{b} системы отчета.

Рис. 1.

Рис. 2

При использовании энергетических соотношений (закона сохранения механической энергии) в неинерциальной системе отчета мы можем пользоваться формульной записью
mg⃗′h′+m(v′)22=const,m\vec{g}'h' + \frac{m(v')^2}{2} = \text{const},
где g′=∣g⃗−b⃗∣g' = |\vec{g} - \vec{b}|, h′h' — высота, отсутствие маятника по новой вертикали, v′v' — скорость тела относительно неинерциальной системы отчета. Эквиветенциальными поверхностями теперь становятся плоскости, перpendикулярные вектору g⃗−b⃗\vec{g} - \vec{b}.

Перейдем теперь к решению задачи Ф663 из Задачника «Кванта». Напомним ее условия.

Ф663. Тяжелая тележка движется со скоростью v0v_0 по горизонтальной плоскости и ввезает на наклонную плоскость, составляющую угол а с горизонтом. Переход между плоскостями плаваний. На тележке на нитю длиной ll висит шарик. Какова будет амплитуда колебанной шарикка, когда тележка введет на наклонную плоскость?

Мы должны, оченьindo, рассмотреть движение матрика относительно неинерциальной системы отчета — тележки, движущейся рав-