số phức

4

Bây giờ chúng ta hãy đặt bài toán để mở rộng khái niệm về số hoặc, như người ta nói trong đại số trừu tượng, để mở rộng trường $R$ sang trường $K$ theo cách mà trong trường mới này $K$ phương trình

$$z^2 + 1 = 0$$

(1)

đã có lời giải. Chúng ta biểu thị phần tử trường $K$ thỏa mãn phương trình (1) bằng $i$. Vì vậy, với $i$ chúng ta có

$$i^2 = -1.$$

(2)

Vì trường $K$ chứa tất cả các số thực và phần tử $i$ và vì có thể cộng và nhân trong đó nên trường $K$ phải chứa tất cả các đa thức có thể có đối với $i$ với các hệ số thực, đặc biệt - tất cả các đa thức bậc một, tức là các biểu thức có dạng

$$z = x + yi = x + iy,$$

trong đó $x$ và $y$ là số thực. Những biểu thức này được gọi là số phức. Chúng ta định nghĩa các hành động trên chúng là các hành động trên đa thức, có tính đến điều kiện (2). Số phức có dạng

$$z = x + 0i = x$$

là những số thực. Số phức có dạng

$$z = 0 + yi = yi$$

Số đó được gọi là số tối thiểu.

Cho $z_1 = x_1 + y_1 i$, $z_2 = x_2 + y_2 i$ là hai số phức. Theo quy tắc đã nêu, tổng và tích của các số phức này được xác định bằng các đẳng thức

$$z_1 + z_2 = (x_1 + y_1 i) + (x_2 + y_2 i) > = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) i;$$

$$z_1 z_2 = (x_1 + y_1 i) (x_2 + y_2 i) = x_1 x_2 + (x_1 y_2 + y_1 x_2) i + y_1 y_2 i^2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2 + y_1 x_2) i.$$

Khi đạt được đẳng thức cuối cùng, chúng ta sử dụng kết quả

$$x_1 z_2 = x_1 x_2 + x_1 y_2 i.$$

(5)

Từ công thức (3) và (4) rõ ràng tổng và tích của hai số phức

Trong mọi số đều có số phức.

Để đảm bảo rằng hành động trừ, nghịch đảo của hành động cộng, tồn tại, chỉ cần tìm số - $z$, số đối diện với số $z$, và để đảm bảo có thể chia được, chỉ cần $z \neq 0$ chỉ ra số $z^{-1}$, nghịch đảo của số $z = x + yi$ là đủ. Những con số này, dễ dàng nhận thấy, được đưa ra bởi các công thức

$$-z = -x - yi,$$

$$z^{-1} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2} i.$$

Do đó, đại lượng $z^{-1}$, nghịch đảo của $z$, tồn tại bất cứ khi nào $z \neq 0$.

Biểu diễn hình học của số phức

Chúng ta hãy biểu thị mặt phẳng của bản vẽ của chúng ta bằng $P$ và chọn hệ tọa độ hình chữ nhật trên đó (Hình 1). Chúng ta sẽ đặt số phức $z = x + yi$ tại điểm $z = (x; y)$ có ​​tọa độ $x, y$. Chúng ta cũng biểu thị bằng $z$ vectơ đi từ gốc $O$ đến điểm $z$. Do đó, chữ cái $z$ đồng thời biểu thị một số phức, điểm $z$, đại diện cho số phức này và vectơ $z$, tương ứng với số phức này. Trong trường hợp này, ảnh của số thực rơi trên trục hoành - do đó trục hoành được gọi là mặt phẳng thực $P$ của biến phức và số của số rơi trên trục hoành - do đó trục hoành được gọi là cực tiểu của mặt phẳng $P$ của biến phức. Số 0 rơi ở gốc tọa độ.

Độ dài của vectơ $z$ được gọi là modуlem của số phức $z =$

Hình 1.

