Đảo ngược

26

Đảo ngược
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. M. UROEV

Trong bài này chúng ta đã nói về một phép biến đổi hình học đáng chú ý của mặt phẳng. Phép biến đổi - đảo ngược - này cho phép bạn giải bài toán, điều mà thoạt nhìn rất khó tiếp cận.

§ 1. Nghịch đảo là gì

Giả sử một đường tròn C bán kính R có tâm O được cho trên mặt phẳng α. Nghịch đảo của mặt phẳng α đối với đường tròn này được gọi là ánh xạ trong đó mỗi điểm A của mặt phẳng α, ngoại trừ điểm O, được liên kết với một điểm A’ nằm trên tia (OA) sao cho

$$|OA'| = \frac{R^2}{|OA|}.$$ (1)

Từ định nghĩa này, rõ ràng là trong quá trình đảo ngược, các điểm A và A’ thay đổi vị trí, ánh xạ vào nhau. Tâm O của đường tròn C, gọi là tâm nghịch đảo, không có ảnh và không có điểm nào rơi vào đó trong quá trình nghịch đảo (Hình 1). Phần bên trong của đường tròn giới hạn bởi đường tròn C được truyền bằng cách đảo ngược sang vùng bên ngoài, do từ bất đẳng thức |OA| < R nó theo sau |OA’| > R và ngược lại, vùng bên ngoài được ánh xạ vào vùng bên trong.

Các điểm của đường tròn C vẫn giữ nguyên trong quá trình đảo ngược, và do mặt trong của đường tròn hướng ra ngoài nên không có điểm cố định nào khác.

Những bức vẽ này do các sinh viên Trường Vật lý và Toán học tại Đại học Quốc gia Moscow thực hiện, cho thấy sự đảo ngược biến đổi các bức tranh màu như thế nào. Ở bức tranh đầu tiên, vòng tròn đảo ngược bao phủ chữ A, ở bức tranh thứ hai, vòng tròn này là rìa của mặt trời.

27

Đôi khi nghịch đảo được gọi là đối xứng quanh một đường tròn (bằng cách tương tự với đối xứng về một đường tròn. Giống như đối xứng trục, nghịch đảo về đường tròn $C$ có một tính chất thú vị: việc thực hiện lặp đi lặp lại của nó sẽ trả các điểm về vị trí ban đầu. Cũng lưu ý rằng nếu điểm $A$ được chọn ngày càng gần $O$, thì $|OA'|$ sẽ tăng vô hạn. Sự đảo ngược sẽ “biến” phần bên trong vòng tròn ra bên ngoài và theo đó, cả phần bên ngoài của nó của vòng tròn “quay vào trong” vào bên trong của nó.

Điều này được thực hiện với ý tưởng thêm một điểm $\infty$ không thuộc mặt phẳng “khoảng cách vô hạn” và xem xét rằng trong quá trình đảo ngược, tâm $O$ chuyển sang $\infty$ và $\infty$ đến điểm $O$.

§ 2. Tính chất của nghịch đảo

Chúng ta hãy xem các đường thẳng và đường tròn của mặt phẳng $a$ được biến đổi như thế nào trong quá trình đảo ngược. Nó suy ra trực tiếp từ định nghĩa rằng một đường thẳng đi qua tâm nghịch đảo sẽ đi vào chính nó. Trong trường hợp này, tâm $O$ và $\infty$ thay đổi vị trí. Primaya, như vốn có, “quay dọc theo mặt phẳng”: phần nằm ngoài đường tròn, cùng với “vô cực”, biến thành đường kính của đường tròn, và đường kính biến thành hai tia, và điểm $O$ biến thành $\infty$, như thể “nối” các tia này.

Điều gì xảy ra với đường thẳng không đi qua tâm $O$?

Giả sử $l$ là một đường thẳng và $D$ là đáy của đường vuông góc rơi từ tâm $O$ đến $l$, điểm $D'$ là ảnh của điểm $D$ khi đảo ngược, so với đường tròn $C$ (Hình 2)*. Đặt $A$ là một điểm tùy ý trên đường $l$ và trỏ $D'$ ảnh đảo ngược của nó. Từ $|OA'| \times |OA| = |OD'| \cdot |OD| = R^2$ theo sau là $\frac{|OA'|}{|OD|} = \frac{|OD'|}{|OA|}$. Do đó, tam giác $A'OD'$ và $AOD$ tương tự nhau, vì chúng có góc chung $AOD$ và các cạnh mà góc này bao quanh tỉ lệ với nhau. Điều này có nghĩa là $OA'D' = ODA = 90^\circ$, vậy trọng điểm là $A'$

*) Trong Hình 2 không có vòng tròn $C$. Nhưng điều này là không cần thiết: lý luận của chúng tôi liên quan đến điều này không phụ thuộc vào bản vẽ chút nào.

