Olympic Toán

44

Liên minh XV
Olympic học sinh

V. Vavilov, A. Zemlyakov

Olympia
trong toán học

Từ ngày 15 đến ngày 22 tháng 4, chặng cuối cùng của Kỳ thi Olympic Toán học sinh toàn Liên đoàn lần thứ XV đã diễn ra tại Almaty. 148 học sinh tham gia: 39 học sinh lớp 8, 47 học sinh lớp 9 và 62 học sinh lớp 10. Tất cả những người này đều là những người chiến thắng trong các cuộc thi Resurublikan và Olympic khu vực, cũng như những học sinh đã nhận được bằng cấp I và II ở giai đoạn cuối của Olympic toàn Liên minh XV.

Năm nay Thế vận hội được dành riêng cho Đại hội XXVI của Đảng Cộng sản Liên Xô.

Giai đoạn cuối cùng của Thế vận hội diễn ra trong hai vòng, diễn ra vào ngày 17 và 19 tháng 4. Mỗi ngày, học sinh đề xuất bốn bài toán, trong đó lời giải được phân bổ 5 giờ. Khi lựa chọn bài toán, ủy ban phương pháp đã tuân thủ các nguyên tắc giống như năm ngoái («Kvant», 1980, Số 11, trang 45). Dưới đây chúng tôi trình bày các điều kiện của tất cả bài toán; trong ngoặc đơn bên cạnh các điều kiện của mỗi bài toán cho biết ai đã đề xuất nó. Ở cuối bài viết bạn sẽ thấy lời giải tất cả bài toán không có trong Bài toán «Kvant», 1981, Số 7).

Bài toán
Ngày đầu tiên
lớp 8

1. Hai bàn cờ giống hệt nhau (hình vuông 8x8) có một tâm chung và một trong số chúng được xoay so với bàn kia một góc 45° ở gần tâm. Tìm tổng diện tích tất cả các giao điểm của các ô đen của hai bảng này nếu diện tích của một ô là A, B, M và N. Từ điểm M kẻ các dây MA1 và MB1 lần lượt vuông góc với các đường thẳng NB và NA. Chứng minh rằng các đường thẳng AA1 và BB1 song song. (Nếu A=A1 thì đường thẳng AA1 tiếp xúc với đường tròn tại điểm A; tương tự với B=B1.) (A. Slinko)

2. Ta nói một số có tính chất (K) nếu nó có thể phân tích thành tích của K số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 1.

a) Tìm K sao cho số neotorgore có cả tính chất (K) và (K+2).

6. Chứng minh rằng không tồn tại số có cả hai tính chất (2) và (4). (B. Fedotov)

4. Bảng có 4 hàng. Cái đầu tiên chứa các số tự nhiên tùy ý, một số trong đó có thể giống hệt nhau. Dòng thứ hai điền như sau: Các số ở dòng thứ nhất nhìn từ trái qua phải và số k được viết dưới số a nếu a xuất hiện ở dòng đầu tiên lần thứ k. Tương tự, dòng thứ ba được viết ở dòng thứ hai và dòng thứ tư ở dòng thứ ba. Chứng minh rằng dòng thứ hai và thứ tư luôn bằng nhau. (A. Kuznetsov)

lớp 9

1. Tìm diện tích nhỏ nhất của hình chữ nhật có các cạnh song song với trục tọa độ Ox và Oy, chứa hình được xác định bởi hệ bất đẳng thức (a∈R)

$$\begin{cases} y \leq -x^2, \\ y \geq x^2 - 2x + a. \end{cases}$$

(A. Savin)

2. Xem bài toán số 4 cho lớp 8.

3. Các tam giác đều ABC, CDE và EHK (các đỉnh được ký hiệu ngược chiều kim đồng hồ) có các cặp đỉnh chung C và E nằm trên mặt phẳng sao cho AD=DK. Chứng minh tam giác BHD cũng chính quy. (A. Kuntsov)

4. Trong khoảng 1000 cư dân liên tiếp. Mỗi ngày, mỗi người trong số họ chia sẻ những tin tức họ học được ngày hôm qua với tất cả bạn bè của mình. Được biết, tin tức nào cũng được cả làng biết được. Chứng minh rằng bạn có thể chọn 90 cư dân để đồng thời thông báo cho họ một số tin tức, sau 10 ngày thì tất cả cư dân trong làng đều biết tin đó. (N. Kartatsov, A. Savin)

