Đường tròn chín điểm và đường thẳng Euler

34

Vòng tròn
chín điểm
và đường thẳng Euler

Hình đa giác đơn giản nhất - hình tam giác - được tạo ra bởi các nhà hình học hấp dẫn. Sau Euclid, những định lý hay ho đã được chứng minh về ông bởi các nhà khoa học xuất sắc thời cổ đại như Apollonius, Heron, Menelaus và Ptolemy. Gần gũi hơn với thời đại chúng ta, tam giác đã bị Euler, Poncelet, Simson, Desargues, Klein, Hadamard mê hoặc.

Ngày nay, hình tam giác đã hơi lỗi thời nhưng vẫn không mất đi vẻ đẹp vốn có. Bạn có thể xác minh điều này bằng cách đọc về đường tròn và đường thẳng liên quan đến tam giác, được đặt theo tên của Leonhard Euler. Và bài toán được thảo luận tiếp theo hy vọng sẽ cho thấy rằng vẫn còn điều gì đó cần suy nghĩ xung quanh hình tam giác.

vòng tròn Euler
Hãy bắt đầu với định lý đáng chú ý sau đây, được Euler công bố năm 1765:

Các đáy của các đường cao, đáy của các đường trung tuyến và các điểm nằm giữa các đoạn thẳng từ trực tâm*) đến các đỉnh của tam giác đều nằm trên cùng một đường tròn.

Đường tròn này được gọi là đường tròn chín điểm hoặc đường tròn Euler (Hình 1).

Trước khi tiếp tục chứng minh định lý này, chúng ta hãy chú ý đến một số sự kiện đơn giản nhưng hữu ích liên quan đến hình học của một tam giác (chúng tôi khuyên bạn nên tự mình chứng minh chúng).

Gọi $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $M$ là giao điểm của các đường trung tuyến của nó (để biết các ký hiệu khác, xem Hình 1).

(1) Điểm $A_3, B_3, C_3$ là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tương ứng với các tam giác $AB_1C_1, A_1BC_1, A_1B_1C$. (Gợi ý. AN, VN, CH - đường kính của các vòng tròn này - xem Hình 2).

(2) Các tam giác $AB_1C_1, A_1BC_1, A_1B_1C$ tương tự nhau và đồng dạng với tam giác ban đầu $ABC$. (Gợi ý. Các đỉnh trùng khớp được biểu thị bằng các chữ cái giống nhau; $ABC = A\widehat{HC} = A\widehat{B_1C_1}$).

(3) Đặt $A, B$ và $C$ là giá trị các góc tương ứng của tam giác $ABC$. Nếu các góc này nhọn thì các góc của tam giác $A_1B_1C_1$ bằng các góc tương ứng $180^\circ - 2A, 180^\circ - 2B, 180^\circ - 2C$; ví dụ: nếu $A > 90^\circ$, thì chúng bằng $2A - 180^\circ, 2B, 2C$ (Hình 2).

(4) Khoảng cách từ điểm $O$ đến mỗi cạnh của tam giác đầu vào nhỏ hơn khoảng cách từ đỉnh phản tuyến đến trực tâm $|A_2O| = \frac{1}{2}|AH|, |B_2O| = \frac{1}{2}|BH|, |C_2O| = \frac{1}{2}|CH|$.

(Gợi ý: Khoảng cách của một tam giác có các cạnh lần lượt đi qua các điểm $A, B, C$ song song với $BC, AC, AB$.)

35

Đường Euler

Lưu ý rằng từ câu (4), ngay lập tức suy ra rằng các điểm O, M và H nằm trên cùng một đường thẳng, vì đường thẳng OH chia đường trung tuyến AA₂ theo cùng tỷ lệ với điểm M. Đường thẳng này được gọi là đường thẳng Euler của tam giác ABC. Dễ dàng nhận thấy rằng |OM| = $\frac{1}{2}$ |MH|.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng các điểm A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂, A₃, B₃, C₃ cùng nằm trên một đường tròn. Chúng ta hãy giới hạn trong trường hợp tam giác ABC nhọn. (Đối với tam giác tù, hãy tự suy luận.)

