Эволюта

38

Эволюта

Под редакцией
Д. Б. ФУКСА

В прошлий раз (см. «Квант» № 2, с. 40) вам были предложены три кривые (эллипс, «вывернутая восемерка» и получибическая парабола), к которым требовалось proveсти достаточно часто семейство нормалей (normаль — перпендикуляр к касательной в точке касания). Правильные чертежи для первых двух кривых вы видите перед собой. На каждом из этих чертежей нормали к кривой сгущаются к точкам неокторой другой кривой. Эта другая кривая называется эволютой исходной кривой*). В двух первых случаях эволюта имеет точки возврата (точки, в которых кривая скалком изменяет свое направление на 180°). Мы попытаемся понять, что такое эволюта, и разобраться в принципах всех названных явлений.

Для этого нам потребуется еще одно геометрическое понятие — центр кривизны. Пусть $c$ — неокторая кривая, $n_A$ — нормаль к ней в ее фиксированной точке $A$. Пусть $M$ — переменная точка на кривой $c$ и $n_M$ — соответствующая нормаль. Обозначим через $X(A, M)$ точку пересечения нормалей $n_A$ и $n_M$. Будем теперь dvгать точку $M$ по кривой $c$, устремляя ее к $A$ (с любой стороны). Тогда точка $X(A, M)$ будет, вообше говоря, меняться; предельное положение этой точки, когда $M$ достигнет $A$, если оно существует, называется центром кривизны кривой $c$ в точке $A$ и обозначается через $O_A(c)$ (рис. 1).**)

Введем еще несколько названия. Окружность с центром $O_A(c)$, проходящая через $A$, называется соррикасаоцейся с кривой $c$ в точке $A$, ее радиус, то есть расстояние от точки $O_A(c)$ до точки $A$, — радиус кривизны кривой $c$ в точке $A$, и величины, обратная к радиусу кривизны, — кривизной кривой $c$ в точке $A$.

Простейший пример. Пусть $c$ есть окружность радиуса $R$ с центром $O$. Тогда все нормали к $c$ проходят через $O$ и поэтому при dvгении точки по $c$ точка $X(A, M)$ вообше не меняется, а занимает неподвижное положение $O$. Поэтому и предел этой точки есть $O$, то есть центр кривизны нашей окружности в любой ее точке совпадает с центром окружности. Следовательно, предел кривизны и кривизна нашей окружности в любой ее точке соответствен $R$ и $1/R$.

*) Эволюта эллипса, построенная ЭВМ, показана также на первой странице обложки. Обратите внимание на красный муаровый узор в виде семейства гипербол величии эллипса. Подумайте, почему он получился.

**) Можно показать, что если кривая $c$ является «достаточно гладкой», а точка $A$ не является ее точкой перегиба, то $O_A(c)$ существенно увеличивается.

39

Если $c$ не окружность, а другая кривая, то при движении точки $A$ по ней центр кривизны $O_A(c)$ не стоит на месте, а сам выписывает некоторую кривую. Как мы увидим, эта кривая и есть эволюота. Прежде, чем это доказывается, мы поговорим немного о свойствах введенных понятей.

Соррикасающая окружность из всех окружностей, проходящих через точку $A$, наблюдаещее прилегает к кривой $c$. Можно сказать, что если касательная к $c$ в точке $A$ служит для кривой $c$ первым приближением, то соррикасающая окружность служит вторым приближением кривой $c$ в точке $A$. Этот утверждение можно придать точный смысл многоимпазными способами, например, так. Пусть точки $O'$ и $O''$ лежат на $n_A$ по разные стороны от $O_A(c)$, и пусть $c'$, $c''$ — окружности $c$ центрами $O'$, $O''$, проходящие через точку $A$. Тогда неокторный кусок кривой $c$, охватывающий точку $A$, заключен между окружностями $c'$ и $c''$ (рис. 2).