45

lớp 10

1. Về các số $a$ và $b$ ta biết rằng bất đẳng thức
   $$a \cdot \cos x + b \cdot \cos 3x > 1$$
   không có lời giải. Chứng minh rằng $|b| \leq 1$.
   (Yu. Nesterenko)

2. Các điểm $K$ và $M$ là trung điểm của cạnh $AB$ và $CD$ của tứ giác lồi $ABCD$, các điểm $L$ và $N$ nằm ở hai cạnh còn lại sao cho tứ giác $KLMN$ là hình chữ nhật. Chứng minh rằng diện tích tứ giác $ABCD$ gấp đôi diện tích hình chữ nhật $KLMN$.

3. Tìm tất cả các dãy số tự nhiên ($x_n$) thỏa mãn hai điều kiện sau:
   a) $x_n \leq n\sqrt{n}$ cho bất kỳ $n$ nào;
   b) hiệu $x_m - x_n$ chia hết cho $m - n$ đối với $m$ và $n$ khác nhau.
   (Yu. Nesterenko)

4. Có thể tô màu tất cả các ô của một bảng hình chữ nhật bất kỳ là trắng và đen sao cho có số ô trắng và đen bằng nhau, trong mỗi hàng và mỗi cột có hơn 3/4 số ô cùng màu? (S. Konyatsin)

Ngày thứ hai

lớp 8

5. Chứng minh rằng nếu các tứ giác $ACPH, AMBE, AHBT, BKXM, CKXP$ là hình bình hành (các đỉnh của tất cả các tứ giác đều cùng hướng) thì đường đứt nét $ABTE$ không tự giao nhau và giới hạn hình bình hành.
   (B. Fedotov)

6. Giải phương trình
   $$x^3 - y^3 = xy + 61$$
   trong các số tự nhiên $x$ và $y$. (S. Konyatsin, A. Slinko)

7. Trong một giải đấu bóng đá, 18 đội thi đấu với nhau 8 vòng - trong đó đội thi đấu với 8 đội khác nhau. Chứng minh rằng có 3 đội chưa thi đấu một trận nào.
   (S. Konyatsin)

8. Các điểm $C_1, A_1, B_1$ được lấy trên các cạnh tương ứng với $AB, BC$ và $CA$ của tam giác $ABC$ sao cho $|AC_1|:|C_1B| = |BA_1|:|A_1C| = |CB_1|:|B_1A| = 1:3$. Chứng minh rằng chu vi $P$ của tam giác $ABC$ và chu vi $P_1$ của tam giác $A_1B_1C_1$ liên hệ với nhau bởi bất đẳng thức
   $$\frac{1}{2}P < P_1 < \frac{3}{4}P.$$

(B. Turchinnov)

lớp 9

5. Chứng minh rằng nếu số dương $x, y$ thỏa mãn phương trình $x^3 + y^3 = x - y$ thì $x^2 + y^2 < 1$. (G. Galperin)

6. Học sinh cần sao chép một đa giác lồi vừa với một hình tròn có bán kính 1. Đầu tiên, học sinh tách cạnh thứ nhất, từ đầu của nó vẽ cạnh thứ hai - thứ ba, v.v. Sau khi xây dựng xong, em phát hiện ra rằng đa giác không đóng, đỉnh đầu tiên và đỉnh cuối cùng anh vẽ cách nhau $d$. Được biết, học sinh vẽ các góc một cách chính xác và sai số tương đối khi vẽ độ dài mỗi cạnh không vượt quá số $p$. Chứng minh rằng $d \leq 4p$. (N. Kartashov)

7. Mỗi đỉnh của hình lập phương chứa một số. Trong một bước, một số được cộng vào hai số được đặt trên một (bất kỳ) cạnh nào. Có thể làm cho tất cả tám số bằng nhau trong một số bước như vậy nếu các số được đặt ở đầu, như trong Hình 1? Giống như trong Hình 2? Giống như trong Hình 3? (N. Vasiliev)

