Связанные маятники

23

Связанные матники

Кандидат
физико-mатематических наук
E. И. БУТИКОВ

Закономерности колебаний сложных систем таких, как связывание матники, можно изучить на опите с помощью простейших средств. Все, что вам потребуется для того, чтобы воспроизвести описываемые здесь опиты, — это два одинаковых небольших группика (например, массивные грузика (например, массивные грузика), два штатива, которые с успехом можно заменить спинками стульев, прочные нитки, секундомер или часы с секундной стрелкой.

Прикрепим грузики к нитям одинаковой длины 50—60 см, а нити привяжем к поперечной нити длиной около 1 м, расположив их симметрично на расстоянии 40—50 см друг от друга. Концы поперечной нити закрепим в штативах или привяжем к спинкам стульев. В результате получим систему из двух матников, примерно такую, как показано на фотографии. Это и есть связывание матники. Желательно добиться возможность более совершенной симметричной системы. Нужно познавиться также и о том, чтобы можно было изменять расстояние между штативами, регуляру, тем самым, повышение поперечной нити.

Несмотря на простоту, это устройство дает возможность проверсти много интересных наблюданий. Ограничимся изучением лишь свободных (или собственных) колебаний системы в случае, когда матники качаются перпендикулярно к плоскости их равновесия.

Удерживая один из матников в положении равновесия, другой отклоним на небольшой угол в поперечном направлении, затем отпустим их одновременно. Будем внимательно следить за их дальнейшим поведением. Мы увидим, что амплитуда колебаний первого начального отклоненного матника постепенно уменьшается, но одновременно с этим второй матник раскачивается все сльнее и сильнее. В какой-то момент матники будут колебаться с одинаковыми амплитудами. Но через некоторое время первый матник вообще оставляется, «замрет» в положении равновесия, а второй раскачается настолько, что его амплитуда будет такой же, как в начальной моменту у первого матника. Колебания как бы полностью «перейдет» от одного матника к другому.

Продолжаем наблюдать далее. Теперь все процессы происходит в обратной последовательности: амплитуда второго матника уменьшается, а первый раскачивается, пока не достигнет прежней амплитуды. Затем все повторяется снова.

Такой тип движения с периодическими «замираниями» колебаний принято назвать бценями. Проследите за несколькими циклами бценей и поставя-

24

тесь определять их период, то есть время, в течение которого один из мятников совершает полный цикл от одной остановки до другой. (При этом в качестве часов можно использовать сами мятники: подсчитайте, например, сколько полных колебаний совершает мятник за один цикл беней.)
Почему колебания передаются от одного мятника к другому? Понаблюдаем за поперечной нитью, к которой они призываны. Легко заметить, что при колебаниях мятников она не остается неподвижной: отклонясь в сторону, один из мятников тянет ее за собой и тем самым приводит в движение точку подвеса второго мятника. Таким образом, попереная нить осуществляется связь мятников друг с другом. Потому мятники и называются «связанными».
Интупция подсказывает, что мятники связаны тем сильнее, чем больше провисает нить. Проверим это на опите. Уменышим натяжение нити, несколько слизив точки ее закрепления, и повторим описанный выше опит. Мы увидим, что полный цикл передачи колебаний от одного мятника к другому и обратно сокращается. Например, при увеличении натяжения нити связь мятников ослабляется, и обмен колебаниями происходит медленнее. Но интересно, что и при замете ослабленной связи мятников полностью обмениваются энергейой. (Конечно, если приять во внимание постепенное затухание колебаний мятников из-за треня, то при очень слабой связи обмена энергейой может стать больше времени затухания колебаний. Колебания возбужденного мятника прекратется прежде, чем он успет передать заметную часть своей энергии другому мятнику. В таких условиях связи мятников становятся несущественными, и их можно рассматривать как независимые.)

Задумаемся над тем, почему после того как амплитуды, а значит, и энергии мятников станут одинаковыми, процесс обмена энергей не прекращается, а продолжается до тех пор, пока возбужденный мятник не передает другому всего своего энергии. Все дело в соответствии фаз: при выравнивании амплитуд колебания раскачиваемого мятника отстают по фазе на четвертый период. В тот момент, когда «активный» мятник достигает максимального отклонения и создает наиболее натяжение поперечной соединительной ни-
ти, «пассивный» мятник (то есть раскачиваемый) еще только проходит через положение равновесия. Скорость точки его подвеса максимальная, а действующая на нее со стороны поперечной нити сила направлена в ту же сторону, куда движется точка подвеса. Это значит, что здесь сложились наиболее благоприятные условия для продолжения передачи энергии в пределом направления.

