Bài toán

50

Nhiệm vụ

1. Tại giá trị nào của $n$ trong biểu thức
   1**2…*$n$ = $n+1$
   Có thể sắp xếp các dấu “+” và “—” lại với nhau * để nó trở thành đẳng thức thực sự không?

2. Một tam giác có cạnh 3 được chia thành hai tam giác nhỏ có cạnh 1 (xem hình).

a) Sắp xếp các số từ 1 đến 9 sao cho tổng của bốn số trong ba tam giác có cạnh 2 bằng nhau.

6. Số tiền này có thể nhận những giá trị nào?

3. Hai đứa trẻ, hoàn toàn bối rối về việc đếm các ngày trong tuần, bị bỏ lại trên đường đến trường để tìm hiểu mọi chuyện.

Prisilla nói: “Khi “ngày mốt” trở thành “ngày hôm qua”, “thì “hôm nay” sẽ không còn xa sự hồi sinh như ngày từng là “hôm nay” khi “ngày hôm kia” là “ngày mai”.

Giọng nói bập bẹ này được thốt ra vào ngày nào trong tuần?

4. Có thể tô màu một lưới hình vuông có kích thước $n \times n$ ($n \geqslant 3$) bằng sáu màu sao cho bất kỳ hình chữ nhật $2 \times 3$ nào cũng chứa các ô có đủ sáu màu không?

5. Ở đất nước cổ tích Perra-Terra, cùng với những người bình thường khác, có Kababas và Barabas sống. Mỗi kababas quen thuộc với sáu kababas và chín barabas. Mỗi kababas quen thuộc với mười kababas và bảy barabas. Khi nào có nhiều cababas hoặc barabas hơn ở đất nước này?

Những nhiệm vụ này được Yu gợi ý cho chúng tôi. Alekkov, F. Bartenev, A. Cabrizon, N. Nechvetaev. Bài toán Số 3 được lấy từ cuốn “Mosaic Toán học” của Sem Loyd (M., “Mir”, 1980, bài toán 31).

52

“Thiết bị” cho thí nghiệm được làm bằng tay của chính bạn.

Các thành viên ban giám khảo chuẩn bị thí nghiệm cho một cuộc thi vật lý.

Ảnh của E. Shablezin và A. Klopotovich bắn súng hai nòng. Một viên đạn bắn trúng trung tâm, viên còn lại bắn vào một bên. Đạn bị kẹt trong vòng đệm. Quả bóng nào sẽ nhanh chóng chạm tới bức tường? Không có đào tạo.

Đáp số rất đơn giản: vì xung ban đầu của các quả bóng có viên đạn là như nhau và trong các điều kiện “viên đạn” này, xung được bảo toàn nên cả hai quả bóng sẽ chạm tới tường cùng một lúc. Nhưng nhiều người đã giải quyết được bài toán này đã đưa ra lý do sau: năng lượng của viên đạn chạm vào mặt của quả bóng được dành cho chuyển động quay và chuyển động tịnh tiến của quả bóng, còn năng lượng của viên đạn thứ hai chỉ dành cho chuyển động tịnh tiến. Điều này có nghĩa là quả bóng thứ hai có động năng lớn hơn và chuyển động nhanh hơn. Sai lầm ở đây là ở đâu?

Bài toán 2 (vật lý lý thuyết). Một quả bóng nằm trên bàn, quả còn lại được treo trên một sợi dây. Quả bóng nào có nhiệt lượng lớn hơn nếu chúng giống hệt nhau?

Chúng ta hãy nhớ rằng nhiệt dung riêng là lượng nhiệt cần truyền đến một vật để làm nóng nó lên một độ. Vì các quả bóng giống nhau nên độ biến thiên nội năng của chúng là như nhau. Tuy nhiên, khi nóng lên, vật thể nở ra. Trong trường hợp này, trọng tâm của quả bóng nằm trên bàn tăng lên và trọng tâm của quả bóng treo trên một sợi dây giảm xuống. Sledova-

53

Vì vậy, một quả bóng nằm trên bàn sẽ cần bổ sung thêm năng lượng để nâng trọng tâm của nó lên, còn một quả bóng treo trên một sợi dây sẽ chuyển một phần thế năng thành nhiệt năng. Rõ ràng quả bóng thứ nhất có nhiệt dung lớn.