8. Tìm ít nhất một số tự nhiên $n$ sao cho mỗi số $n, n+1, n+2, \dots, n+20$ có ước chung lớn hơn một với số 30 030 = 2·3·5·7·11·13. (Yu. Nesterenko)

lớp 10

5. Các số tự nhiên từ 100 đến 999 đều được ghi trên thẻ riêng. Các lá bài được đặt theo số trên bàn, di chuyển rồi xếp thành một chồng. Chúng ta sẽ mở các thẻ tuần tự từ đống này, sắp xếp chúng, sắp xếp chúng thành các khối theo số theo chữ số thấp nhất của số đã viết. Khối thứ nhất sẽ chứa tất cả các số tận cùng bằng 0, khối thứ hai sẽ chứa tất cả các số tận cùng bằng 1, v.v. Chúng ta hãy xếp tất cả các khối thành một chồng, đặt khối thứ hai lên trên khối đầu tiên và cuối cùng là khối mười. Chồng thẻ thu được sẽ được sắp xếp lại nhưng bây giờ, khi mở thẻ ra, chúng ta sẽ sắp xếp chúng thành các hình khối theo chữ số cao nhất. Sau lần sắp xếp này, các thẻ sẽ được sắp xếp theo thứ tự nào trong bảng, như đã chỉ ra trước đó? (Yu. Nesterenko)

6. Có 6 điểm trong hình chữ nhật $3 \times 4$. Chứng minh rằng tồn tại một cặp điểm

46

Thí sinh tham gia Olympic Toán nhận bằng cấp 1. Hàng đầu tiên (từ trái sang phải): A. Nikolaev, K. Cherans, J. Britals, I. Zhukov; ở hàng thứ hai: V. Shevchinin, N. Grinberg, Yu. Ekishev, V. Alekseev, G. Perelman; ở hàng trên cùng: T. Malanok, L. Lapshin.

cách xa nhau không quá $\sqrt{5}$. (G. Mustafin, Y. Nesterenko)

7. a) Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của đa thức
   $$P(x, y) = 4 + x^2y^4 + x^4y^2 - 3x^2y^2.$$

6. Chứng minh rằng đa thức này không thể biểu diễn dưới dạng tổng bình phương của các đa thức biến $x, y$. (G. Mustafin, Y. Nesterenko)

8. Các đoạn AD, BE, CF đóng vai trò là các cạnh bên của hình tam giác đều. Dựa vào ABC, tìm tất cả các điểm cách đều các đường thẳng AE, BF, CD. (Yu. Nesterenko)

Ở lớp tám, khó nhất là bài toán Số 5, ở lớp chín - bài toán Số 4, ở lớp mười - bài toán Số 4 và số 8. Tất cả những câu còn lại bài toán đã được khoảng 4 đến một nửa số người tham gia giải được.

Sự phân bố các thuộc tính theo lớp được đưa ra trong bảng. Bạn sẽ tìm thấy tên của họ trên trang. 54. Ngoài 84 giải thưởng, còn có 23 thí sinh khác nhận được giải thưởng.

| được trao giải | Bằng cấp đầu tiên | Các văn bằng cấp hai | Các văn bằng cấp ba | Tổng cộng | TRONG % |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Lớp 8 (trong tổng số 39) | 4 | 15 | 7 | 26 | 66 |
| Lớp 9 (trong tổng số 47) | 2 | 12 | 11 | 25 | 53 |
| Lớp 10 (trong tổng số 62) | 6 | 10 | 15 | 31 | 50 |

Giải thưởng đặc biệt do ban biên tập và biên tập tạp chí «Kvant» - bìa tạp chí «Kvant» năm 1980 với tác giả là học giả I. K. Kikon - đã được trao cho Janis Britals (Riga). Việc đăng ký tạp chí «Kvant» cho năm 1982 đã được trao cho học sinh lớp chín Nadya Abdrafikova (Belorets) và học sinh lớp tám Vitya Viktorov (Ryazan), Olee Kudinov (Zarinsk), Vitaly Stakhovsky (Kapustin Yar) và Zhenya Shmelev (khu định cư Nadezhny, Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết tự trị Yakt).