Мы видели, что при рассмотрении способе возбуждения (начальное отклонение одного из мятников) возникло колебания не являются гармоничческими (хотя при слабой связи их можно считать «почти гармоничскими» с медленно меняющейся амплитудой). А нельзя ли возбуить колебания таким образом, чтобы движение каждой из мятников было чисто гармоничким? Легко сообщить, что для колебаний, перpendикулярных к равновесной плоскости, существует два типа движения.

Во-первых, можно отклонить оба мятника на один и тот же небольшой угол в одном направлении и одновременного отпускить их без толчка. Тогда все системы будет качественно как единое целое. Попробуйте возбуить такие колебания и изменьте их частоту $\omega_1$. Так как мятники колебляются в одинаковых фазах, зависит смесения от времени для каждой из них выражается одной и той же гармоничкой функцией:

$$x_1(t) = x_2(t) = x_m \cos \omega_1 t,$$

(1)

где амплитуда $x_m$ равна начальной отклонению мятников из положения равновесия.

Во-вторых, можно ответить оба мятника на одинаковые углы в противоположные стороны и одновременного отпускить. Мятники и в этом случае будут совершать гармоничские колебания с одинаковой амплитудой и одной и той же частотой $\omega_2$ (эта частота не сколько больше, чем $\omega_1$), но в противоположных фазах. Поэтому зависимость смесения от времени имеет вид

$$x_1(t) = x_m \cos \omega_2 t,$$

(2)

Такие движения сложной системы, когда все тела совершают чисто гармоничкие колебания с одной и той же частотой, называют нормальными колебаниями, или модами системы. Поперечным колебаниям связанных мят-

25

Так вылядят графики бенейный двух связанных матриков. В начальный момент первый матрик отклонен на небольшой угол в направлении, перепедикулярном плоскости равновесия системы, а второй матрик находится в положении равновесия.

Какое отношение имеет модель к изученным ранее бенейям? Вспомним начальные условия, при которых возникется каждой из них: для первой матрики нужно отклонить в одну сторону, для второй — в противоположные. Если мы захотим возбудить обе модели одновременно, то как раз и получим начальные условия, соответствующие возбудению бенейии: один матрик отклонен, второй находится в положении равновесия. Таким образом, мы приходим к выводу, что бенейя получается в результате суперпозиции нормальных матрики с частотами $\omega_1$ и $\omega_2$ и одинаковыми амплитудами.

Смешение каждого матрика в любой момент времени $t$ мы получим, сложив соответствующие выражения из формул (1) и (2) и воспользоваться известными тригонометрическими точествами:

$$x_1(t) = x_m(\cos \omega_1 t + \cos \omega_2 t) = 2x_m \cos \frac{\omega_2 - \omega_1}{2} t \cos \frac{\omega_2 + \omega_1}{2} t,$$

$$x_2(t) = x_m(\cos \omega_1 t - \cos \omega_2 t) = 2x_m \sin \frac{\omega_2 - \omega_1}{2} t \sin \frac{\omega_2 + \omega_1}{2} t.$$

Если разность частот нормальных матрики $\Delta \omega = \omega_2 - \omega_1$ мала по сравнению со средней частотой $\omega = (\omega_2 + \omega_1)/2$, то в правых частях формул (3) первая тригонометрическая функция изменяется медленно по сравнению со второй. Это и значит, что $x_1(t)$ и $x_2(t)$ описывают «почти гармоничские» колебания с частотой $\omega$ и медленно пульсирующими амплитудами. Соответствующие графики приведены на рисунке. Мы видим, что они правильно описывают то, что наблюдаются в первом опите.

О представлении сложного колебания в виде суммы гармоничских колебаний говорят как о разложении в спектр. Спектр любого поперечного колебания матриков изучаем системы, в том числе и бенейи, состоит только из двух компонент с частотами $\omega_1$ и $\omega_2$, так какими исчерпывается весь набор поперечных нормальных колебаний. Все многообразие возможных свободных колебаний, возниккающих при разных начальных условиях, обусловлено различными соответствиями амплитуд и фаз этих спектральных компонент. Попробуйте задать иные, чем раныше, начальные условия (например, неодинаковые начальные отклонения) и попалюдайте за возниканию колебаний.

С нашими связанными матриками можно проделать еще много интересных опитов, если не ограничивать только поперечный движениями. В этой системе есть еще три модели, соответствующие колебаниям матриков в плоскости, образуемой нитями приравновесии. Попробуйте возбудить эти модели и попалюдайте за ними.