Московский институт электронного машиностроения

49

5. (факультет полупроводниковых материалов и прибора). Через медную пластинку сечением $S=ab$ пропускается ток $I=10$ А, направленный перpendикулярно к плоскости пластинки. Пластика помещена в магнитное поле, перpendикулярное ребру $b$ и направлено тока. Индивиду магнитного поля $|\vec{B}|=0,6$ Тл, толщина пластики $a=0,1$ мм. Определите возникающего поперечного разность потенциальов, считая при этом, что на каждый atom приходит один электрон проводимости. Плотность меди $q=8,6 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, молярная масса $M=63,5 \cdot 10^{-3}$ кг/моль.

В. Бузанов, Н. Квачева, О. Малючков, В. Тренодин

Московский институт электронного машиностроения

Математика

Писменный экзамен
Вариант 1

1. Найти площадь фигуры, заключенной между графиками функций $y=2x^2-3x+2$ и $y=x+8$.

2. Решить уравнение
   $$7^{2x} \cdot 1g^2 - 10 = |2x \cdot 1g^7 + 3 - 10|.$$

3. Проверить, удовлетворяет ли условию $y' = \frac{2}{y^2}$ функция $y = \sqrt[3]{6x+1}$, и найти функцию $y=f(x)$, удовлетворяющего этому же условию, график которого проходит через точку $M(4;3)$.

4. Прямая $l$ проходит через точки $(3;0)$, $(0;4)$. Точка $A$ лежит на параболе $y=2x-x^2$. Найти расстояние от точки $A$ до прямой $l$ в случае, когда $A$ совпадает с началом координат, и указывает координаты точки $A$ на параболе, при которых расстояние от нее до прямой $l$ будет наименьшим.

5. Найти при $a=1$ все решения уравнения $\sin 2(x-\pi) - \sin (3x-\pi) = a \cdot \sin x$, расположенные на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, и выяснить, при каких $a$ данное уравнение имеет единственное решение на этом отрезке.

Вариант 2

1. Написать уравнение касательной к графику функций $y=\cos \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+2$ в точке с абсиссной $x_0=\frac{\pi}{2}$.

2. Какие из следующих функций $2x^2-1$, $\cos 2x$, $2^{\cos x}$, $2^x+x+2$, $1-5tg\frac{x}{2}$, $3\sin x$ — созвязать и какие не является периодически? Для периодических функций указывает их период.

3. На координатной плоскости данных точки $A(-2;0)$ и $B(0;4)$ и прямая $l:y=x$. Найти

Московский энергетический институт

Математика

Писменный экзамен
Вариант 1

1. Упростив выражение, найти предел $\lim_{x \to a} \left[ \frac{(x^3-2ax^2-a^2x+2a^3)(x-2a)^{-1}+2a(x+a)}{x^3-a^2x} \right] - \frac{2}{x-a}$.

2. Найти область определения функций $f(x)=\log_3[(3 \cdot 2^x)^x+3 \cdot 2^{x^2}+1-2 \cdot 3^{x+1}-9^x]$.

3. Средние все прямые трехугольников плоскости $S$ найти тот, для которого площадь описанного круга будет наименьшей.

4. Найти все корни уравнения $\cos^4x-3\cos 3x=3\cos x-\cos^3x \cdot \cos 3x$, лежащие на отрезке $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$.

5. Определить объем параллелепипеда, если все его грани — ромбы, длины стороны которых равны $a$ и остые углы равны $a$.

Вариант 2

1. Упростив выражение для $f(x)$, найти $f'(x)$, если
   $$f(x) = \left[ \frac{x-4}{x^2-8\sqrt{x}+2\sqrt{x^3}+16} \right]^{-1} + \sqrt{2} 2+\log_2 x$$

2. Решить уравнение
   $$2(\lg 2-1)+\lg(5^{\sqrt{x}}+\lg 10)=\lg(5^{1-\sqrt{x}}+5).$$

3. Число 26 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей и чтобы второе слагаемое было второе больше первого.

50

4. Найти все корни уравнения
   $$\left(tg^2 x - 1\right)^{-1} = 1 + \cos 2x,$$
   удовлетворяющие неравенству $2^{x+1} - 8 > 0$.

5. В круг вписана равноведренная трапеция так, что диаметр круга служит основанием трапеции. Найти отношение площадей круга и трапеции, если типой угол трапеции равен $\alpha$.

Задачи устного экзамена

1. Решить неравенство
   a) $\frac{x^2(x+2)}{2x+3} \leq 0$;
   b) $\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2\sqrt{x}} > 1$;
   c) $\log_{1-x^2}(x^2+x+5) < 0$.