Nhiệm vụ 3 (vật lý thí nghiệm). Nếu ống chỉ được kéo bằng sợi chỉ, giữ nó ở mức thấp so với mặt đất, ống chỉ sẽ hướng về phía người kéo. Và nếu bạn nâng sợi chỉ lên cao hơn, ống chỉ sẽ xuất hiện theo hướng ngược lại. Tại sao?

Nhìn vào hình 1. Điểm A là tâm quay tức thời của cuộn dây. Rõ ràng, nếu lực căng của sợi chỉ tạo ra mômen làm lật trục quay so với điểm A, thì trục quay sẽ xuất hiện theo hướng mà nó bị lật. Như vậy, lực căng của sợi 1 làm cho ống chỉ cuộn sang trái, lực căng của sợi 2 làm cho sợi chỉ 2 lăn sang phải và lực căng của sợi 3 chỉ nâng ống cuộn lên.

Nhiệm vụ 4 (Khoa học Trái đất). Tại sao việc chỉ ra thời gian mặt trời mọc ở Mátxcơva trên lịch chính xác đến từng giây là vô nghĩa?

Hóa ra ở những khu vực khác nhau của Moscow, mặt trời mọc bắt đầu vào những thời điểm khác nhau và sự khác biệt này lên tới hai phút. Nhưng điều này xảy ra không phải vì Mátxcơva nằm trên bảy ngọn đồi, trên đỉnh của chúng mặt trời mọc sớm hơn ở vùng đất thấp, và không phải vì không rõ thế nào được coi là mặt trời mọc - khi Mặt trời mới xuất hiện hay khi nó ló dạng hoàn toàn từ phía sau theo phương ngang (điều này luôn có thể được thống nhất). Có điều là Moscow có quy mô tương đối lớn.

Hãy ước tính xem Moscow chiếm phần nào của vĩ tuyến tương ứng. Độ dài của vĩ tuyến này sẽ được tìm thấy bằng cách biết độ dài của kinh tuyến Paryazh (~40000 km) và vĩ độ mà Moscow tọa lạc (~60°): l~40000 km×0,5~20000 km. Giả sử đường kính của Mátxcơva là d~30 km, chúng ta thấy phần cần tìm bằng d/l~30/20000~1,5·10⁻³. Do đó, thời gian mặt trời mọc ở phía đông Moscow khác với thời gian mặt trời mọc ở phía tây khoảng Δt~24 h·1,5·10⁻³~2 phút.

Bài 5 (trò chơi toán học). Trên bàn cờ có quân Xe ở góc dưới bên trái. Hai người chơi lần lượt di chuyển quân Xe này (trong một nước đi, quân Xe có thể di chuyển bao nhiêu ô tùy ý theo chiều dọc hoặc chiều ngang). Trong nghi lễ này, người đưa quân xe lên góc trên bên phải được xem xét. Ai nhổ đúng nghi lễ: người bắt đầu làm lễ hay người nhổ thứ hai?

Nếu bài toán lời giải không được trình bày ngay lập tức, sẽ rất hữu ích khi xem xét một số trường hợp cụ thể của nó hoặc ngược lại, tổng quát hóa bài toán. Hãy xem xét trò chơi trên bảng 3x3 (Hình 2). Rõ ràng là sau bất kỳ nước đi nào của người chơi thứ nhất (ở b1, c1, a2, a3), người thứ hai có thể đặt quân xe vào b3 hoặc c2 và giành chiến thắng. Nếu trò chơi được chơi trên một bàn cờ có kết quả là “cánh” (Hình 3), người chơi thứ hai sẽ thắng sau khi người đầu tiên đặt quân xe lên những “cánh” này (bằng cách di chuyển đến b3 hoặc c2). Nếu bây giờ chúng ta quy trò chơi trên bảng n×n thành trò chơi trên bảng