Sáng trên một vòng tròn có đường kính $[OD']$.

Vậy đường thẳng không đi qua tâm nghịch đảo $O$ sẽ đi vào đường tròn đi qua các điểm $O$. Phát biểu ngược lại cũng đúng: mọi đường tròn đi qua tâm nghịch đảo $O$ đều đi thành một đường thẳng không đi qua các điểm $O$.

Bài tập 1. Chứng minh khẳng định này.

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu điều gì xảy ra với những đường tròn không đi qua tâm nghịch đảo. Trước tiên hãy đặt điểm $O$ nằm ngoài đường tròn đã cho $S$ với tâm $Q$.

Chúng ta hãy vẽ tia $OQ$ và xét đường kính $ED$ (xem Hình 3)*. Đặt $D'$ và $E'$ là các điểm đối xứng với $D$ và $E$ đối với $C$ và đặt $A'$ là ảnh của một điểm tùy ý $A$ của đường tròn $S$.

Bài tập 2. Chứng minh rằng $\triangle OA'D' \sim \triangle OAD$ và $\triangle OA'E' \sim \triangle OAE$.

Theo sau đó là $D'A'E' = OEA - ODA = EAD = 90^\circ$. Vì vậy, đoạn $D'E'$ có thể nhìn thấy từ mỗi điểm $A'$ ở một góc vuông, có nghĩa là ảnh của hình tròn $S$ là hình tròn $S'$, được xây dựng trên $D'E'$ làm đường kính.

Bài tập 3. Chứng minh phát biểu vẫn đúng nếu tâm nghịch đảo nằm bên trong đường tròn $S$.

Để chứng minh, bạn chỉ cần cẩn thận xây dựng một hình vẽ và chứng minh lập luận từ Bài tập 2 gần như nguyên văn.

Kết hợp kết quả bài tập 2 và 3 ta thấy về mọi mặt

*) Trong Hình 3, độ thấm ướt nghịch đảo không được thể hiện.

29

Nhiệm vụ 1. Trong quá trình đảo ngược đối với một đường tròn $C$, các điểm $A$ và $B$ của đường tròn $T$ biến đổi thành nhau thì đường tròn $T$ biến đổi thành chính nó (xem Hình 5).

Lời giải. Tâm nghịch đảo $O$ phải nằm trên đường thẳng $AB$, đường thẳng này biến thành chính nó và $OA \cdot OB = R^2$, trong đó $R$ là bán kính của đường tròn $C$. Chúng ta hãy vẽ một tiếp tuyến $OD$ với đường tròn $T$. Bằng định lý đã được chứng minh $|OA| \cdot |OB| = |OD|^2$. Vì vậy, $|OD| = R$. Bây giờ chúng ta vẽ một cát tuyến tùy ý $OK$ cho đường tròn $T$. Theo định lý về bình phương tiếp tuyến $|OK| \cdot |OL| = |OD|^2 = R^2$, và do đó, các điểm $K$ và $L$ biến thành nhau, và do đó đường tròn $T$ biến thành chính nó.

Bài tập 2. Cho $A'$ và $B'$ là các điểm đối xứng $A$ và $B$ đối với một đường tròn bán kính $R$ có tâm $O$. Chứng minh rằng $|A'B'| = \frac{R^2 \cdot |AB|}{|OA| \cdot |OB|}$.

Gợi ý. Sử dụng các hình tam giác tương tự $OAB$ và $OA'B'$.

Bài 3. Đường $MA$ và $MB$ chạm vào đường tròn $C$ tại điểm $A$ và $B$, điểm $D$ là trung điểm của dây $AB$. Chứng minh rằng điểm $D$ và $M$ đối xứng với đường tròn $C$ (Hình 6).

Bằng chứng. $\triangle OAD \sim \triangle OAM$. Vì vậy $\frac{|OA|}{|OM|} = \frac{|OD|}{|OA|}$. Ngay sau đó là $|OA|^2 = R^2 = |OM| \cdot |OD|$.

