Con lắc Maxwell

18

Con lắc Maxwell

“Một phần quan trọng trong trách nhiệm của chúng tôi là thiết lập các thí nghiệm sáng tạo, khuyến khích người khác thực hiện và phát triển theo mọi cách có thể những ý tưởng mà họ soi sáng. Chất liệu của trải nghiệm minh họa càng đơn giản và càng thấm nhuần vào học sinh thì anh ta sẽ càng hiểu rõ hơn ý tưởng mà trải nghiệm này sẽ minh họa. Giá trị giáo dục của những thí nghiệm như vậy thường tỷ lệ nghịch với độ phức tạp của thiết bị.”
Những lời này của James Clerk Maxwell, nhà vật lý vĩ đại người Anh, người được tổ chức sinh nhật lần thứ 10 trong năm nay, dường như đặc biệt dành cho Phòng thí nghiệm «Kvant». Trong bài viết này, chúng tôi muốn chuyển sang thiết bị mang tên ông - cái gọi là ma trận Maxwell. Dễ chế tạo, nó thường được thể hiện trong các bài giảng về cơ học và cho phép người ta xác định một số kiểu chuyển động thú vị của một vật rắn.

Hãy nhìn vào bức ảnh của một ma trận như vậy (Hình 1). Đây là một đĩa được gắn trên một trục có gắn hai sợi chỉ (đầu trên của chúng được cố định). Xoay các sợi quanh trục và đĩa sẽ nâng lên. Bây giờ hãy thả matrifik ra - và nó bắt đầu thực hiện một chuyển động định kỳ: đầu tiên đĩa hạ xuống, các sợi giãn ra, đĩa quay ngày càng nhanh hơn; khi đạt đến điểm thấp nhất và tiếp tục hồi phục theo quán tính, đĩa thay đổi hướng chuyển động và hướng lên trục, chuyển động của đĩa chậm lại; ở điểm cao nhất, ma trận dừng lại một lúc và lại bắt đầu chuyển động đi xuống, v.v.

Chúng tôi muốn cảnh báo ngay với độc giả rằng ma trận sẽ dao động đều đặn và trong thời gian khá dài nếu đáp ứng một số điều kiện. Bản thân đĩa phải tương đối nặng (m>100 g) và lớn (dynamir 5-8 cm), trục phải mỏng (dynamir 4-5 mm) và “không trọng lượng”, đồng thời các ren phải chắc chắn và đủ dài (~0,5 m). Đảm bảo rằng đĩa nằm đúng giữa trục và vuông góc với nó, đồng thời các ren có cùng chiều dài.

Để nghiên cứu các mô hình chuyển động của ma trận, chúng ta cần

Hình 1.
Hình 2.

19

Một bộ phận có kim giây (tất nhiên, đồng hồ bấm giờ thì tốt hơn) và một bộ đĩa - cùng bán kính, nhưng độ dày (khối lượng) khác nhau, cũng như bán kính khác nhau, nhưng có cùng độ dày. Thật thuận tiện để làm cho đĩa có thể tháo rời được; một trong những cách để cố định chúng vào trục được thể hiện trong ảnh ở Hình 2.

Vì vậy, hãy bắt đầu thí nghiệm của chúng tôi. Quan sát dao động của các nam châm khác nhau cho kết quả đầu tiên - chu kỳ dao động, tức là tổng thời gian đi xuống và đi lên của nam châm, không phụ thuộc vào khối lượng của đĩa mà phụ thuộc vào bán kính của nó, và sự phụ thuộc này gần như tỷ lệ thuận.

Hơn nữa, có thể dễ dàng nhận thấy rằng theo thời gian, các dao động mờ đi khá rõ rệt và biên độ của chúng càng nhỏ (độ cao tăng tối đa) và tốc độ quay của đĩa càng thấp thì nam châm hoạt động càng kém ổn định. Cũng rất thú vị khi thực hiện thí nghiệm sau: bằng cách đặt một số khả năng (nghĩa là loại bỏ nam châm khỏi trạng thái nguồn), theo dõi sự suy giảm của chúng khi nam châm di chuyển. Ví dụ, nếu tại thời điểm phóng, bạn xoay nhẹ đĩa trong mặt phẳng ngang thì khi rơi xuống, nó sẽ nhanh chóng trở lại vị trí tương đối ổn định. Nhưng nếu bạn làm lệch hướng nam châm trong mặt phẳng quay của nó, thì thực tế cho đến khi kết thúc chuyển động, cả hai dao động đều được duy trì: lên và xuống và trong mặt phẳng quay.

Bây giờ chúng ta hãy cố gắng giải thích một số kết quả thử nghiệm của chúng tôi. Để đơn giản, chúng ta hãy giả sử rằng toàn bộ khối lượng của đĩa đang nói đến tập trung trên bề mặt của nó, nghĩa là nam châm không phải là một cái đĩa mà là một cái vòng.

Chúng ta hãy biểu thị bán kính của vòng bằng $R$ và bán kính của trục là $r$ (Hình 3). Chúng ta hãy xét lúc này nam châm đã rơi xuống một khoảng $h$ tính từ vị trí trên cùng. Mỗi điểm của vòng, chẳng hạn như điểm $A$, đồng thời tham gia vào hai chuyển động: chuyển động sau khi quay cùng với trục $O$ đi xuống với tốc độ $\vec{v}_0 = \vec{v}_{\text{пост}}$ và chuyển động quay với tốc độ $\vec{v}_1 = \vec{v}_{\text{пост}} + \vec{v}_{\text{пост}}$.