Đầu tiên, lưu ý rằng các điểm A₁, A₂, B₂, C₂ nằm trên cùng một đường tròn (Hình 3), vì B₂A₁ và C₂A₁ là các đường trung tuyến của các tam giác vuông AA₁C và AA₁B được vẽ theo cạnh huyền, và do đó, B₂A₁C₂ = B₂A₁A + AA₁C₂ = A₁A B₂ + A₁A C₂ = A = B₂A₂C₂. Người ta chứng minh theo cách hoàn toàn tương tự rằng các điểm B₁, A₂, B₂, C₂ nằm trên cùng một đường tròn (điểm B₁ là một điểm “cùng loại” với A₁!) và các điểm C₁, A₂, B₂, C₂ nằm trên cùng một đường tròn. Như vậy, sáu điểm A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ cùng nằm trên một đường tròn. Mặt khác, chẳng hạn, nếu chúng ta xem xét tứ giác A₃B₃A₂C₃ (Hình 4) và biểu thị một số góc đối diện của nó theo các góc A, B và C (điều này không khó thực hiện), chúng ta sẽ tin rằng tổng của chúng bằng 180°; suy ra tứ giác A₃B₃A₂C₃ là tứ giác nội tiếp. Như vậy, sáu điểm A₃, B₃, C₃, A₂, B₂, C₂ cũng nằm trên cùng một đường tròn. Điều này có nghĩa là tất cả chín điểm A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂, A₃, B₃, C₃ đều nằm trên cùng một đường tròn (các điểm A₂, B₂, C₂ đều nằm trong đường tròn chung). Định lý Euler đã được chứng minh.

Tính chất của đường tròn và đường tròn Euler

(5) Bán kính đường tròn chín điểm bằng nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, có hệ số $\frac{1}{2}$ và tâm đường tròn tại điểm H (đây là cách đặt các tam giác ABC và A₃B₃C₃ trong mối quan hệ với nhau).

(7) Cùng một đường tròn 琢otsii, nhưng có hệ số $(-\frac{1}{2})$ và tâm 琢otsii tại điểm M (đây là cách các tam giác ABC và A₃B₃C₃ nằm trong mối quan hệ với nhau).

(8) Tâm của đường tròn chín điểm nằm trên đường Euler ở giữa đoạn OH.

36

Khó bài toán

Nhiều bài toán thú vị đã được biên soạn về chủ đề đường tròn chín điểm và đường thẳng Euler. Đây là một trong số đó, được xuất bản trong cuốn sách “Được chọn bài toán từ Tạp chí Toán học Hoa Kỳ hàng tháng” (M., “Mir”, 1977):

Cho tam giác ABC; AA1, BB1, CC1 - chiều cao của nó. Chứng minh rằng các đường thẳng Euler của các tam giác AB1C1, A1BC1, A1B1C cắt nhau tại điểm P của đường tròn chín điểm của tam giác ABC sao cho một trong các đoạn PA1, PB1, PC1 bằng tổng hai đoạn còn lại (Hình 5).

Như trước, gọi H là trực tâm của tam giác ABC, A3, B3, C3 là trung điểm của các đoạn AH, BH, CH (hãy nhớ rằng chúng là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đồng dạng AB1C1, A1BC1, A1B1C).

Đầu tiên chúng ta chứng minh một mệnh đề phụ. Nếu vẽ các đường thẳng đi qua các điểm A3, B3, C3 giống hệt nhau đối với các tam giác AB1C1, A1BC1, A1B1C thì các đường thẳng đó cắt nhau trên đường tròn chín điểm của tam giác ABC.

Chúng ta hãy biểu thị bằng P điểm giao nhau kkihnbud của hai trong số các đường thẳng này - ở bên phải, các đường thẳng được vẽ qua A3 và C3 (Hình 6). Vì các đường thẳng A3P và C3P có vị trí bằng nhau so với các tam giác AB1C1 và A1B1C nên A1A3P=A1C3P. Điều này có nghĩa là đường tròn đi qua các điểm P1, A1, C3 sẽ đi qua các điểm A3. Nhưng đường tròn này chính là đường tròn chín điểm của tam giác ABC! Như vậy, hai đường thẳng bất kỳ sẽ cắt nhau trên đường tròn chín điểm của tam giác ABC, dễ dàng kết luận cả ba đường thẳng đó sẽ cắt nhau tại một điểm.

Để hoàn thành chứng minh, bây giờ chúng ta giả sử P là giao điểm của đường Euler. Dễ dàng nhận thấy (kiểm tra!) rằng các số |PA1|, |PB1|, |PC1| tỷ lệ thuận

(*) Tức là chúng tạo thành các góc bằng nhau với các cạnh tương ứng.