Обратимся, наконец, к нашему семейству нормалей. Пусть $C$ — точка плоскости. Зафиксируем число $\varphi$ и отметим на кривой $c$ множество тех точек $A$, для которых нормаль $n_A$ проходит от $C$ на расстоянии, меньше $\varphi$. Это множество состоит из одного или нескольких интервалов (рис. 3). Обозначим через $L(\varphi)$ сумму их длины. Предел отшеления $L(\varphi)/\varphi$ при $\varphi \rightarrow 0$ называется плотностью нашего семейства нормалей в точке $A$. (Это определение согласуется с наглядным представлением о плотности: чем больше плотность, тем гуще нормали скалливаются к точке $C$.)

Теорема. Плотность семейства нормалей в точках вида $O_A(c)$ бесконечна; в других точках она конечна.

Мы ограничимся доказательством первой части теоремы. Поскольку предельное положение точек $X(A, B)$, когда $B$ стремится к $A$, есть $O_A(c)$, для любого $\varepsilon > 0$ можно найти такое $\delta > 0$, что если расстояние от $B$ до $A$ меньше $\delta$, то расстояние от $X(A, B)$ до нормали $n_B$ меньше $\varepsilon$. В этом случае расстояние от точки $O_A(c)$ до прямой $n_B$ меньше $\varepsilon(\delta - \varepsilon)$, где $r$ — радиус кривизны в точке $A$ (рис. 4), вседствие чего $L(\varepsilon\delta/(r - \varepsilon)) > \delta$ и при $\varphi = \varepsilon\delta/(r - \varepsilon)$, получаем $L(\varphi)/\varphi > \delta/((\varepsilon\delta/(r - \varepsilon))) = (r - \varepsilon)/\varepsilon$. Остается заметить, что можно взять $\delta < 1$ и тогда при $\varepsilon \rightarrow 0$

$$\varphi = \frac{\varepsilon\delta}{r - \varepsilon} \rightarrow 0, \frac{L(\varphi)}{\varphi} > \frac{r - \varepsilon}{\varepsilon} \rightarrow \infty,$$

то есть плотность бесконечна.

Эта теорема показывает, что точки набольшого сгущения нашего семейства нормалей действительно составляют эволюот.

В заключение мы назовем еще одно свойство эволюот.

Теорема. Нормаль $n_A$ касается эволюот в точке $A$.

Эта теорема, строго доказательства которой мы не приводим, по существу, является следствием предыдущей теоремы: поскольку семейство нормалей имеет в точках эволюот бесконечную плотность, всякая нормаль $n_A$ проходит очень близко от точки $O_B(c)$, относительно далеких от $O_A(c)$, в том смысле; что предельное расстояние от $O_B(c)$ до $n_A$ к расстоянию от $O_B(c)$ до $O_A(c)$ стремится к 0. А это и значит, что прямая $n_A$ касается эволюот (рис. 5).

(Mожно доказать и обратное: если неокторная кривая касается всех нормалей к кривой $c$, то она является ее эволюотой.)

Из последней теоремы видно, что когда точка $A$ движется по кривой $c$, точка $O_A(c)$ движется либо в направлении от точки $A$, либо в направлении к точке $A$. Можно сказать, если при движении точки $A$ по с радиус кривизны увеличивается, то точка $O_A(c)$ движется в направлении от $A$, а если радиус кривизны уменьшается, то точка $O_A(c)$ движется в направлении к $A$ (рис. 6). А что происходит в точках, где радиус кривизны достигает максимума или минимума? А в этих точках центр кривизны меняет свое направление движения на противоположное — отсюда точки возврата на эволюоте. Например, четыре точки возврата эволюоты элипса отвечают двум максимумам и двум минимумам радиуса кривизны элипса в четырех его «вершинах» — точках пересечения с осями симметрины.

Мы не успели обсуждать третью часть домашнего задания — эволюоту получибческой параболи. Все к лучшему: более уместно будет поговорить об этом в следующий раз. А пока —