Đôi lời về thành phần và công việc của ban giám khảo. Công việc của ban giám khảo do Viện sĩ-Thư ký Viện Hàn lâm Khoa học Kazakhstan đứng đầu. SSR O. A. Zhautykov, ông đã được giúp đỡ bởi hai thông báo - phó giáo sư của Học viện Chính trị Kazakhstan S. K. Kaneev và nhà nghiên cứu cấp cao tại Đại học quốc gia Moscow V. V. Vavilov. Trong mỗi lớp có hai giám tuyển: lớp 8 - A. M. Slinko và L. P. Falaleev, lớp 9 - A. P. Savin và K. K. Kabdykairov, lớp 10 - Yu. V. Nesterenko và K. Zh. Nawyzybaev. Tổng cộng, bồi thẩm đoàn bao gồm 53 người. Khách mời danh dự tại Thế vận hội là Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Ukraina B.V. Gnedenko. Như thường lệ, các thành viên ban giám khảo đã tiến hành đánh giá bài toán cho các trưởng nhóm và riêng cho học sinh. Trước khi phân tích bài toán cả người quản lý và

47

học sinh nhận được lời giải tất cả bài toán, do ủy ban phương pháp chuẩn bị.

Vào ngày bế mạc Olympic, ban giám khảo tổ chức “trận chiến toán học” giữa đội Vật lý số 18, Đại học Tổng hợp Matxcơva và đội Vật lý số 45, Đại học bang Leningrad. Muscovites giành chiến thắng với tỷ số 42:38. Tại cuộc đấu, một số bài toán của Olympic Sinh viên Moscow năm nay đã được trao.

Những người chủ trì Olympic đã đáp lại các nhà toán học trẻ bằng sự nồng nhiệt và quan tâm sâu sắc. Chương trình Olympic bao gồm các cuộc gặp gỡ với các nhà khoa học và sinh viên, tham quan nhà hát và bảo tàng, tham quan thành phố, tham quan khu liên hợp thể thao Medeo, các buổi tối của khoa và nhiều hơn thế nữa. Các nhà toán học trẻ đặt hoa tại tượng đài V.I. Lenin và Đài tưởng niệm vinh quang, đồng thời tham gia Ngày thanh lọc cộng sản theo chủ nghĩa Lênin của toàn Liên minh. Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Hàn lâm Khoa học, Bộ Giáo dục, Ủy ban Trung ương Komsomol Kazakhstan, ban giám hiệu, cán bộ và sinh viên trường nguồn vật lý và toán học,

J. Britals, người đã nhận được giải thưởng tạp chí đặc biệt «Kvant».

Chúng tôi đã làm mọi thứ có thể để biến Olympic thành một lễ tôn vinh thực sự của các nhà toán học trẻ.

Lời giải và gợi ý

lớp 8

1. Diện tích yêu cầu là 32(√2−1).

Chúng ta biểu thị bằng $S_{чч}$ diện tích giao điểm của các ô k đen của bảng trên cùng với các ô đen và các ô của bảng dưới cùng, và bằng $S_{чб}$ diện tích giao nhau của các ô k đen của bảng trên cùng với các ô trắng và các ô của bảng dưới cùng. Chúng ta hãy giới thiệu tương tự các ký hiệu $S_{чч}$ và $S_{чб}$. Khi đó $S_{чч} + S_{чб} + S_{чб} = S$, trong đó $S$ là diện tích của động vật thân mềm trong Hình 4.

Hình 4.

Nếu từ vị trí ban đầu, chúng ta di chuyển tấm bảng trên cùng quanh tâm 90° thì các ô màu đen của nó sẽ chuyển thành màu trắng và các ô màu trắng của nó sẽ chuyển thành màu đen. Vì vậy, $S_{чч} = S_{чб}$ và $S_{чб} = S_{чб}$. Nếu từ vị trí ban đầu, chúng ta chồng cả hai bảng lên 90° thì các ô màu đen sẽ chuyển sang màu trắng trên cả hai bảng, vì vậy $S_{чб} = S_{чб}$ và $S_{чб} = S_{чб}$. Vì vậy $S_{чч} = S_{чб} = S_{чб}$, tức là $S_{чч} = \frac{1}{4} S$. Tất cả những gì còn lại là tìm $S$.

