Kvant
Tài liệu thi cử

Viện Điện tử Vô tuyến Kharkov

Грудина Р., Сарнавский Н.

Kvant 1982, số 3tr. 49Thẻ 7J9M

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

49

  1. Tính toán
    lim⁡x→2x2−1−x2+x−3x2−4.\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2+x-3}}{x^2-4}.

  2. Vẽ đồ thị hàm số y=2x3−3x2+6y=2x^3-3x^2+6.

Tùy chọn 2

  1. Giải phương trình
    12cos⁡2x+sin⁡x⋅sin⁡2x=cos⁡x.\frac{1}{2} \cos 2x + \sin x \cdot \sin 2x = \cos x.

  2. Giải phương trình
    lg⁡x+74=10lg⁡x+1.\frac{\lg x + 7}{4} = 10^{\lg x + 1}.

  3. Một hình nón được ghi trong một paramid hình tam giác đều. Cạnh của đáy của paramid bằng aa và các cạnh của nó tạo thành một góc aa với mặt phẳng của đế. Tìm diện tích xung quanh và thể tích của hình nón.

  4. Tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số
    y=x2+x+3x2+5.y = \frac{x^2+x+3}{x^2+5}.

  5. Tìm diện tích của hình được giới hạn bởi các đường y=1−x2y=1-x^2, y=x2−1y=x^2-1.

Vật lý

Bài thi vấn đáp

  1. Một vật treo trên một sợi dây được nâng lên khỏi mặt đất với gia tốc a=2a=2 m/s2^2 theo phương thẳng đứng hướng lên trên. Một lúc sau t=5t=5 đứt dây. Tính thời gian vật rơi xuống đất kể từ khi sợi dây đứt.

  2. Một viên đạn bay theo phương ngang với tốc độ v=400v=400 m/s chạm vào một khối và mắc kẹt trong đó. Khối này sẽ di chuyển dọc theo một bề mặt nằm ngang bao xa tính từ tác động của viên đạn nếu khối lượng của nó gấp n=99n=99 lần khối lượng viên đạn? Tốc độ ban đầu của khối bằng 0 và hệ số ma sát giữa khối và bề mặt là μ=0,1\mu=0,1.

  3. Một quả cầu gỗ được nhúng vào nước ở độ sâu h=1h=1 m rồi hạ xuống. Nó sẽ nhảy lên trên mặt nước cao bao nhiêu (không tính đến lực ma sát) nếu mật độ của quả bóng là qш=600q_{\text{ш}}=600 kg/m3^3 và mật độ của nước là qв=1000q_{\text{в}}=1000 kg/m3^3?

  4. Một ống hình trụ hẹp dài l=80l=80 cm, hở hai bên, cắm vào gốc trước khi tưới. Lỗ trên cùng của ống sau đó được đóng lại và đưa ra khỏi quy trình. Đồng thời, còn lại rất nhiều rutin dài lрт=22l_{\text{рт}}=22 cm trong ống. Áp suất khí quyển là gì?

  5. Một nhiệt lượng kế chứa đầy mB=2m_{\text{B}}=2 kg nước ở nhiệt độ tB=+6∘Ct_{\text{B}}=+6^\circ\text{C} và đặt một tảng băng có khối lượng mл=2m_{\text{л}}=2 kg và nhiệt độ tл=−20∘Ct_{\text{л}}=-20^\circ\text{C}. Bao nhiêu nước và bao nhiêu nước đá sẽ có trong nhiệt lượng kế sau khi cân bằng nhiệt được thiết lập? Có thể bỏ qua nhiệt dung của quá trình trao đổi calo và nhiệt với môi trường bên ngoài. Nhiệt dung riêng của nước cв=4200c_{\text{в}}=4200 J/(kg K). Nhiệt dung riêng của nước đá cл=2100c_{\text{л}}=2100 J/(kg K). Nhiệt dung riêng của nước đá tan chảy λ=330\lambda=330 kJ/kg.

  6. Tám giọt nhỏ giống hệt nhau của thói quen, được gọi là tiềm năng ma sát, được gọi thành một. Tính khả năng của sự sụt giảm này. Hãy coi tất cả những giọt nước như những quả bóng.

  7. Một electron, được gia tốc bởi điện áp U0=100U_0=100 V, biến thành một tụ điện bản song song dọc theo đường tâm của nó. Tại điện áp nhỏ nhất giữa hai bản của tụ điện thì electron sẽ không rời khỏi tụ điện? Khoảng cách giữa các tấm là d=1d=1 cm, chiều dài của các tấm là L=10L=10 cm.

  8. Hai quả bóng có cùng điện tích q=20q=20 nC. Quả bóng được nối bằng một sợi dây mỏng. Bao nhiêu điện sẽ truyền qua dây nếu quả bóng là kim loại và bán kính của chúng là R1=15R_1=15 cm và R2=5R_2=5 cm?

  9. Một người tiêu dùng có điện trở R1R_1 được kết nối với nguồn hiện tại. Sau đó, nó bị ngắt kết nối và một người tiêu dùng khác có điện trở R2R_2 được kết nối. Sức mạnh hữu ích trong cả hai trường hợp hóa ra là như nhau. Điện trở trong của nguồn hiện tại là bao nhiêu?

  10. Khoảng cách từ vật được chiếu sáng đến màn là L=100L=100 cm. Một thấu kính đặt giữa chúng cho ảnh rõ nét của vật ở hai vị trí, khoảng cách giữa chúng là l=20l=20 cm. Tìm tiêu cự của đường thẳng đó.

Ấn phẩm đã được chuẩn bị
N. Bolyshakov, V. Kudryavtsev,
R. Nifanteva, A. Pershin

Viện Điện tử Vô tuyến Kharkov

Matematika

Bài thi viết

Tùy chọn 1

  1. Giải phương trình
    2cos⁡x+ctgx+2sin⁡x+1=0.2 \cos x + \text{ctg} x + 2 \sin x + 1 = 0.

  2. Giải bất đẳng thức
    log⁡12sin⁡x>1.\log \frac{1}{2} \sin x > 1.

  3. Các vectơ a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} vuông góc với nhau và vectơ c⃗\vec{c} tạo thành một góc 60∘60^\circ với mỗi vectơ. Cho rằng ∣a⃗∣=3|\vec{a}|=3, ∣b⃗∣=5|\vec{b}|=5 và ∣c⃗∣=8|\vec{c}|=8, hãy tính tích chấm (3a⃗−2b⃗)×(b⃗+3c⃗)(3\vec{a}-2\vec{b}) \times (\vec{b}+3\vec{c}).

  4. Tìm diện tích của hình được giới hạn bởi các đường y=(12)xy=\left(\frac{1}{2}\right)^x, x−2y+2=0x-2y+2=0, x=2x=2.

  5. Giải phương trình
    xx+1−2x+1x=3.\frac{x}{x+1}-2 \sqrt{\frac{x+1}{x}}=3.

Tùy chọn 2

  1. Giải phương trình
    1cos⁡x+1=sin⁡(π−x)−cos⁡x⋅tgπ+x2.\frac{1}{\cos x}+1=\sin(\pi-x)-\cos x \cdot \tg \frac{\pi+x}{2}.

  2. Giải bất đẳng thức
    x2−4x>x−3.\sqrt{x^2-4x}>x-3.

  3. Thân là một hình chữ nhật có đỉnh hình bán cầu. Cái này có những kích thước tuyến tính nào?