Theo định lý Pythagore

32

R. Rubinov

Theo định lý Pythagore

Trong sách giáo khoa hình học hiện hành, định lý Pythagore “Bình phương cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông” được chứng minh “đại số” bằng phép tính (“Hình học 6-8”, đoạn 67).

Euclid chứng minh nó là “hình học”. Ông đã xây dựng các hình vuông trên các cạnh của một tam giác vuông và chứng minh rằng tổng diện tích các hình vuông ở các cạnh bằng diện tích hình vuông trên cạnh huyền. Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày hai cách chứng minh định lý Pythagore sử dụng ý tưởng này, sau đó trình bày nhiều hình vẽ khác có cùng “sự tương ứng Pythagore” như đối với hình vuông.

ô vuông câu chuyện

Trong Hình 1, $a$, các hình vuông được dựng bên trong trên các chân của tam giác vuông đã chọn; hình vuông ở cạnh huyền được dựng hướng ra ngoài. Bất cứ nơi nào một hình vuông chồng lên một hình vuông khác, các cạnh của hình vuông sẽ được tiếp tục. Các hình có kích thước bằng nhau*) được sơn cùng màu. Từ hình vẽ có thể thấy rằng một tam giác được tạo thành từ một hình thang màu đỏ và một tam giác màu vàng (tam giác “đỏ-vàng”) có kích thước bằng một tam giác được tạo thành từ một hình thang màu xanh lá cây và một tam giác màu xám (tam giác “xám-lục”). Trong Hình 1, $6$, trên các chân của hình tam giác ban đầu (tam giác màu trắng), các hình vuông được xây dựng bên ngoài và ở một trong số chúng, hình tam giác màu xanh xám được thay thế bằng hình tam giác màu đỏ-vàng có kích thước bằng nhau. Một lần nữa thay hình thang màu xanh lá cây bằng hình tam giác màu xám bằng hình thang màu đỏ bằng hình thang màu vàng.

*) Tức là các hình có cùng diện tích.

33

với tam giác thứ ba, chúng ta đạt được sự bằng nhau về diện tích.

Bằng chứng sâu hơn đến từ Hình 2, $a - e$; nó sử dụng thực tế là chiều cao màu xanh lam trong tam giác vuông của chúng ta (xem trình bảo vệ màn hình) và đường chéo màu đỏ của hình chữ nhật được tạo thành bởi phần kéo dài của các cạnh của hình vuông nằm trên cùng một đường thẳng (chứng minh điều đó!).

Hãy khái quát hóa định lý Pythagore

Vì vậy, trong một tam giác vuông $a^2 + b^2 = c^2$,

trong đó $a, b, c$ là tứ giác và cạnh huyền của nó. Bây giờ hãy lưu ý rằng nếu chúng ta có các hình $A, B$ và $C$ có ​​diện tích $S_A, S_B$ và $S_C$ lần lượt là $ka^2, kb^2$ và $kc^2$ thì $S_A + S_B = S_C$. Đặc biệt, “sự tương ứng Pythagore” được thỏa mãn đối với diện tích của các hình tương tự được dựng trên các cạnh của một tam giác vuông*). (Ghi chú này có thể hữu ích cho việc tính diện tích của hình mà chúng ta sẽ vẽ bên dưới.)

Trên các cạnh của tam giác vuông, bây giờ chúng ta sẽ xây dựng các hình cung (Hình 3), các nửa phần (Hình 4), mặt trăng (Hình 5), hình tam giác cung (Hình 6).

Kết hợp các cung và hình tròn, lỗ và hình tam giác cung, chúng ta có được Hình 7 và 8: trong đó

*) Ta nói rằng các hình đồng dạng $F_a, F_b, F_c$ được dựng trên các cạnh $a, b, c$ của tam giác ABC nếu, với độ tương tự $F_x \rightarrow F_y$, cạnh $x$ đi về cạnh $y$ ($x, y \in \{a, b, c\}$).

Hình 1. a)
b)

a)
b)

$\frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi b^2}{4} = \frac{\pi c^2}{4}$
Hình 3.
Hình 4
Hình 5. a)
b)

$\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = \frac{c^2}{4}$
$s = \frac{a^2}{4}$

35

Hình 13.

Hình 15.

Hình 14.

Hình 16.

một lần nữa tổng diện tích của hình màu xanh bằng diện tích của hình màu đỏ.

Hình 9-12 hiển thị ba hình có kích thước bằng nhau: trong Hình 9 - diện tích $a^2$ (a - cạnh của hình vuông), trong Hình 10 - diện tích $a^2/2$, trong Hình 11 - diện tích $3a^2/4$, trong Hình 12 - diện tích $\pi a^2/4$ (kiểm tra phần này!). Kết hợp chúng trên hai chân và cạnh huyền của một tam giác vuông, chúng ta thu được một loạt các hình 13-16.

Để kết luận, chúng tôi đề nghị bạn chứng minh rằng tổng diện tích của ba hình tam giác cong màu xanh lam dựng trên các cạnh của một hình thang hình chữ nhật, có đường chéo vuông góc với một cạnh (Hình 17), bằng diện tích của hình thang đó

Hình 17.

cùng một hình tam giác được xây dựng trên một đáy lớn hơn. Bây giờ bạn sẽ cần không quá hai phút để làm điều này!