2. Cho các điểm cố định $A, B$ và $N$, việc chỉ định điểm $A_1$ xác định vị trí của điểm $M$ và do đó xác định vị trí của điểm $B_1$. Do đó, đối với $A, B, N$ cố định, chúng ta thu được một số ánh xạ $A_1 \rightarrow B_1$ của các điểm vòng tròn vào chính nó (Hình 5).

Hình 5.

Dễ dàng nhận thấy ánh xạ φ là sự kết hợp của hai quan hệ đối xứng trục gồm các đường $l_1 \parallel (BN)$ và $l_2 \parallel (AN)$ đi qua tâm của đường tròn (xem Hình 5), do đó trên thực tế φ là một phép quay quanh tâm (xem «Kvant», 1980, Số 3, trang 5).

Để xác định góc quay, ta tìm ảnh $\varphi(B)$ của điểm $B$. Điểm phản chiếu $B$ so với đường thẳng $l_1$, ta thu được điểm $B'$, là đầu đối diện của đường kính đi qua $N$. Phản ánh $B'$ so với $l_2$, chúng ta nhận được $A$. Vì vậy, $\varphi(B) = A$. Nếu trên-

48

hướng từ điểm $A$ đến điểm $B$ được coi là dương thì $\varphi$ là phép quay một góc, góc ở tâm bổ sung dựa trên cung $AB$, đến $2\pi$.

Tạo dáng luôn $AB + A_1B_1 = 2\pi$.

Chúng tôi để lại chứng minh rằng các điều kiện $AA_1$ và $BB_1$ song song trong trường hợp này cho độc giả.

4. Hãy chọn một số cột trong bảng của chúng tôi. Đặt hàng đầu tiên của cột này chứa số $a$, hàng thứ hai - $m$ và hàng thứ ba - $n$. Hãy chứng minh rằng dòng thứ tư lại chứa số $m$. Để đơn giản cho việc trình bày, chúng ta sẽ loại bỏ tất cả các cột phía trên cạnh. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng ở hàng thứ ba (“bảng cắt ngắn”) số $n$ xuất hiện chính xác $m$ lần.

Thực tế là ở dòng thứ hai, số $m$ xuất hiện chính xác $n$ lần có nghĩa là ở dòng đầu tiên có một số $n$ số khác nhau $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$ và chúng xuất hiện ít nhất $m$ lần mỗi số, với $a$ chính xác là $m$ lần. Mỗi số $a_i$ và số $a$ đôi khi xuất hiện lần đầu tiên, thứ hai, …, $m$th; do đó, các số 1, 2, …, $m-1$, $m$ xuất hiện ở dòng thứ hai ít nhất $n$ lần ($m$ chính xác là $n$ lần). Số $m+1$ xuất hiện ít hơn $n$ lần ở dòng thứ hai hoặc chỉ có số $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$ mới có thể xuất hiện ở dòng đầu tiên $(m+1)$ lần. Đặc biệt số $m+2, m+3, \dots$ không được xuất hiện ở dòng thứ 2 $n$ trở lên. Vì vậy, ở dòng thứ hai lần thứ $n$ các số 1, 2, …, $m$ và chỉ chúng xuất hiện. Do đó, ở dòng thứ ba, số $n$ xuất hiện chính xác $m$ lần, đó là con số bắt buộc.

5. Từ thực tế là năm tứ giác được liệt kê là hình bình hành, suy ra rằng các vectơ bằng nhau: $\vec{PC} = \vec{HA}, \vec{AE} = \vec{MB}, \vec{HA} = \vec{BT}, \vec{MB} = \vec{XK}, \vec{XK} = \vec{PC}$. Từ họ, chúng tôi nhận được $\vec{AE} = \vec{BT}$, đó là những gì được yêu cầu.

6. Rõ ràng là $x > y$. Đặt $x = y + d$, trong đó $d \geq 1$ ($d$ là số tự nhiên). Sau đó, $(3d-1)y^2 + (3d-1)yd + d^3 = 61$, từ đó $d^3 < 61$, tức là $d = 1$, 2 hoặc 3. Ba giá trị có thể có của $d$ này cho chúng ta ba phương trình bậc hai, trong đó chỉ có một ($\text{при } d = 1$) có nghiệm tự nhiên $y = 5$. Đồng thời $x = 6$.

