Bài toán M861—M865; F873—F877

42

Nhiệm vụ

M861—M865; F873—F877

M861. Chứng minh rằng từ bất kỳ số $n$ nào, bạn có thể chọn nhiều (có thể là một) sao cho tổng của các số đã chọn khác với số nguyên gần nhất không quá $1/(n+1)$.

S. Yu. Orevkov

M862. a) Bên trong một tam giác đều cho biết tập hợp tất cả các điểm $M$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến cạnh của nó là độ dài cạnh của một tam giác nhất định.

6. Bên trong một tam giác đều là tập hợp tất cả các điểm $M$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến các mặt của tam giác là độ dài các cạnh của một tứ giác nhất định.

Z. A. Yasinov

M863. Mỗi ô vuông của bảng $n \times n$ chứa một mã thông báo. Có thể sắp xếp lại chúng sao cho hai quân bất kỳ đe dọa nhau bằng nước đi hiệp sĩ, sau khi sắp xếp lại, bắt đầu đe dọa nhau bằng nước đi vua, nếu $n=3$, $6$ $n=6$, c) $n=4$?

S. Stefanov

M864. Điều được coi là “đẹp” là việc chia một tam giác thành các tam giác giống nhau, không có hai tam giác nào có kích thước bằng nhau.

a) Chứng minh rằng mọi tam giác vuông đều có một phân vùng màu đỏ.

6. • Có thể sắp xếp phép chia màu đỏ của một tam giác đều không?

c) Những tam giác đều nào có vách ngăn màu đỏ?

A. V. Savkin

M865. Đặt $[a, b]$ biểu thị bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên $a$ và $b$. Chứng minh rằng với mọi $n+1$ số $a_0 < a_1 < ... < a_n$ thì bất đẳng thức sau đúng:

$$\frac{1}{[a_0, a_1]} + \frac{1}{[a_1, a_2]} + ... + \frac{1}{[a_{n-1}, a_n]} \leq 1 - \frac{1}{2^n},$$

nếu $n=2$; $6$ $n=3$; c) $* n$ — bất kỳ số tự nhiên nào.

B. M. Ivlev

F873. Cột trên cột buồm của tàu tạo thành một góc $60^\circ$ với hướng tàu chạy với tốc độ 20 km/h. Không thay đổi hướng đi, con tàu tăng tốc độ lên gấp 2 lần và góc bằng $30^\circ$. Tìm tốc độ từ những dữ liệu này

43

gió (coi như không thay đổi). Ở tốc độ nào con tàu sẽ có góc 90°?

V. E. Skorovarov

F874. Ôtô chuyển động theo đường thẳng $OO'$ (Hình 1) và đến điểm $A$ bắt đầu chuyển hướng mà không giảm tốc độ. Tại điểm $B$ cột băng tự động bị đánh đổ. Ước tính tốc độ mà bạn có thể lái xe tự động. Hãy coi độ bám đường của lốp xe là tốt. Vô lăng tự động điều khiển bánh trước.

A. R. Zilberman

F875. Dọc theo các đường ray song song nằm ngang, khoảng cách giữa chúng bằng $d$, một cầu nối có khối lượng bằng $m$ có ​​thể trượt không ma sát (Hình 2). Các đường ray được nối với nhau bằng một điện trở có điện trở $R$ và được đặt trong một từ trường thẳng đứng, cảm ứng của nó là $B$. Người nhảy được cho tốc độ $v_0$. Tìm quãng đường người nhảy đi đến điểm dừng. $B$ phụ thuộc vào hướng của vectơ như thế nào? từ hướng tốc độ?

A. N. Buzdin

F876. Hai vệ tinh chuyển động trên cùng một quỹ đạo ở một khoảng cách nhỏ (so với bán kính $R_0$ của Trái đất) với nhau. Khoảng cách này trong quá trình di chuyển định kỳ thay đổi từ $l_1$ thành $l_2$. Xác định khoảng cách tối thiểu và tối đa của các vệ tinh đến tâm Trái đất nếu chu kỳ quỹ đạo của vệ tinh là $T$.

V. E. Skorovarov

F877. Tại những vị trí nào của nguồn chính xác so với một thấu kính hội tụ mỏng có tiêu cự $F=1$ m có thể nhìn thấy đồng thời cả ảnh và nguồn từ ít nhất một điểm?

A. R. Zilberman

Problems

M861—M865; P873—P877

M861. Prove that it is always possible to choose some numbers (possibly only one) from any given $n$ numbers so that the sum of the chosen numbers differs from the nearest integer by no more than $1/(n+1)$.

S.￥u. Orevkov

M862. a) Inside a given equilateral triangle indicate the set of all points $M$ such that the distances from $M$ to the triangle’s sides are the lengths of the sides of some triangle

b) Inside a given regular tetrahedron indicate the set of all points $M$ such that the distances from $M$ to the tetrahedron’s faces are the lengths of the sides of some quadrilateral.

E. A. Yasinovi

M863. A different pawn is placed in each case of an $n \times n$ chess board. Is it possible to rearrange them