Nhiệm vụ 4 (Định lý Polemeus). Chứng minh rằng trong mọi tứ giác nội tiếp $ABCD$ tích độ dài các đường chéo bằng tổng độ dài các cạnh đối diện (Hình 7):

$$|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|.$$

Bằng chứng. Hãy thực hiện phép đảo ngược có tâm ở đỉnh $A$. Khi đó đường tròn ngoại tiếp $T$ sẽ đi đến đường thẳng $T'$, các đỉnh $B, C, D$ - lần lượt đi đến các điểm $B', C', D'$ trên đường thẳng $T'$. Chúng ta hãy ký hiệu $R$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Chuyển sang bài toán 2, ta có

$$|C'B'| = \frac{R^2 \cdot |BC|}{|AB| \cdot |AC|},$$

$$|B'D'| = \frac{|BD| \cdot R^2}{|AD| \cdot |AB|},$$

$$|C'D'| = \frac{R^2 \cdot |CD|}{|AC| \cdot |AD|}$$

Từ đó, rõ ràng phát biểu của định lý Polemaeus thể hiện sự thật sau: $|B'D'| = |B'C'| + |C'D'|$. Thật vậy, bằng cách thay thế các giá trị tìm thấy của $|C'B'|, |B'D'|, |C'D'|$ vào đẳng thức này và đưa chúng về mẫu số chung, chúng ta đi đến sự tương ứng mong muốn.

Nhiệm vụ 5. Trên vòng tròn $C$ cho hai điểm $A$ và $B$. Chúng tôi xem xét tất cả các cặp đường tròn có thể nằm bên trong $C$, một trong số đó chạm vào đường tròn $C$ tại điểm $A$, đường còn lại tại điểm $B$ và chạm vào nhau (Hình 8). Tìm tập hợp $X$ của tất cả các điểm mà tại đó hai đường tròn của một cặp như vậy chạm vào nhau.

Lời giải. Đặt $T_1$ và $T_2$ chạm vào đường tròn $D$ là điểm tiếp tuyến của chúng (xem Hình 8). Chúng ta hãy thực hiện phép đảo ngược tâm tại điểm $A$ so với một đường tròn tùy ý. Khi đó các vòng tròn $C$ và $T_1$ sẽ song song

30

các đường thẳng $C'$ và $T'_1$. Hình tròn $T_2$ sẽ biến thành hình tròn $T'_2$, chạm vào đường thẳng $T'_1$ trong mẫu $D'$ của điểm $D$ và đường thẳng $C'$ trong mẫu $B'$ của điểm $B$ (Hình 9). Rõ ràng, điểm $D'$ nằm trên đường vuông góc $m'$, được phục hồi về $C'$ tại điểm $B$. Nếu chọn cặp $T_1, T_2$ khác, bạn sẽ được một đường thẳng $T'_1$ khác, song song với $C'$, nhưng điểm $D'$ vẫn sẽ nằm trên đường vuông góc $m'$. Do đó, phép đảo ngược sẽ ánh xạ tập hợp các điểm cần thiết lên tia $m'$.

Rõ ràng, mỗi điểm của tia $m'$ có thể là điểm tiếp tuyến giữa một đường thẳng $T'_1$ nào đó, song song với $C'$ và một đường tròn $T'_2$, tiếp tuyến với $C'$ tại điểm $B$. Do đó, bất kỳ điểm $(m')$ nào cũng là ảnh của một điểm $D$ nào đó tập hợp $X$. Khi phép đảo ngược được thực hiện lúc đầu được lặp lại, tất cả các điểm sẽ trở về vị trí ban đầu, do đó tia $m'$ sẽ đi vào tập hợp $X$ các điểm tiếp tuyến. Do đó, tập hợp bắt buộc là cung của một đường tròn nằm bên trong $C$, giao nhau $C$ tại các điểm $A$ và $B$ vuông góc.

Bài toán 6 (Định lý Euler). Gọi $r$ và $R$ là bán kính của đường tròn nội tiếp $T_1$ và ngoại tiếp $T_2$ đường tròn của tam giác $ABC$, và $d$ khoảng cách giữa tâm của các đường tròn này. Chứng minh rằng $\frac{1}{R+d} + \frac{1}{R-d} = \frac{1}{r}$, tức là $d^2 = R^2 - 2Rr$.