7. Khoảng cách một trong các đội. Cô ấy chơi với tám đội và không chơi với chín đội. Nếu trong số chín người cuối cùng này có hai người chưa từng đấu với nhau thì mọi chuyện đã được chứng minh. Hãy giả sử rằng đây không phải là trường hợp. Sau đó, tất cả chín đội này thi đấu với nhau và họ phải thi đấu 36 trận. Tuy nhiên, trong một vòng đấu, 9 đội này chỉ được thi đấu 4 trận, còn trong 8 vòng đấu - 32 trận. Mâu thuẫn!

lớp 9

1. Có hai trường hợp có thể xảy ra khi phân rã các parabol $y = -x^2$ và $y = x^2 - 2x + a$ - chúng được hiển thị trong Hình 6 và 7. Các hình tương tự biểu thị các đường thẳng cần thiết. Sau khi xử lý tọa độ các điểm giao nhau của parabol, chúng ta thu được đáp số: diện tích cần tìm là $(1-a)\sqrt{1-a}$, nếu $a \leq 0$ và $1-2a$, nếu $0 < a < \frac{1}{2}$; nếu $a \geq \frac{1}{2}$, tập lời giải của hệ là let hoặc bao gồm một điểm - diện tích của đường thẳng có thể nhỏ bằng góc.

2. Tuyên bố bài toán xuất phát từ thực tế là tam giác CAD, khi quay theo góc $60^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ gần đỉnh $C$, sẽ trở thành tam giác CBE (Hình 8) và tam giác HBE, khi quay theo góc $60^\circ$ theo chiều kim đồng hồ quanh $H$, thành tam giác HDK.

3. Rõ ràng là $x > y > 0$. Từ $\frac{x^3+y^3}{x-y} = 1$ theo sau $\frac{x^3-y^3}{x-y} < 1$, $x^2+xy+y^2 < 1$. Nhưng $x^2+y^2 < x^2+xy+y^2$.

4. Chúng ta hãy chỉ định cho mỗi bên hướng mà nó được ký gửi. Hãy thiết kế các công trình của chúng ta bằng ví dụ về kết nối điểm bắt đầu và điểm kết thúc (tìm khoảng cách $d$). Sai số tương đối không thay đổi trong quá trình thiết kế này. Tổng độ dài của các hình chiếu của một cạnh của đa giác, hướng theo một hướng, cũng không vượt quá 2 (đường kính của hình tròn), theo hướng kia, và ngay cả khi tất cả các lỗi hình chiếu đều hướng theo cùng một cách, thì tổng của chúng không vượt quá 2$p+2p=4p$, tức là $d \leq 4p$.

5. Đặt $m = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot k$, trong đó $k$ là số tự nhiên. Bằng cách chọn $k$ sao cho số $m-1$ chia hết cho 11 và số $m+1$ chia hết cho 13, ta thấy số $n=m-10$ thỏa mãn mọi điều kiện của bài toán. Ví dụ: đây là $k=45$; thì $n=9440$.

lớp 10

1. Hãy đặt $f(x) = a \cdot \cos x + b \cdot \cos 3x$. Tuyên bố bài toán xuất phát từ thực tế là với tất cả các mục tiêu $n$ thì các bất đẳng thức $f(\pi n) \leq 1$ và $f\left(\frac{\pi}{3} + \pi n\right) \leq 1$ đều được thỏa mãn, nghĩa là
   $$\begin{cases} -1 \leq a+b \leq 1, \\ -1 \leq \frac{a}{2} - b \leq 1 \end{cases}$$ (xem Hình 9).

49

2. Câu bài toán vẫn có hiệu lực nếu trong điều kiện từ “hình chữ nhật” được thay thế bằng từ “hình bình hành”.

Hãy vẽ một hình bình hành $KL'MN'$, trong đó $L'$ và $N'$ là trung điểm của cạnh BC và AD (Hình 10). Đối với hình bình hành này, phát biểu là hiển nhiên. Có thể hình bình hành KLMN của chúng ta không trùng với nó không? Vì chúng có chung tâm đối xứng (giữa đoạn KM), điều này chỉ có thể xảy ra trong trường hợp khi $(NN') \parallel (LL')$, tức là tứ giác ABCD là hình thang $(AD) \parallel (BC)$ tính từ đường giữa KM. Diện tích của hình thang này $h \cdot |KM|$ ($h$ là khoảng cách giữa các đường thẳng AD và BC) hiển nhiên gấp đôi diện tích hình bình hành KLMN.