2. Решить графический систему неравенств
   $$\begin{cases} y-x^2 \geq -5 \\ x+y \leq 0 \\ \sqrt{x^2-4} \geq x. \end{cases}$$

3. Построить график функции
   a) $y=x^2+5|x|$;
   b) $y=\lg|x-2|$;
   c) $y=\log_{1-\sin^2x}\cos x$;
   d) $y=3^{x+\frac{x^2}{|x|}}$.

4. Построить прямогольный треугольник по данному острому углу и противолежащему катету.

5. Упростить выражение
   $$\left(\frac{2\sin \alpha-\sin 2\alpha}{2\sin \alpha+\sin 2\alpha}\right)^{\frac{1}{2}} + \frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha},$$
   если $3\pi < \alpha < 4\pi$.

6. Написать уравнение касательной к графику функции $f(x) = |x^2-|x||$ в точке с абсциссой $-2$.

7. При каких $a$ справедливо неравенство
   $$\int \frac{dx}{2-1} < \ln(a-2) ?$$

Физика
В зависимости от изображенного факультета абитуренты сдавали экзамен по физике либо письменно, либо устно. На письменный экзамен отводилось 4 астрономических часов.

Писменный экзамен
Вариант

1. Законы отражения и преломления света. Показатель преломления, его физический смысл.
2. Материальная точка может перемещаться прямолинейно вдоль оси $X$. По известному графику зависимость проекции $v_x$ скорости данной точки от времени $t$ (см. рис.) построите графики зависимость проекции $a_x$ускорения и координаты $x$ точки от времени. Начальные условия: при $t=0$ $x=0$.
3. Каждая из двух одинаковых сферических капелек воды имеет заряд, равный электрона, причем сила электрического откликания капелек уравновешивает силу их взаимного тяготения. Определите радиус $r$ капелки. Заряд электрона $e=1,6 \cdot 10^{-19} \text{KJ}$, гравитционная постоянная $G=6,67 \times 10^{-11} \text{m}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)$, электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85 \cdot 10^{-12} \text{Ф/m}$, плотность воды $\rho=1000 \text{kg/m}^3$.
4. Электродугавая печь потребляет ток $I=200 \text{A}$ от сети, имеющей напряжение $U=220 \text{B}$. Последовательно с печью включен ограничивающий резистор сопротивлением $R=0,2 \Omega$. Определите мощность $P$, потребляемую печью.
5. На тележку с песком обшей массой $M=20 \text{kg}$, движящегося прямолинейно по горизонтальной плоскости со скоростью $|\vec{v}|=5 \text{m/c}$, падает вертикально с высоты $H=3 \text{m}$ камень массой $m=5 \text{kg}$ и застревает в песке. Определите количество теплоты $Q$, выделившее при этом.

Задачи устного экзамена

1. Конькобежец, разогнавшись до скорости $|\vec{v}|=6 \text{m/c}$, вызжает накатом на ледную горку. На какую максимальную высоту $h$ он поднимается, если угол между наклонной плоскостью горки и горизонтом $\alpha=30^\circ$, а коэффициент треня коньков о лед $\mu=0,1$?
2. Вертикальный прямой цилиндр закрыт сверху тяжелым поршнем. В цилиндре находится кислород, масса которого $m=2 \cdot 10^{-2} \text{kg}$. После увеличения температуры на $\Delta T=100 \text{K}$ поршень, имеющий площадь $S=10^{-2} \text{m}^2$, поднялся на высоту $h=0,14 \text{m}$. Определите массу $M$ поршня, если внешнее давление во время проесса не изменялось и равнялось $p_0=10^5 \text{Pa}$. Трене поршня о стенки цилиндра можно не учитывать. Молярная масса кислорода $\mu=32 \times 10^{-3} \text{kg/mоль}$. Универсальная газовая постоянная $R=8,31 \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}$.
3. Рамка, имеющая форму равностороннего треугольника, помещена в одноподное магнитное поле с индукцией $\vec{B}(|\vec{B}|=0,1 \text{T})$. Перpendicular к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол $\alpha=30^\circ$. Определите длину $a$ сторонны рамки, если при равномерном уменшении магнитного поля до нуля за время $\tau=0,01 \text{с}$ в рамках индукретения $\exists \Delta C \varepsilon=10^{-3} \text{B}$.
   B. Нитусов,
   B. Прохоренко,
   B. Чудов