Sợi chỉ bị ăn mòn mà không bị xuyên thủng, nghĩa là tốc độ tức thời của điểm $B$ bằng không. Do đó, chuyển động của nam châm cũng có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi chuyển động quay liên tiếp xung quanh tâm quay tức thời $B$. Khi đó đẳng thức đúng

$$\frac{v_0}{v_A} = \frac{r}{R-r}, \text{ или } \frac{v_{\text{пост}}}{v_{\text{bp}} - v_{\text{пост}}} = \frac{r}{R-r} \tag{1}$$

(chúng tôi biểu thị mô-đun có tốc độ cụ thể bằng chữ cái $v$). Từ đây

$$\frac{v_{\text{пост}}}{v_{\text{bp}}} = \frac{r}{R}.$$

Bây giờ chúng ta sử dụng định luật bảo toàn năng lượng:

$$mgh = \frac{mv_{\text{пост}}^2}{2} + \frac{mv_{\text{bp}}^2}{2} \tag{2}$$

Chúng ta trình bày động năng (vế phải của đẳng thức (2)) dưới dạng hai số hạng - năng lượng của chuyển động tịnh tiến và năng lượng chuyển động quay của vectơ trọng lực*).

Từ động học người ta biết rằng

$$v_{\text{пост}}^2 = 2ah, \tag{3}$$

trong đó $a$ là mô đun gia tốc của chuyển động tịnh tiến của nam châm.

*) Khả năng phân vùng như vậy có thể được chứng minh một cách chặt chẽ, nhưng về mặt trực giác thì điều này là rõ ràng.

20

Hình 4.

Do đó, từ phương trình (1) - (3) chúng ta tìm thấy:

$$a = \frac{g}{1 + (R/r)^2}.$$

Trong trường hợp của chúng ta $R/r \gg 1$ (trong điều kiện này, yêu cầu về “không trọng lượng” của trục được đáp ứng), do đó chúng ta có thể giả sử rằng

$$a = g \left( \frac{r}{R} \right)^2.$$

Nếu độ dài của sợi tháo là $l$ thì $l = at^2/2$ và chu kỳ dao động của ma trận bằng

$$T = 2t = 2\sqrt{\frac{2l}{a}} = 2\frac{R}{r}\sqrt{\frac{2l}{g}}.$$

Đối với đĩa, công thức (4) và (5) được chuyển đổi tương ứng (xem phần “Bổ sung”):

$$a = 2g \left( \frac{r}{R} \right)^2,$$

$$T = 2\frac{R}{r}\sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Bây giờ chúng ta có thể so sánh kết quả tính toán và thí nghiệm. Từ (4’) và (5’), rõ ràng là cả gia tốc $a$ và chu kỳ $T$ đều không phụ thuộc vào khối lượng của đĩa mà phụ thuộc vào tỷ số của bán kính $R/r$: $R$ càng lớn (so với $r$), gia tốc càng nhỏ và theo đó, chu kỳ dao động càng dài. Thực tế này phù hợp với thực nghiệm. Nhưng nếu bạn thực hiện các thí nghiệm một cách cẩn thận, bạn sẽ nhận thấy rằng khoảng thời gian tính toán (5’) nhỏ hơn khoảng thời gian thử nghiệm. Điều này, như đã đề cập, là do sự suy giảm. Bạn nghĩ sao - chính xác thì lỗi chi tiết nhất, lỗi lớn nhất xảy ra ở đâu?

Cuối cùng, người ta có thể tiếp tục với một thử nghiệm rất hiệu quả khác với ma trận Maxwell, nhưng để làm được điều này cần phải gọi mọi thứ (Hình 4). Đầu tiên, với ma trận đứng yên, đưa mọi thứ về trạng thái cân bằng, sau đó giải phóng ma trận. Sự cân bằng sẽ bị phá vỡ: ma trận dường như trở nên nhẹ nhàng hơn. Tại sao? Hãy tự mình giải thích.

Thêm vào

Đối với những người đã quen với phép tính tích phân, chúng tôi trình bày cách dẫn xuất công thức tính động năng của một đĩa quay, từ đó sẽ dễ dàng thu được các công thức (4’) và (5’).

Chia một đĩa có bán kính $R$ thành các bánh xe mỏng $n$ có chiều rộng $\Delta x$ mỗi bánh (Hình 5). Động năng của một bánh xe có bán kính $x$ và chiều rộng $\Delta x$ bằng

$$\Delta E_k = \left( \varrho 2\pi xb \Delta x \right) \frac{\omega^2 x^2}{2},$$

trong đó $\varrho$ là mật độ của vật liệu đĩa, $b$ là độ dày của nó, $\omega$ là tốc độ góc quay và biểu thức trong ngoặc đơn là khối lượng của vòng đã chọn.

Hình 5.

Động năng của toàn bộ đĩa xấp xỉ bằng tổng động năng của từng bánh xe:

$$E_k \approx \sum \Delta E_k.$$

Nếu chúng ta tiến tới giới hạn khi $n$ tiến tới vô cùng thì đẳng thức gần đúng sẽ trở nên chính xác:

$$E_k = \lim_{n \to \infty} \sum \Delta E_k =$$

$$= \int_0^R \varrho 2\pi xb \frac{\omega^2 x^2}{2} dx =$$

$$= \frac{\varrho \pi b \omega^2 R^4}{4} = \frac{\varrho \pi R^2 b \omega^2 R^2}{4} = \frac{m \omega^2 R^2}{4}.$$

Động năng của một vòng quay có cùng khối lượng là $mv^2/2 = m\omega^2 R^2/2$. Do đó, động năng của đĩa nhỏ hơn hai lần.

Tự rút ra công thức (4’) và (5’).