3. Đáp số: $x_n = 1$ ($n \in \mathbb{N}$), $x_n = n$ ($n \in \mathbb{N}$).

Lời giải. Từ $x_1 \leq 1$ theo sau $x_1 = 1$; $x_2 \leq 2\sqrt{2} < 3$, vậy $x_2$ là 1 hoặc 2.

1. Nếu $x_2 = 1$ thì hiệu $x_n - 1$ của mỗi $n$ sẽ chia hết cho $(n-1)$ $(n-2)$. Nếu $x_n \neq 1$ thì $(n-1)(n-2) \leq |x_n-1| \leq n\sqrt{n}+1$.

Những bất đẳng thức này không thể giữ đủ lớn $n$. Do đó $x_n = 1$ cho $n$ đủ lớn. Cho $m$ là một số tự nhiên tùy ý. Hiệu số $x_{n+m} - x_m$ được chia cho $n$. Nếu $n$ đủ lớn thì $n$ chia chênh lệch $1 - x_m$ (đối với bất kỳ $n$ nào đủ lớn). Theo đó, $x_m = 1$, tức là các số hạng của dãy bằng 1.

2. Nếu $x_2 = 2$, thì đối với bất kỳ $k$ nào, sự khác biệt $x_k - x_1 = x_k - 1$ và $x_k - x_2 = x_k - 2$ lần lượt được chia thành $k-1$ và $k-2$. Điều này tương đương với việc chia chênh lệch $x_k - k$ cho $(k-1)(k-2)$. Nếu $x_k \neq k$ thì $(k-1)(k-2) \leq |x_k - k| \leq k\sqrt{k}+k$,

điều này là không thể đối với $k$ đủ lớn, và do đó $x_k = k$ đối với $k \geq K_0$. Khi đã sửa, không thể thực hiện được với $k$ đủ lớn và do đó $x_k = k$ cho $k \geq K_0$. Khi đã sửa, không thể thực hiện được với $k$ đủ lớn và do đó $x_k = k$ cho $k \geq K_0$.

Hình 9.

Hình 10.

Hình 11.

7. a) Giá trị nhỏ nhất của đa thức là 3. Hãy chứng minh điều đó. Chúng tôi có $4 + x^2y^4 + x^4y^2 - 3x^2y^2 = 4 + x^2y^2(x^2 + y^2) - 3x^2y^2 \geq 4 + x^2y^2 \cdot 2|xy| - 3x^2y^2$ (chúng tôi đã sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình số học và trung bình hình học cho các số $x^2, y^2$).

Chúng ta hãy giới thiệu các ký hiệu sau: $t = |xy|$, $f(t) = 4 + 2t^3 - 3t^2$. Dễ dàng chứng minh rằng tại điểm $t = 1$ đa thức $f(t)$ có giá trị nhỏ nhất trên tập hợp $t \geq 0$. Vì vậy $P(x, y) \geq f(1) = 3$.

Số 3 là giá trị của đa thức $P(x, y)$ tại $x = y = 1$.

6. Hãy để $4 + x^2y^2 + x^4y^2 - 3x^2y^2 = g_1^2 + g_2^2 + \dots$,

(1) trong đó $g_1, g_2, \dots$ là một số đa thức có bậc rõ ràng không vượt quá ba. Chúng ta hãy biểu thị $g_i$ dưới dạng tổng $g_i = a_i + b_i + c_i + d_i$, trong đó $a_i, b_i, c_i, d_i$ là các đa thức đồng nhất bậc tương ứng với 3, 2, 1, 0 (tất nhiên, một số trong số chúng chỉ có thể là số 0 thực) *. So sánh trong (1)

*) Đa thức $g(x, y)$ được gọi là bậc đồng nhất $k$ nếu tất cả các hiệp phương sai của nó có bậc $k$, tức là $g(tx, ty) = t^k \cdot g(x, y)$.