Gợi ý. Chúng ta hãy biểu thị bằng $M, N, K$ các điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp trên cạnh của tam giác $ABC$ (Hình 10). Chúng ta hãy đảo ngược đường tròn nội tiếp $T_1$. Sau đó, các đỉnh $A, B, C$ của tam giác được ánh xạ vào cạnh giữa $P, Q, R$ của tam giác $MNK$ (xem bài toán 3), do đó đường tròn ngoại tiếp $T_2$ sẽ đi vào đường tròn ngoại tiếp $T_3$ của tam giác $PQR$. Bản thân vòng tròn $T_1$, được mô tả xung quanh hình tam giác $MNK$, sẽ giữ nguyên vị trí. tam giác $PQR$ và $MNK$ giống nhau với hệ số 1/2, nên bán kính hình tròn $T_3$ là 1/2r. Chúng ta vẽ đường kính $GF$ của đường tròn $T_2$ đi qua tâm $O_1$ của đường tròn nội tiếp $T_1$. Khi đảo ngược với điểm $T_1$, $G, F$ sẽ đi đến các điểm $G'$ và $F'$, nằm ở hai đầu đường tròn đường kính $T_3$ đi qua điểm $O_1$. Do đó, sự tương ứng $|O_1G'| + |O_1F'| = 2 \cdot r/2$ đúng, do đó $\frac{r^2}{|O_1G|} =$

Bài tập

9. Bốn đường tròn tiếp xúc với nhau ở bên ngoài, như trong Hình 11. Chứng minh rằng bốn tiếp tuyến $A, B, C, D$ cùng nằm trên một đường tròn.

10. Trên đoạn $AB$ điểm $M$ được bù và trên các đoạn $AB$ và $AM$ các hình bán nguyệt $C_1$ và $C_2$ được xây dựng như trên đường kính. Vòng tròn $C_3$ chạm vào hình bán nguyệt $C_1$, $C_2$ và vuông góc $m$, được khôi phục về $(AB)$ tại điểm $M$ (Hình 12). Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của đường tròn $C_2$ và $C_3$ đi qua điểm $B$.

11. Trên đoạn $AB$ điểm $M$ được bù và trên các đoạn $AB, AM$ và $MB$ cũng như trên các đường kính, các hình bán nguyệt $C_1$, $C_2$ và $C_3$ lần lượt được dựng. Đặt điểm $O$ là tâm của đường tròn $T$ tiếp xúc với hình bán nguyệt $C_1, C_2, C_3$ (Hình 13). Tìm khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $AB$ nếu bán kính hình tròn $T$ bằng $r$.

31

§ 4. Bài toán cho xây dựng

Đảo ngược có thể được sử dụng rất thành công với lời giải bài toán cho mỗi công trình.

lời giải của tất cả bài toán dựa trên phương pháp dựng điểm $A'$ đối xứng với một điểm cho trước $A$ so với đường tròn $C$ (xem Hình 14). Phương pháp này như sau (đối với điểm $A$ nằm ngoài vòng tròn $C$). Vẽ một tiếp tuyến $AM$ và từ điểm $M$ hạ đường vuông góc xuống $OA$. Đáy của đường vuông góc là điểm bắt buộc $A'$ (xem bài toán 3 từ § 3).

Bài tập 12. Hãy nghĩ cách xây dựng điểm $A'$ nếu $A$ nằm bên trong đường tròn $C$.

Biết cách dựng ảnh của một điểm, chúng ta có thể dễ dàng dựng được ảnh của đường thẳng và đường tròn. Ví dụ: nếu bạn muốn xây dựng hình ảnh của một đường thẳng $l$ không đi qua điểm $O$, thì việc hạ thấp đường vuông góc $OD$ từ điểm $O$ xuống đường thẳng $l$, xây dựng điểm $D'$ và mô tả đường tròn tại $OD'$ là đường kính là đủ.

Bài tập 13. Cách dựng ảnh đường tròn không đi qua điểm $O$? Hãy nhớ những gì được viết về điều này trong § 2.

Bây giờ chúng ta hãy đưa ra một ví dụ về bài toán cho việc xây dựng, được giải bằng phép nghịch đảo.

Bài toán 7. Vẽ đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $l$ và đi qua các điểm $A$ và $B$ đã cho. bài toán này có bao nhiêu lời giải?

Lời giải. Giả sử rằng đường tròn yêu cầu $T$ đã được xây dựng. Hãy thực hiện một phép nghịch đảo tùy ý với tâm tại điểm $A$. Đường thẳng $l$ sẽ đi vào một đường tròn nhất định $l'$, điểm $B$ đi vào điểm $B'$, và đường tròn $T$ đi vào đường thẳng $T'$ tiếp xúc với đường tròn $l'$ (xem Hình 15).

