Bài toán M731—M735; F743—F747

27

Bài toán

M731—M735; F743—F747

M731. Hai người chơi trò chơi này: người thứ nhất gọi tên số tự nhiên từ 2 đến 9; số thứ hai nhân số này với một số tự nhiên tùy ý từ 2 đến 9; sau đó số đầu tiên nhân kết quả với bất kỳ số tự nhiên nào từ 2 đến 9, v.v.; Người chiến thắng là người đầu tiên sản xuất ra sản phẩm lớn hơn a) nghìn, 6) triệu. Ai thắng khi chơi đúng - người mới bắt đầu hay đồng đội của anh ta?

V. Boltyansky

M732. a) Tam giác ABC mô tả hai hình chữ nhật khác nhau sao cho đáy AC chứa hai đỉnh của mỗi hình chữ nhật (và mỗi đỉnh nằm trên các cạnh AB và BC). Chu vi của mỗi hình chữ nhật bằng 10. Tìm diện tích của tam giác ABC và chứng minh rằng chu vi của hình chữ nhật bất kỳ nội tiếp tam giác ABC có hai đỉnh nằm trên [AC] cũng bằng 10.

6. • Tứ giác ABCD là hai hình chữ nhật có các cạnh song song (sao cho mỗi cạnh AB, BC, CD, DA có một đỉnh của mỗi hình chữ nhật). Chu vi của mỗi hình chữ nhật bằng 10. Tìm diện tích của tứ giác ABCD và chứng minh rằng với bất kỳ điểm nào trên bất kỳ cạnh nào của tứ giác ABCD đều có thể dựng được một hình chữ nhật nội tiếp có đỉnh tại điểm này, các cạnh của nó song song với các cạnh của hình chữ nhật này và chu vi của nó cũng bằng 10

Malkhazi Bergashvili
(Học ​​sinh lớp 10 tại Trường Vật lý Komarov ở Tbilisi)

M733. a) Với m tự nhiên nào thì số 31^m - 1 chia hết cho 2^m? 6) * Chứng minh rằng với mọi a lẻ và m tự nhiên đều có vô số k tự nhiên sao cho a^k - 1 chia hết cho 2^m. b) * Chứng minh rằng với mọi số lẻ a chỉ có hữu hạn số nguyên dương m sao cho a^m - 1 chia hết cho 2^m.

V. Prasolov

28

M734. Đường phân giác của góc $A$ của tam giác $ABC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm $K$. Chứng minh rằng độ dài hình chiếu của đoạn $AK$ lên đường thẳng $AB$ (hoặc $AC$) bằng một nửa độ dài các cạnh $AB$ và $AC$.

R. Mazov

M735. a) Chứng minh rằng một hình tròn có đường kính 1 không thể được che phủ bằng nhiều dải giấy có tổng chiều rộng nhỏ hơn 1 (Hình 1).
b) Trên mặt đất, lớp dày $h$ là phần không gian được bao bọc giữa các mặt phẳng song song, nằm cách nhau một khoảng $h$. Chứng minh rằng một quả cầu có đường kính 1 không thể phủ được nhiều lớp có tổng chiều dày nhỏ hơn 1.

F743. Ở tốc độ tối thiểu nào một hòn đá có thể được ném qua một bức tường có chiều cao $H$ và độ dày $l$, nếu ném từ độ cao $h$?

O. Savigan

F744. Tàu vũ trụ là một quả cầu có thành mỏng cứng có bán kính $R=2$ m, được dẫn hướng bằng chất khí. Bên trong thiết bị có một quả cầu có bán kính $r=R/2$, được dẫn hướng bởi cùng loại khí như trọng lượng của thiết bị, nhưng ở áp suất cao hơn. Quả bóng chạm vào bề mặt bên trong của bộ máy. Do bị hư hại, quả bóng vỡ ra. Tìm áp suất bên trong thiết bị thay đổi bao nhiêu lần nếu trọng lượng của thiết bị dịch chuyển một khoảng $a=0,5$ m. Bỏ qua khối lượng của vỏ; coi nhiệt độ không đổi.

A. Buzdin

F745. Bình cách nhiệt được chia thành hai phần bằng một pít-tông dẫn nhiệt, pít-tông dẫn nhiệt có thể di chuyển vào trong bình mà không có ma sát. Phía bên trái bình chứa 1 mol khí đơn nguyên tử lý tưởng, phía bên phải chứa chân không. Pít-tông được nối với thành bên phải của bình bằng một lò xo (Hình 2), chiều dài của lò xo ở trạng thái tự do bằng chiều dài của bình. Bỏ qua bộ tản nhiệt của bình, piston và lò xo, xác định chi phí nhiệt của hệ thống.

B. Klyachin

F746. Pin điện sử dụng phóng xạ β là một quả cầu kim loại, bên trong đặt một mảnh chất phóng xạ được phân lập từ nó (Hình 3). $v$ nguyên tử phân rã mỗi giây. Giả sử năng lượng của các electron sinh ra trong quá trình phân rã được phân bố đều từ giá trị tối thiểu $W_{\min}$ đến giá trị tối đa $W_{\max}$, hãy xác định suất điện động của pin. Dòng điện tối đa mà pin như vậy có thể tạo ra là bao nhiêu? Điện trở tải lên đến bao nhiêu thì pin có thể được coi là máy phát điện?

N. Vorobiev

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.