tiến hóa

38

tiến hóa

Được chỉnh sửa bởi
D. B. FUCSA

Lần trước (xem «Kvant» Số 2, trang 40) bạn được cung cấp ba đường cong (một hình elip, một “hình số tám ngược” và một parabol bán chibic), mà bạn cần phải chứng minh khá thường xuyên một họ pháp tuyến (bình thường là đường vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc). Bạn có thể xem các bản vẽ chính xác cho hai đường cong đầu tiên trước mặt bạn. Trong mỗi hình vẽ này, các pháp tuyến của đường cong được cô đọng lại thành các điểm trên một số đường cong khác. Đường cong khác này được gọi là đường cong tiến hóa của đường cong ban đầu*). Trong hai trường hợp đầu tiên, vật tiến hóa có các điểm đỉnh (điểm mà tại đó đường cong chốt lăn thay đổi hướng 180°). Chúng ta sẽ cố gắng hiểu tiến hóa là gì và hiểu nguyên lý của tất cả những hiện tượng này.

Để làm được điều này, chúng ta cần thêm một khái niệm hình học nữa - tâm cong. Giả sử $c$ là một đường cong, $n_A$ pháp tuyến của nó tại điểm cố định $A$. Đặt $M$ là một điểm biến thiên trên đường cong $c$ và $n_M$ pháp tuyến tương ứng. Chúng ta hãy biểu thị bằng $X(A, M)$ điểm giao nhau của các pháp tuyến $n_A$ và $n_M$. Bây giờ chúng ta sẽ di chuyển điểm $M$ dọc theo đường cong $c$, hướng nó đến $A$ (từ bất kỳ phía nào). Khi đó, nói chung, điểm $X(A, M)$ sẽ thay đổi; vị trí giới hạn của điểm này khi $M$ đạt $A$, nếu tồn tại thì gọi là tâm cong của đường cong $c$ tại điểm $A$ và được ký hiệu là $O_A(c)$ (Hình 1).**)

Hãy giới thiệu thêm một vài cái tên nữa nhé. Đường tròn có tâm $O_A(c)$ đi qua $A$ gọi là tọa độ với đường cong $c$ tại điểm $A$, bán kính của nó, tức là khoảng cách từ điểm $O_A(c)$ đến điểm $A$, là bán kính cong của đường cong $c$ tại điểm $A$, nghịch đảo của bán kính của độ cong, - độ cong của đường cong $c$ tại điểm $A$.

Ví dụ đơn giản nhất. Đặt $c$ là một hình tròn có bán kính $R$ có tâm $O$. Sau đó, tất cả các chuẩn mực đến $c$ đều đi qua $O$ và do đó, khi điểm được di chuyển dọc theo $c$, điểm $X(A, M)$ hoàn toàn không thay đổi mà chiếm một vị trí cố định $O$. Do đó, giới hạn của điểm này là $O$, tức là tâm cong của đường tròn của chúng ta tại bất kỳ điểm nào cũng trùng với tâm của đường tròn. Do đó, giới hạn độ cong và độ cong của đường tròn của chúng ta tại bất kỳ điểm nào trên đó tương ứng với $R$ và $1/R$.

*) Đường chuyển hóa của hình elip do máy tính tạo ra cũng được trình bày ở trang đầu tiên của trang bìa. Hãy chú ý đến mô hình moire màu đỏ dưới dạng một nhóm các hyperbol có độ lớn của hình elip. Hãy suy nghĩ về lý do tại sao nó hoạt động.

**) Có thể chứng minh rằng nếu đường cong $c$ “đủ mịn” và điểm $A$ không phải là điểm uốn của nó thì $O_A(c)$ tăng đáng kể.

39

Nếu $c$ không phải là một đường tròn mà là một đường cong khác, thì khi điểm $A$ di chuyển dọc theo nó, tâm cong $O_A(c)$ không đứng yên mà tự vẽ ra một đường cong nào đó. Như chúng ta sẽ thấy, đường cong này là đường tiến hóa. Trước khi điều này được chứng minh, chúng ta sẽ nói một chút về các tính chất của các khái niệm đã được giới thiệu.

Đường tròn tiếp tuyến của tất cả các đường tròn đi qua điểm $A$, người quan sát, liền kề với đường cong $c$. Chúng ta có thể nói rằng nếu tiếp tuyến của $c$ tại điểm $A$ đóng vai trò là giá trị gần đúng thứ nhất cho đường cong $c$, thì đường tròn tiếp tuyến đóng vai trò là giá trị gần đúng thứ hai cho đường cong $c$ tại điểm $A$. Tuyên bố này có thể được hiểu chính xác theo nhiều cách, ví dụ như thế này. Đặt các điểm $O'$ và $O''$ nằm trên $n_A$ ở các phía đối diện của $O_A(c)$ và để $c'$, $c''$ là các vòng tròn $c$ có tâm $O'$, $O''$ đi qua điểm $A$. Sau đó, đoạn neoctor của đường cong $c$, bao quanh điểm $A$, được đặt giữa các vòng tròn $c'$ và $c''$ (Hình 2).