Từ đây, phương pháp xây dựng như sau: chúng ta thực hiện một phép nghịch đảo với tâm tại điểm $A$, từ điểm $B'$ vẽ các tiếp tuyến với đường tròn $l'$, chúng ta thực hiện một phép nghịch đảo khác với tâm tại điểm $A$, ta thu được yêu cầu. Nói chung, tổng cộng sẽ có hai lời giải. (lời giải có thể lấy một cái không?)

Bài tập

14. Dựng đường tròn đi qua hai điểm $A$ và $B$ và tiếp xúc với đường tròn đã cho $L$. bài toán này có bao nhiêu lời giải?

15. Vẽ một đường tròn tiếp xúc với đường tròn đã cho $S$ tại điểm $A$ và $a$) của đường thẳng đã cho $l$; b) vòng tròn đã cho $T$.

16 (mông của Apollo). Vẽ đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn đã cho. Về bài toán nổi tiếng này, hãy xem bài viết của A.P. Savin “Đảo ngược và sự trở lại của Apollo” («Kvant», 1971, số 8, trang 23).

17. Vẽ hai đường tròn có đường kính bằng nhau sẽ tiếp xúc với nhau tại một điểm cho trước $D$ và vượt qua các điểm tương ứng $A$ và $B$.

§ 5. Đảo ngược và chiếu lập thể

Xét hình cầu $Q$ tiếp xúc với mặt phẳng $a$ tại điểm $O$. Đặt điểm $N$ đối xứng đường kính với điểm $S$. Hình chiếu lập thể của hình cầu $Q$ lên mặt phẳng $a$ được gọi là ánh xạ, mà đối với mỗi điểm $B$ của hình cầu, ngoại trừ điểm $N$, liên kết điểm $A$ của mặt phẳng $a$, thu được nhờ giao điểm của đường thẳng $NB$ với mặt phẳng $a$ (Hình 16). Lưu ý rằng bất kỳ điểm $A$ nào của mặt phẳng $a$ đều là ảnh của một điểm $B$ nào đó của hình cầu dưới tác dụng lập thể

32

sự chiếu vật lý. Điểm $B$ là giao điểm của đường $NA$ với hình cầu $Q$.

Chúng ta hãy chỉ ra cách sắp xếp tập hợp các điểm trên mặt cầu, tương ứng với một số đường thẳng nổi tiếng trong mặt phẳng $a$. Trong trường hợp này, sẽ thuận tiện cho chúng ta sử dụng thuật ngữ “địa lý”, gọi hình cầu $Q$ là quả địa cầu và các điểm $S$ và $N$ là cực nam và cực bắc.

Các đường song song, tức là các đường tròn được vẽ trên hình cầu “song song” với mặt phẳng $a$, được ánh xạ lên các đường tròn đồng tâm có tâm $S$. “Cực Nam” $S$, thuộc cả hình cầu và mặt phẳng, biến thành chính nó. “Cực Bắc” không có hình ảnh.

Chúng ta hãy xây dựng một tập hợp các điểm của hình cầu được ánh xạ lên một đường thẳng $l$ nằm trong mặt phẳng $a$. Vì một mặt phẳng $B$ có thể được vẽ qua cực $N$ và đường $l$, nên tất cả các tia phát ra từ điểm $N$ và thực hiện phép chiếu lập thể của tập hợp ban đầu lên đường $l$ đều nằm trong mặt phẳng $B$ (Hình 17). Do đó, đường thẳng $l$ được liên kết với tập hợp các điểm của hình cầu thuộc giao điểm của hình cầu $Q$ với mặt phẳng $B$, tức là đường tròn có điểm bị loại bỏ $N$. Đặc biệt, các “kinh tuyến” đi qua các điểm $S$ và $N$ được ánh xạ lên các tia phát ra từ điểm $S$. Lưu ý rằng nếu điểm $A$ trên mặt phẳng $a$ di chuyển ra xa vô thời hạn khỏi điểm $S$ (ví dụ dọc theo một đường thẳng), thì điểm tương ứng $B$ của hình cầu sẽ tiến tới cực $N$. Thông điệp này giúp có thể định nghĩa lại khái niệm về một điểm ở xa vô hạn của mặt phẳng $a$ như một hình ảnh tinh thần của cực $N$ dưới phép chiếu lập thể.

Hóa ra sự đảo ngược của mặt phẳng $a$