5

$$= x + yi \text{ и обозначется } |z|: |z| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$

Các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $|z| = 1$ tạo thành một đường tròn bán kính 1 có tâm tại gốc tọa độ. Số 1 nằm trên vòng tròn này. Từ điểm 1, chúng ta vẽ một cung có độ dài cho trước $\varphi$ dọc theo đường tròn theo hướng ngược chiều kim đồng hồ. Chúng tôi biểu thị sự kết thúc của dòng này bằng $(\varphi)$. Nếu $\varphi$ là số âm thì để thu được $(\varphi)$ bạn cần trừ độ dài cung $|\varphi|$ từ điểm 1 theo chiều kim đồng hồ. Như đã biết, trục hoành của điểm $(\varphi)$ được gọi là cos $\varphi$, và tọa độ của nó là sin $\varphi$. Do đó, số phức $(\varphi)$ được cho bởi

$$(\varphi) = \cos \varphi + i \sin \varphi.$$

Vì vậy, mọi số phức $z$, bằng 1 theo mẫu, đều được viết dưới dạng (6). Nếu $z$ là một số phức tùy ý có mô hình $|z| = \varphi$ khác 0, thì số $z/\varphi$ là một số phức, theo mô hình, bằng 1 và do đó được viết dưới dạng (6). Từ sự bình đẳng

$$\frac{z}{\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$$

chúng tôi nhận được

$$z = \varphi (\cos \varphi + i \sin \varphi).$$

Ghi (7) được gọi là công thức lượng giác của số phức. Số $\varphi$ được gọi là đối số của số phức. Nếu mô hình $\varphi$ của số phức $z$ được phân biệt với 0 thì đối số $\varphi$ xác định theo thuật ngữ $2\pi k$, trong đó $k$ là số nguyên. Nếu mô hình $\varphi$ của một số phức bằng 0 thì công thức (7) cũng đúng, nhưng trong trường hợp này, đối số của số phức hoàn toàn không được xác định.

Các số $\rho$ và $\varphi$ được gọi là tọa độ cực của điểm $z$.

Bây giờ chúng ta hãy đưa ra một nguồn tác dụng hình học đối với số phức.

Từ công thức (3) và (5) suy ra rằng số phức được cộng và nhân với số thực, giống như vectơ.

Ý nghĩa hình học của việc cộng số phức rất rõ ràng: vectơ $z_1 + z_2$ là đường chéo của hình bình hành dựng trên các vectơ $z_1$ và $z_2$. Điều này dẫn tới sự bất bình đẳng quan trọng

$$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|.$$

Để đưa ra nguồn hình học của phép nhân số phức, bạn cần sử dụng thao tác quay một vectơ hoặc tương tự như số phức. Xoay vectơ $z$ ngược chiều kim đồng hồ theo góc $\alpha$, chúng ta nhận được một số vectơ mới, được biểu thị bằng $R_\alpha(\alpha)$. Về mặt hình học, rõ ràng phép toán quay $R_\alpha$ có tính chất sau: nếu $a$ là số thực thì

$$R_\alpha(az) = aR_\alpha(z),$$

$$R_\alpha(z_1 + z_2) = R_\alpha(z_1) + R_\alpha(z_2).$$

Từ hai công thức này, suy ra rằng nếu $a_1$ và $a_2$ là hai số thực thì sự tương ứng $R_\alpha(a_1z_1 + a_2z_2) = a_1R_\alpha(z_1) + a_2R_\alpha(z_2)$ đúng.

Cũng rõ ràng ngay rằng

$$R_\alpha(1) = \cos \alpha + i \sin \alpha.$$

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng việc xoay số phức $z = x + yi$ theo góc $\alpha$ tương đương với việc nhân nó với số phức $\cos \alpha + i \sin \alpha$, nghĩa là

$$R_\alpha(z) = (\cos \alpha + i \sin \alpha)z.$$

Để làm điều này, trước tiên chúng ta xem xét riêng phép quay qua góc $d = \frac{\pi}{2}$. Trong trường hợp này, $\cos d + i \sin d = i$ và đẳng thức (11) có dạng $R_dz = iz$. Một mặt, có những ước tính hình học rằng $R_d(1) = i, R_d(i) = -1$. Mặt khác, $i \cdot 1 = i, i \cdot i = -1$. Như vậy,

$$R_d(1) = i \cdot 1, R_d(i) = i \cdot i.$$

Nó suy ra trực tiếp từ công thức (9)

$$iz = i \cdot (x + iy) = x \cdot i + y(-1) = xR_d(1) + yR_d(i) = R_d(x \cdot 1 + y \cdot 1) = R_d(x + iy) = R_d(z).$$

Như vậy, công thức (11) được chứng minh cho $\alpha = \frac{\pi}{2}$.