Cuối cùng chúng ta hãy chuyển sang gia đình bình thường của chúng ta. Giả sử $C$ là một điểm trên mặt phẳng. Chúng ta hãy sửa số $\varphi$ và đánh dấu trên đường cong $c$ tập hợp các điểm $A$ mà pháp tuyến $n_A$ đi từ $C$ ở khoảng cách nhỏ hơn $\varphi$. Tập hợp này bao gồm một hoặc nhiều khoảng (Hình 3). Chúng ta hãy biểu thị bằng $L(\varphi)$ tổng độ dài của chúng. Giới hạn phân tách $L(\varphi)/\varphi$ tại $\varphi \rightarrow 0$ được gọi là mật độ của họ chuẩn mực của chúng ta tại điểm $A$. (Định nghĩa này phù hợp với cách biểu thị trực quan của mật độ: mật độ càng lớn thì các pháp tuyến càng lệch về điểm $C$.)

Định lý. Mật độ của họ chuẩn mực tại các điểm có dạng $O_A(c)$ là vô hạn; tại những điểm khác nó là hữu hạn.

Chúng ta sẽ giới hạn ở việc chứng minh phần đầu tiên của định lý. Vì vị trí giới hạn của các điểm $X(A, B)$, khi $B$ tiến tới $A$, là $O_A(c)$, nên với bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào người ta có thể tìm thấy một $\delta > 0$ sao cho nếu khoảng cách từ $B$ đến $A$ nhỏ hơn $\delta$ thì khoảng cách từ $X(A, B)$ đến $n_B$ bình thường nhỏ hơn $\varepsilon$. Trong trường hợp này, khoảng cách từ điểm $O_A(c)$ đến đường thẳng $n_B$ nhỏ hơn $\varepsilon(\delta - \varepsilon)$, trong đó $r$ là bán kính cong tại điểm $A$ (Hình 4), kết quả là $L(\varepsilon\delta/(r - \varepsilon)) > \delta$ và tại $\varphi = \varepsilon\delta/(r - \varepsilon)$, chúng ta thu được $L(\varphi)/\varphi > \delta/((\varepsilon\delta/(r - \varepsilon))) = (r - \varepsilon)/\varepsilon$. Cần lưu ý rằng chúng ta có thể lấy $\delta < 1$ và sau đó cho $\varepsilon \rightarrow 0$

$$\varphi = \frac{\varepsilon\delta}{r - \varepsilon} \rightarrow 0, \frac{L(\varphi)}{\varphi} > \frac{r - \varepsilon}{\varepsilon} \rightarrow \infty,$$

nghĩa là mật độ là vô hạn.

Định lý này cho thấy rằng các điểm cô đọng lớn nhất trong nhóm chuẩn tắc của chúng ta thực sự tạo thành một điểm tiến hóa.

Để kết luận, chúng ta sẽ nêu tên thêm một tính chất của sự tiến hóa.

Định lý. $n_A$ pháp tuyến tiếp tuyến với các điểm tiến hóa tại điểm $A$.

Định lý này, bằng chứng mà chúng tôi không cung cấp một cách chặt chẽ, về cơ bản là hệ quả của định lý trước đó: vì họ các chuẩn mực có mật độ vô hạn tại các điểm tiến hóa, nên mọi chuẩn tắc $n_A$ đều đi rất gần đến điểm $O_B(c)$, tương đối xa so với $O_A(c)$, theo nghĩa đó; rằng khoảng cách giới hạn từ $O_B(c)$ đến $n_A$ đến khoảng cách từ $O_B(c)$ đến $O_A(c)$ có xu hướng bằng 0. Và điều này có nghĩa là đường thẳng $n_A$ chạm vào các đường tiến hóa (Hình 5).

(Điều ngược lại cũng có thể được chứng minh: nếu một đường cong không ctor chạm vào tất cả các pháp tuyến của đường cong $c$, thì đó là đường cong tiến hóa của nó.)

Từ định lý cuối cùng, rõ ràng là khi điểm $A$ di chuyển dọc theo đường cong $c$, điểm $O_A(c)$ sẽ di chuyển theo hướng từ điểm $A$ hoặc theo hướng hướng tới điểm $A$. Chúng ta có thể nói rằng nếu, khi điểm $A$ di chuyển dọc theo c, bán kính cong tăng, thì điểm $O_A(c)$ di chuyển theo hướng từ $A$ và nếu bán kính cong giảm, thì điểm $O_A(c)$ di chuyển theo hướng về phía $A$ (Hình 6). Điều gì xảy ra tại những điểm mà bán kính cong đạt cực đại hoặc cực tiểu? Và tại những điểm này, tâm cong thay đổi hướng chuyển động của nó sang hướng ngược lại - do đó các điểm đỉnh trên đường tiến hóa. Ví dụ, bốn điểm đỉnh của đường tiến hóa của hình elip tương ứng với hai cực đại và hai cực tiểu của bán kính cong của hình elip tại bốn “đỉnh” của nó—các điểm giao nhau với các trục đối xứng.

Chúng tôi không có thời gian để thảo luận về phần thứ ba của bài tập về nhà - sự phát triển của hình parabol bán chibic. Tất cả để tốt hơn: sẽ thích hợp hơn để nói về điều này vào lần tới. Trong lúc đó -