Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow

46

Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow

Toán học
Bài thi viết

Tùy chọn 1

1. Có hai hợp kim đồng và bạc, và ở hợp kim thứ nhất, tỷ lệ đồng (tính theo trọng lượng) lớn hơn 45% so với hợp kim thứ hai. Bằng cách nung chảy một mảnh hợp kim thứ nhất chứa 6 kg đồng với một mảnh hợp kim thứ hai chứa 12 kg đồng, người ta thu được một thỏi chứa p% đồng. Xác định hàm lượng bạc trong hợp kim thứ nhất.

2. Trong một tam giác đều, lấy $SABC |SC| = l$ và cạnh $[SC]$ tạo một góc có độ lớn $\alpha$ với mặt phẳng đáy. Ở độ cao $[SO]$ của điểm hạ cánh, lấy một điểm $S_1$ sao cho tổng khoảng cách từ điểm này đến đỉnh $S$ và đến điểm $C_1, A_1, B_1$ là trung điểm của cạnh $[AB], [BC], [CA]$. tam giác nằm ở đáy ao có giá trị nhỏ nhất. Xác định khối lượng giặt $S_1A_1B_1C_1$.

3. Tìm tất cả các giá trị của $a \in R$ mà bất đẳng thức đúng

$$\sum_{-1}^{2a} \frac{dx}{x+a} \geq \log_a(2^{\log_2 e}).$$

4. Tìm $f'(x)$ và các điểm tới hạn của hàm số

$$f(x) = \frac{2}{3} \sqrt{\sin^3 2x} + x + 0,25 \sin 4x + \ln \frac{1}{3}.$$

Tùy chọn 2

1. Từ cùng một điểm, nằm trên một con đường thẳng, hai mã dành cho người đi bộ được gửi đồng thời về cùng một hướng với tốc độ khác nhau nhưng không đổi. Sau hai giờ, khoảng cách giữa họ là $s$ km. Sau đó, người đi bộ đi nhanh hơn và bắt đầu dành ít hơn 10 phút trên mỗi km đường đi. Sau 2 giờ nữa khoảng cách giữa họ là 3 km. Xác định đường đi của người đi bộ trong 2 giờ đầu di chuyển.

2. Một hình nguyên lục giác đều nội tiếp trong một hình nón tròn vuông có đường sinh $l$ và chiều cao $H$ sao cho đáy dưới của hình gốc nằm trong mặt phẳng đáy của hình nón, và các đỉnh của đáy trên thuộc mặt hữu hạn. Tìm diện tích đáy của lăng kính nếu biết rằng tổng diện tích bề mặt của lăng kính này là lớn nhất có thể.

3. Tính các tích phân $I_1 = \int_4^8 \frac{dx}{2x}$ và $I_2 = \int_4^{169} \frac{dx}{\sqrt{1-x}}$ và xác định dấu của hiệu $I_2 - I_1$ (không cần bảng).

4. Tìm $f'(x)$ và các điểm tới hạn của hàm số

$$f(x) = 5x + \ln 2 + \log_2 \sin^3 \frac{x}{3} + 3 \log \frac{1}{2} \left( \sin \frac{4}{3} x - \sin \frac{2}{3} x \right).$$

Vật lý

Bài toán thi vấn đáp

1. Một lò xo có độ cứng $k = 300$ N/m được gắn vào một khối có khối lượng $m = 12$ kg nằm trên một mặt phẳng nằm ngang (Hình 1). Hệ số ma sát giữa khối và bề mặt là $\mu = 0,4$. Lúc đầu lò xo không bị biến dạng. Sau đó, tác dụng một lực $\vec{F}$ vào đầu tự do của lò xo, hướng một góc $\alpha = 30^\circ$ so với đường chân trời, họ từ từ di chuyển khối đó đến khoảng cách $s = 0,4$ m. Công việc gì đã được thực hiện?

2. Hai vật nhỏ có khối lượng $m_1 = 2$ kg và $m_2 = 6$ kg được nối với nhau bằng một sợi dây và đặt trên một mặt hình trụ nhẵn như Hình 2, không rõ giá trị $\alpha$. Nếu các vật được thả ở vị trí này, chúng bắt đầu chuyển động với gia tốc $a = 6$ m/s². Các vật sẽ chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu nếu chúng được đặt đối xứng trên một mặt hình trụ (Hình 2, 6)?

3. Tụ điện có điện dung $C_1 = 20$ µF và $C_2 = 60$ µF, sạc lần lượt đến một số điện áp $U_1$ và $U_2$. Sau đó, các bản tích điện âm của tụ điện được nối với một dây dẫn có điện trở có thể được coi là không đáng kể và các bản dương được nối qua điện trở $R = 80$ Ohm (Hình 3). Tại thời điểm phím $K$ đóng, dòng điện $I = 0,2$ A chạy qua điện trở. Khi có dòng điện chạy qua mạch thì điện trở sẽ toả bao nhiêu nhiệt lượng?

4. Các proton Puukok trong vùng của từ trường dây đơn có chỉ số $B = 0,1$ T. Hướng của trường vuông góc với vận tốc chùm tia. Trong trường này, các proton di chuyển dọc theo một cung tròn có bán kính $r = 0,2$ m và rơi vào một phích cắm nối đất. Tìm nhiệt lượng được giải phóng trong mục tiêu. Dòng điện trong chùm tia là $I = 0,1$ mA. Điện tích riêng của proton (tỷ lệ điện tích trên khối lượng) $e/m = 10^8$ C/kg.

5. Dọc theo hai thanh kim loại song song nằm trong mặt phẳng nằm ngang cách nhau $l = 1$ m,