Hình 5.

Hình 6.

sin của các góc PA3A1, PA3B1, PA3C1. Hãy đặt PA3A1=φ.

Giả sử △ABC nhọn. Sử dụng tính chất (3) và Hình 5, chúng ta tìm thấy
PA3B1=φ+A1A3B1=φ+A1C1B1=
=φ+180°-2C,
PA3C1=A1A3C1-φ=A1B1C1-φ=
=180°-2B-φ.

Vậy ta cần chứng minh rằng một trong ba số
sin φ, sin (2C-φ), sin (2B+φ)

(trong trường hợp này là số thứ hai) là tổng của hai số còn lại.

Xét tam giác AOH (Hình 7). Vì △ABC≈△AB1C1 và các điểm O, A3 là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác này, AOH=φ và OAC=HAB=90°-B. Có nghĩa,
OAH=A-OAC=A1AB=
=A-(90°-B)-(90°-B)=2B+A-180°,
từ đó sin OHA=sin (360°-2B-A-φ) =
=sin (2B+A+φ).

Nếu R là bán kính của một đường tròn ngoại tiếp △ABC thì |OA|=R; do tính chất (4) và đẳng thức A2OB=1/2 COB=A

|AH|=2|OA2|=2R cos A.

Áp dụng định lý sin cho tam giác OAH ta có
R/(sin (2B+A+φ))=2R cos A/sin φ,
sin φ=2 cos A sin (2B+A+φ),
sin φ=sin (2A+2B+φ)+sin (2B+φ),
sin φ=-sin (2C-φ)+sin (2B+φ),
sin (2C-φ)=sin φ+sin (2B+φ).

Hãy thử tự mình chứng minh trong trường hợp tam giác ABC tù.

Để kết luận, chúng tôi trình bày mà không cần bằng chứng về một sự thật đáng chú ý khác liên quan đến đường tròn chín điểm:

Định lý Feuerbach. Vòng tròn chín điểm chạm vào

37

Sanna và ba vòng tròn không có hình dạng*) tạo thành một hình tam giác.

Tất cả các bằng chứng của tuyên bố này mà chúng tôi biết đều rất cồng kềnh và về cơ bản chỉ mang tính chất tính toán thuần túy. Bạn có thể tìm thấy một cách chứng minh hình học tốt cho định lý Feuerbach.

Đối với những ai muốn làm quen hơn với hình học của một tam giác, chúng tôi giới thiệu hai cuốn sách:

S. I. Zetel “Hình học mới của tam giác” (M., “Uchredgiz”, 1962).

*) Đường tròn mở rộng là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và kéo dài sang hai cạnh còn lại của nó.

Dao động và ma trận

(Để bắt đầu, xem trang 30)

trở nên bằng không. Điều này có nghĩa là đã có sự truyền năng lượng hoàn toàn từ ma trận thứ nhất sang ma trận thứ hai. Sau đó quá trình được đảo ngược.

Việc mô tả một cách toán học các dao động của các ma trận ghép có khối lượng khác nhau nhưng có cùng độ dài của các sợi sẽ khó khăn hơn nhiều (hãy tự mình thử điều này nếu bạn muốn). Chúng tôi chỉ lưu ý rằng trong trường hợp này biên độ của ma trận thứ nhất không về 0 - mặc dù năng lượng được truyền sang ma trận khác nhưng nó không hoàn toàn. Bạn cũng quan sát điều này từ kinh nghiệm.

Nếu độ dài của ma trận không giống nhau ($l_1 \neq l_2$), thì như bạn đã thấy trong kinh nghiệm, sẽ không có hiện tượng cộng hưởng. Trong mô tả toán học, điều này có nghĩa là việc chuyển đổi từ hệ thống (4) sang hệ thống (5) sẽ trở nên không thể thực hiện được.

Để kết luận, ông khuyên bạn nên điều tra độc lập các câu hỏi về sự phụ thuộc của dao động của các ma trận liên kết vào độ cứng của lò xo, vào vị trí gắn của nó với các sợi dây và vào khối lượng của các ma trận. Ví dụ: hãy thử giải bài toán trong trường hợp khối lượng của một ma trận của thành phố lớn hơn khối lượng của ma trận khác và so sánh kết quả thu được bằng thí nghiệm (để làm điều này, hãy gắn một trong các ma trận vào tường bằng một lò xo).